高中數(shù)學 第二章 變化率與導數(shù)章末檢測（A）北師大版選修2-2

第二章變化率與導數(shù)(A)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．質(zhì)點沿直線運動的路程s與時間t的關系是s＝eq\r(5,t)，則質(zhì)點在t＝4時的速度為()A.eq\f(1,2\r(5,23)) B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23) D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)2．若eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,3Δx)＝1，則f′(x0)等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2) C．3 D．23．設函數(shù)y＝f(x)，當自變量x由x0改變到x0＋Δx時，函數(shù)的改變量Δy為()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)4．設y＝f(sinx)是可導函數(shù)，則y′x等于()A．f′(sinx) B．f′(sinx)·cosxC．f′(sinx)·sinx D．f′(cosx)·cosx5．函數(shù)y＝sinx－cosx的導數(shù)是()A．cosx＋sinx B．cosx－sinxC．cosxsinx D．2cosx6．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋3)的導數(shù)是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32) B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32) D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)7．函數(shù)y＝x5ax(a>0且a≠1)的導數(shù)是()A．5x4axlna B．5x4ax＋x5axlnaC．5x4ax＋x5ax D．5x4ax＋x5axlogae8．下列求導數(shù)運算正確的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx9．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數(shù)，若f(x)，g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則f(x)與g(x)滿足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)－g(x)為常數(shù)函數(shù)C．f(x)＝g(x)＝0D．f(x)＋g(x)為常數(shù)函數(shù)10．函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值等于()A.eq\f(19,3) B.eq\f(16,3) C.eq\f(13,3) D.eq\f(10,3)11．下面四組函數(shù)中，導數(shù)相等的一組是()A．f(x)＝2x＋1與g(x)＝2x－1B．f(x)＝sinx－cosx與g(x)＝cosx－sinxC．f(x)＝x－1與g(x)＝2－xD．f(x)＝sinx＋cosx與g(x)＝sinx－cosx12．物體自由落體運動方程為s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么下面說法正確的是()A．9.8m/s是0～1s這段時間內(nèi)的平均速度B．9.8m/s是從1s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的速度C．9.8m/s是物體在t＝1這一時刻的速度D．9.8m/s是物體從1s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．函數(shù)f(x)＝2x3＋3x2－5x＋4的導數(shù)f′(x)＝______________，f′(3)＝________.14．已知曲線S：y＝3x－x3及點P(2,2)，則過點P可向S引切線，其切線條數(shù)為________．15．曲線y＝f(x)＝cosx在點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))處的切線方程為________________．16．函數(shù)f(x)＝(2x＋5)4在點P(－2,1)處的導數(shù)是________．三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝x2(x＋2)6；(2)y＝xsin2xcos2x.18．(12分)已知函數(shù)y＝x3＋ax2－eq\f(4,3)a的導數(shù)為0的x值也都使y值為0，求常數(shù)a的值．19.(12分)已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲線C在點(1，－4)處的切線方程；(2)對于(1)中的切線與曲線C是否還有其他公共點？若有，求出公共點；若沒有，說明理由．20．(12分)若f(x)＝log3(x－1)，求x＝2處的導數(shù)值及切線方程．21.(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖像經(jīng)過P(0,2)且在點M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0，求函數(shù)y＝f(x)的解析式．22．(12分)求滿足下列條件的函數(shù)f(x)．(1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)·f(x答案1．B[s′＝eq\f(1,5\r(5,t4)).當t＝4時，s′＝eq\f(1,5)·eq\f(1,\r(5,44))＝eq\f(1,10\r(5,23)).]2．B3．D[當自變量的改變是Δx時，函數(shù)的改變量為f(x0＋Δx)－f(x0)．]4．B5．A[y′＝(sinx－cosx)′＝cosx－(－sinx)＝cosx＋sinx．]6．A[y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋3)))′＝eq\f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq\f(x2＋6x,x＋32).]7．B[y′＝(x5ax)′＝5x4ax＋x5axlna．]8．B[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，(3x)′＝3xln3，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx．]9．B[f(x)與g(x)的導數(shù)相同，根據(jù)導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，兩函數(shù)的差為常數(shù)．]10．D[f′(x)＝3ax2＋6x，因f′(－1)＝4，所以有f′(－1)＝3a(－1)2則a＝eq\f(10,3).]11．A12.C13．6x2＋6x－567解析f′(x)＝(2x3＋3x2－5x＋4)′＝6x2＋6x－5，f′(3)＝6×32＋6×3－5＝67.14．315．x＋2y－eq\r(3)－eq\f(π,6)＝0解析∵f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，∴f′(eq\f(π,6))＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2)，∴在點A處的切線方程為y－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即x＋2y－eq\r(3)－eq\f(π,6)＝0.16．8解析f′(x)＝[(2x＋5)4]′＝4(2x＋5)3×2＝8(2x＋5)3，f′(－2)＝8(－2×2＋5)3＝8.17．解(1)y′＝[x2(x＋2)6]′＝2x·(x＋2)6＋x2·6(x＋2)5＝4x(x＋2)5(2x＋1)．(2)y＝xsin2xcos2x＝eq\f(1,2)xsin4x.∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xsin4x))′＝eq\f(1,2)sin4x＋eq\f(x,2)cos4x·4＝eq\f(1,2)sin4x＋2xcos4x.18．解y′＝3x2＋2ax，令y′＝0，則3x2＋2ax＝0，x1＝0，x2＝－eq\f(2,3)a，當x＝0時，y＝0＝－eq\f(4,3)a，∴a＝0，即a＝0滿足條件，當x＝－eq\f(2,3)a時，y＝0＝－eq\f(8,27)a3＋eq\f(4,9)a3－eq\f(4,3)a，得a＝0或a＝±3，檢驗知a＝±3不滿足條件，∴常數(shù)a的值為0.19．解(1)y′＝12x3－6x2－18x，∴f′(1)＝－12.所以曲線過點(1，－4)的切線斜率為－12，所以所求方程為y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.(2)設與曲線C還有其他公共點，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x4－2x3－9x2＋4,y＝－12x＋8))，整理得x3(3x－2)－(3x－2)2＝0，即(3x－2)(x3－3x＋2)＝0，即(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0.所以x＝－2，x＝eq\f(2,3)，x＝1.即除切點外還有交點(－2,32)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0)).20．解據(jù)復合函數(shù)的求導法則，f′(x)＝[log3(x－1)]′＝eq\f(1,x－1ln3)(x－1)′＝eq\f(1,x－1ln3)，則f′(2)＝eq\f(1,2－1·ln3)＝eq\f(1,ln3)，即此點處的切線斜率為eq\f(1,ln3)，切點(2,0)，則切線方程為y＝eq\f(1,ln3)(x－2)．21．解由f(x)的圖像經(jīng)過P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由在點M(－1，f(－1))處的切線方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝6,－1＋b－c＋2＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－c＝－3,b－c＝0))，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.22．解(1)依題意可設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f(0)＝3，得d＝3.由f′(0)＝0，得c＝0.由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝－3，,12a＋4b＝0，))解得eq\