廣西桂林某中學2024-2025學年下學期高三期末考試數學試題（含解析）

廣西桂林陽朔中學2024-2025學年下學期高三期末考試數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是()

A.8B.32C.64D.128

2.已知拋物線y2=2px(p>0),尸為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦，若|。/|=1,|W|=8,則△OAW的面

積為()

A.2^2B?3A/2C?4^2D?--—

3.已知函數/(%)=]/-J—，則函數》=/(%-1)的圖象大致為()

ln(x+l)-x

=2py的焦點，點工為拋物線C的對稱軸與其準線的交點，過工作拋物線。的切線，

切點為A,若點4恰好在以片，月為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()

A.*2B.V2-1C.逅產D.V2+1

'_l

5.已知/(x)=e二是定義在R上的奇函數，則不等式/(-3)</(9-/的解集為()

ex+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

6.3本不同的語文書，2本不同的數學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數學書的概率是()

￡111

A.B.-C.一D.—

24510

("2+

7.復數2=R)為純虛數，則z=()

A.1B.-2iC.2iD.-i

8.在函數：①丁二以?/耳；?y=\cosx|；③>=cos[2x+%J；④y=tan[2x—1J中，最小正周期為左的所有

函數為()

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

9.閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內可填寫的條件是()

I開始）

A.i>5B.Z>8C.z>10D.Z>12

223

10.已知雙曲線C:=-2=l（a>0/>0）的漸近線方程為y=?—x,且其右焦點為（5,0）,則雙曲線c的方程為（）

a-b4

A.=lB.《上=1C,耳上=1D.看上=1

9161693443

11.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人

臉識別，數據分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉

識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480種B.360種C.240種D.120種

12.如圖，圓。的半徑為1,A,B是圓上的定點，OBLOA,尸是圓上的動點，點P關于直線08的對稱點為

P',角x的始邊為射線Q4,終邊為射線0尸，將口A-赤|表示為x的函數/（九），則y=/（x）在［0,句上的圖像

大致為（）

13.若復數Z滿足22+5=3+3其中i是虛數單位，三是Z的共朝復數，則2=.

14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果是.

15.已知正方體----_二-，-.-棱長為2,點一是上底面內一動點，若三棱錐-------的外接球表面積

LwJjMMJ4M*jMMMM/JX*jMMJMMMM

恰為,則此時點-構成的圖形面積為.

16.過直線4x+3y—10=0上一點p作圓好+/=1的兩條切線，切點分別為人，B,則丙.麗的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/(%)=k+i|.

(1)求不等式/(x)W4T2x-3|的解集；

(2)若正數機、九滿足m+2〃=7加，求證：f(m)+f(―2/z)>8.

18.(12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點E是邊AD上一點，且AE=2石。，點”是3E的中點,

將A4B后沿著BE折起，使點A運動到點S處，且滿足sc=sr>.

(1)證明：5/7，平面3。￡如；

(2)求二面角C—S3—E的余弦值.

19.(12分)已知/(x)=e*-〃優(yōu).

(1)若曲線y=lnx在點02,2)處的切線也與曲線y=/(x)相切，求實數的值;

(2)試討論函數/(尤)零點的個數.

20.(12分)設函數〃x)=lnx-a(。一1).

(1)若函數y=/(x)在。,+8)是單調遞減的函數，求實數。的取值范圍;

c,°In,

(2)若n>m>0,證明:2+Inn<2.----v\nm.

vm

21.(12分)如圖，焦點在工軸上的橢圓G與焦點在丁軸上的橢圓02都過點M(O』)，中心都在坐標原點，且橢圓G

與C,的離心率均為走.

2

(I)求橢圓G與橢圓C］的標準方程；

(II)過點M的互相垂直的兩直線分別與G，。2交于點A，3(點A、5不同于點M),當AM45的面積取最大值

時，求兩直線MA,M3斜率的比值.

22.(10分)已知函數/(x)=e-*+e*+ax,aeR.

(1)討論了(九)的單調性；

A1

⑵若〃龍)存在兩個極值點再，x2,證明：/(x1)-/(x2)<(?-2)(e-e^).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據給定的程序框圖，逐次計算，結合判斷條件，即可求解.

【詳解】

由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得

第1次循環(huán)，滿足判斷條件，s=l,k=l；

第2次循環(huán)，滿足判斷條件，s=2,k=2；

第3次循環(huán)，滿足判斷條件，S=8,攵=3；

第4次循環(huán)，滿足判斷條件，S=64,k=4；

不滿足判斷條件，輸出S=64.

故選：C.

本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結合判斷條件求解是解答的關

鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

2.A

【解析】

根據I。b1=1可知丁2=4x,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.

【詳解】

由題意可知拋物線方程為y2=4x，設點"（玉,X）點N（%2,%），則由拋物線定義

知,MN|=|MF|+1NF|=%%2+2,|MN|=8則%+Z=6.

由>2=4x得y=4芯，￡=49則y；+yl=24.

又MN為過焦點的弦，所以%%=-4，則1%—J1|=Jy；+y；-2yly2=4J5,所以S^OMN=^\OF\-\y2-y\=28.

故選：A

本題考查拋物線的方程應用，同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.

3.A

【解析】

用排除法，通過函數圖像的性質逐個選項進行判斷，找出不符合函數解析式的圖像，最后剩下即為此函數的圖像.

【詳解】

設g(x)=/(x—1)=———，由于］］〉0,排除8選項；由于g(e)=±,g(e?)=二所以

lnx-x+1'7ln-+-2-e'73-e

22

g(e)>g(e2),排除C選項；由于當xf中?時，g(x)>0,排除。選項.故A選項正確.

故選：A

本題考查了函數圖像的性質，屬于中檔題.

4.D

【解析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得左的值，設出雙曲線方程，求得2a=|AF2|-|AFi|

=(V2-1)P，利用雙曲線的離心率公式求得e.

【詳解】

直線的直線方程為：y=kx-R,Fi(0,"),F2(0,—"),

222

代入拋物線C：%2=2py方程，整理得：X2-2pkx+p2—0,

.?.△=4a2_4p2=0,解得:k=+l,

22

.,.A(p,E),設雙曲線方程為：々—二=1,

2a2b2

IAF1I=p,IAF2I=Jp2+「2=?p,

2a=IAF2I-IAFiI=(血一1)夕，

2c—p,

離心率e——=—j=—=A/2+1,

aV2-1

故選：D.

本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題.

5.C

【解析】

由奇函數的性質可得，=1,進而可知/(%)在R上為增函數，轉化條件得％-3<9-解一元二次不等式即可得解.

【詳解】

因為三是定義在R上的奇函數，所以〃1)+/(—1)=0,

1-1X

即一=0,解得a=l,即/(x)=1=i__

v

e+al+fl'e'+le'+l

e

易知/(九)在R上為增函數.

又〃無一3)</(9—尤2),所以％—3<9—f，解得—4〈尤<3.

故選：C.

本題考查了函數單調性和奇偶性的應用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

6.D

【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件.計數后可求得概率.

【詳解】

3本不同的語文書編號為A5C,2本不同的數學書編號為。力，從中任意取出2本，所有的可能為：

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab10個，恰好都是數學書的只有a匕一種，.??所求概率為。=

10

故選：D.

本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數計算概率.

7.B

【解析】

復數z=(Y—l)+(a—為純虛數，則實部為0,虛部不為0,求出0,即得z.

【詳解】

,.1z=(a2_i)+(a_1)*aeR)為純虛數，

a2-1=0

解得a=—1.

4一1W0

z=—2z.

故選：B.

本題考查復數的分類，屬于基礎題.

8.A

【解析】

逐一考查所給的函數：

y=cos|2x|=cos2x，該函數為偶函數，周期7=夸=%；

將函數y=cosx圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到y(tǒng)=|cosx|的圖象，該函數的周期為gx2?="；

函數y=cos(2x+。的最小正周期為7=4；

函數y=tan12x-的最小正周期為T=W=W；

綜上可得最小正周期為萬的所有函數為①②③.

本題選擇A選項.

點睛：求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數的式子，否則很容易出現錯

誤.一般地，經過恒等變形成"y=Asin((?x+9),y=Acos(twx+°),y=Atan(①x+0)”的形式，再利用周期

公式即可.

9.C

【解析】

根據循環(huán)結構的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時i的值，進而得判斷框內容.

【詳解】

根據循環(huán)程序框圖可知，S=O,i=l

則S=l』=3,

S=4,z=5,

S=9,i=7,

S=16,7=9,

S=25,z=11,

此時輸出S,因而，=9不符合條件框的內容，但，=11符合條件框內容，結合選項可知C為正確選項,

故選：C.

本題考查了循環(huán)結構程序框圖的簡單應用，完善程序框圖，屬于基礎題.

10.B

【解析】

1o22

試題分析：由題意得一=二，02=〃+〃=25,所以。=4,b=3,所求雙曲線方程為三—匕=1.

a4169

考點：雙曲線方程.

11.B

【解析】

將人臉識別方向的人數分成：有2人、有1人兩種情況進行分類討論，結合捆綁計算出不同的分配方法數.

【詳解】

當人臉識別方向有2人時，有團=120種，當人臉識別方向有1人時，有C；禺=240種，.??共有360種.

故選：B

本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數學思想方法，屬于基礎題.

12.B

【解析】

根據圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數圖象，即可求解.

【詳解】

由題意，當％=0時，P與A重合，則p與B重合，

所以|無一赤卜|麗|=2,故排除C,D選項；

當0<x<g時，|而—例=|P'P|=2sinq—x)=2cosx,由圖象可知選B.

故選：B

本題主要考查三角函數的圖像與性質，正確表示函數的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1+z

【解析】

設2=。+4?，代入已知條件進行化簡，根據復數相等的條件，求得。力的值.

【詳解】

設2=。+初，由2z+z=3+i，得2a+2bi+a—bi=3a+瓦=3+i,所以a=l,b=l,所以z=1+i.

故答案為：1+i

本小題主要考查共輾復數，考查復數相等的條件，屬于基礎題.

14.1

【解析】

該程序的功能為利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得

答案.

【詳解】

模擬程序的運行，可得：5=0,n=l,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，S=l,n=2,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，S=6,〃=3,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，S=27,n=4,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體,S=124,n=5,

此時滿足條件〃>4,退出循環(huán),輸出S的值為1.

故答案為：1.

本題考查程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，屬于基礎題.

15.

【解析】

設三棱錐二一二二二的外接球為球二，分別取二二、二二，的中點二、二,，先確定球心二在線段二二和二.二，中點的連線上,

先求出球-的半徑一的值，然后利用勾股定理求出--的值，于是得出--=再利用勾股定理求出點-在

上底面軌跡圓的半徑長，最后利用圓的面積公式可求出答案.

【詳解】

如圖所示，設三棱錐二一二-二的外接球為球二，

分別取一-、--的中點一、一,，則點一在線段--上,

由于正方體t—arttart'I——廠-j，-j，-的j棱長為2,

則，---的外接圓的半徑為--=、F

設球一的半徑為一,則，，解得

--

所以，..,

二二=J二;-二二;=:

則---.......—、：，,

'-1J-:

而點L在上底面所形成的軌跡是以一為圓心的圓,

由于所以_一一?一；，

L'LTL」71—J-1，

因此，點一所構成的圖形的面積為二X二一二二二二，

本題考查三棱錐的外接球的相關問題，根據立體幾何中的線段關系求動點的軌跡，屬于中檔題.

3

16.-

2

【解析】

由切線的性質，可知歸3=|而切由直角三角形B4。，PBO,即可設|麗卜羽/4尸。=。，進而表示cosa,由圖

像觀察可知PONd。一進而求出x的范圍，再用國。的式子表示百.而，整理后利用換元法與雙勾函數求出最小值.

【詳解】

由題可知，|啊=|尸耳,設修臼=%，//APO=a,由切線的性質可知po=Jf+i，貝I

X2

cosa=1,cos-a=—：——

尤+]

|4x0+3x0-10|

顯然PONdg」^――匕2，貝IJf+i之2=x?G或x<—（舍去）

因為而=可-PficosZAPO二二x2cos2a=x1-（2cos2a-l^=x2?--

X-+1

22

2f-I2）22%22（X+1）-222/2\2c

—x+2—（x+1）+3

2292929

IX+1Jx+lx+lx+l\）x-+l

,—,—.2

令t=jr+l/24,則PA-P3=/+---3,由雙勾函數單調性可知其在區(qū)間[4,+8）上單調遞增，所以

i

（PAPB）=4+2-3=。

\/min42

3

故答案為：—

2

本題考查在以直線與圓的位置關系為背景下求向量數量積的最值問題，應用函數形式表示所求式子，進而利用分析函

數單調性或基本不等式求得最值，屬于較難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1){%|0<x<2};(2)見解析

【解析】

%<—1

(1)/(x)<4—|2x—3|等價于(I)<—(x+l)—(2x-3)44或(11)或(III)

(x+l)-(2x-3)<4

3

X>一

2,分別解出，再求并集即可;

(x+l)+(2x-3)<4

(2)禾?。萦没静坏仁郊癿+2九=”加可得〃z+2〃28,代入/(帆)+/(-2〃)=|相+1|+卜2〃+13加+2〃|可得最值.

【詳解】

3

X<—1

(1)〃x)W4—|2x—3|等價于(I)<-(x+l)-(2%-3)<4^(11)<2或(III)

(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)+(2x-3)<4

X<—1

由(I)得：<2=

x>——

[3

-1<%<。3

由(II)得：<2^>0<x<-

2

%>0

-3

X>一

由(III)得：<2n-<x<2.

2

x<2

???原不等式的解集為同0<x<2};

(2)?.?加>0,〃>0,m+2n=mn,

1/、1(m+2nf

:,m+2n=—(m-2n)<—x---------,

2V724

:.m+2n>8,

m=2nfm=4

當且僅當〈c，即1c時取等號,

m+2n=mn[〃=2

/.+2n)=|m+l|+|-2n+l|>|m+2n|>8,

當且僅當一2〃+1<0即〃2工時取等號，

2

.1./(m)+/(-2n)>8.

本題考查分類討論解絕對值不等式，考查三角不等式的應用及基本不等式的應用，是一道中檔題.

18.(1)見解析；(2)同

3

【解析】

(1)取CD的中點M，連接胸，SM,由SE=Sfi=2,進而由SC=SD,得SMLCD.進而CD,

平面,進而結論可得證(2)(方法一)過〃點作CD的平行線GH交于點G,以點”為坐標原點，

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系”-孫z,求得平面SBC,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可(方法二)取3S的中點N,上的點P,使超姜HN,PN,PH,得

HNLBS,HP上BE，得二面角C—S3—石的平面角為再求解即可

【詳解】

(1)證明：取CD的中點“，連接胸，SM,由已知得AE=AB=2,所以SE=Sfi=2,又點H是鹿的中點,

所以SHL5E.

因為SC=SD,點M是線段CD的中點，

所以SMLCD.

又因為所以HW，CE）,從而CD,平面SHM,

所以CDLSH,又CD,助不平行，

所以平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，過X點作CD的平行線GH交BC于點G,以點〃為坐標原點，所在直線

分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系”一孫z,則點3（1,—1,0）,C（l,2,0）,￡（-1,1,0）,

所以能=(0,3,0),BE=(-2,2,0),(-1,1,72).

設平面S5E的法向量為罰=（%,%,zj,

m-BE=0X]=%

—■，得｛r令％=1得應=(1,1,0).

m-BS=0[-%]+%+J2Z[=0

同理，設平面SBC的法向量為力=（%，%，22），

n-BC=0f%=0

由《一，得〈r

n-BS=0[一%2+y2+V2Z2=0

令Z2=l,得力=(0,0,1).

m-n6

所以二面角C—SB—石的余弦值為cos〈玩，為〉=

網同拒義6―3

（方法二）取3S的中點N,上的點P,使連接HN,PN,PH,易知HNLBS,HP±BE.

由（1）得SHLHP,所以印5,平面BSE,所以HP工SB,

又HNLBS,所以3SL平面PHN,

所以二面角C—S3—七的平面角為NPNH.

又計算得NW=1,PH=6,，PN=6

本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計算能力，是中檔題

19.（1）m=l-e-2（2）答案不唯一具體見解析

【解析】

（1）利用導數的幾何意義，設切點的坐標（不，e%-加%），用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質為同一

條，從而得到方程組《居居，，再構造函數研究其最大值，進而求得m=1-"2；

e0-xoe°=1

（2）對函數進行求導后得/'（x）="-根，對相分三種情況進行一級討論，即加<0,m=0,

m>0,結合函數圖象的單調性及零點存在定理，可得函數零點情況.

【詳解】

解：（1）曲線y=lnx在點02,2）處的切線方程為y—2=±（x—e2）,即y=[x+l.

ee

x

令切線與曲線/（%）="-租％相切于點（%,*-加/），則切線方程為y=（e"-m）x-e°（x0-l）,

XQx()

e-xQe=1

(加+6-2)[l—ln(加+"2)]=1,

令=t，則—=

記g?)=r(1-Ini),g'Q)=1—(l+ln/)=—In/

于是，g(。在(0,1)上單調遞增，在(l,y)上單調遞減，

2

?，-8(0max=g(1)=1,于是/=m+e~=1,m=l—e~~■

(2)f'(x)=ex—m,

i1

①當田<0時，尸。)>0恒成立，f(x)在R上單調遞增，且/(0)=1>0,/(上)=〃—1<0

m

函數/(%)在R上有且僅有一個零點；

②當加=0時，/(x)="在R上沒有零點；

③當機>0時，令/'。)>0,則x>lnw,即函數/(x)的增區(qū)間是(lnm,+oo),

同理，減區(qū)間是(一°o/nm),

/Wmin=m(l-ln/7i).

i)若0<m<e,則/(x^n=7〃(l—lnm)>0,f(x)在R上沒有零點；

ii)若加=e,則/(x)="—ex有且僅有一個零點；

iii)若〃2>e,則/(x)1nm=根(1一出也)<0.

/(21nm)=m2-2mlnm=m(m-21nm),

2

令h(m)=m-21nm,貝=l-----,

m

二.當根〉e時，/z(7%)單調遞增，hQn)>h{e}>0.

/(21nm)-m1-2mlnm-m(m-21nm)>m(e-2)>0

又?:/(0)=l>0,

/(x)在R上恰有兩個零點，

綜上所述，當0Wm<e時，函數Ax)沒有零點；當加<0或加=e時，函數/Xx)恰有一個零點；當機〉e時，“X)恰

有兩個零點.

本題考查導數的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關問題時，一定要明確切點坐標.以導數為工具，研究

函數的圖象特征及性質，從而得到函數的零點個數，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區(qū)間內單調且找到兩個

端點值的函數值相乘小于0,才算完整的解法.

20.(1)a>2(2)證明見解析

【解析】

⑴求出導函數/'(x),由/"(x)WO在(1,+s)上恒成立，采用分離參數法求解;

n

(2)觀察函數/(尤)，不等式湊配后知，利用a=2時/＜/(1)可證結論.

m

【詳解】

(1)因為y=/(X)在。,+8)上單調遞減,

12

所以/'(%)—云廠V。，即〃27=在(1，+8)上恒成立

22

因為y=一?在(1，+8)上是單調遞減的，所以〒￡(0,2),所以“22

yjx

(2)因為〃＞帆＞0,所以一〉1

m

由⑴知，當a=2時，y=/(x)在(L+s)上單調遞減

n

所以/<〃1)

m

"<o

即In——2

mm,

所以2+ln〃<2./—+lnm.

Vm

本題考查用導數研究函數的單調性，考查用導數證明不等式.解題關鍵是把不等式與函數的結論聯系起來，利用函數

的特例得出不等式的證明.

2

xC，2+丁=1(2)9-^^

21.(1)—+y2=1,1I乙/----------

4-

【解析】

分析：(1)根據題的條件，得到對應的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應的參數，結合橢圓的離心率的大小，求得

相應的參數，從而求得橢圓的方程；

(2)設出一條直線的方程，與橢圓的方程聯立，消元，利用求根公式求得對應點的坐標，進一步求得向量的坐標，將S

表示為關于k的函數關系，從眼角函數的角度去求最值，從而求得結果.

詳解：(I)依題意得對G：b=l,e=^ne2=』=仁生，得G：—+y2=1；

24a24-

2X2

同理02：丁+1=1

4

(II)設直線M4,MB的斜率分別為船上2，則MA：y=《x+l,與橢圓方程聯立得:

/22

41=>—+4（左述+1>-4=0,得（4短+1）%2+8a％=0,得4=一/心2]1，（=4勺十],所以

產幻+1做+1的+1

A(8%-4左「+1)

‘4婷+1，4婷+1