空間向量及其運(yùn)算-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

第五節(jié)空間向量及其運(yùn)算

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理

從近三年高考來看，本節(jié)內(nèi)容主要與立

及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

體幾何知識結(jié)合考查，預(yù)計(jì)2025年仍然

2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空

會(huì)與立體幾何知識結(jié)合，考查空間向量

間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積

線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，試題難度中檔.

判斷向量的共線和垂直.

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有成大小和血方向的量

相等向量方向版］相同且模同相等的向量

相反向量方向同相反且模同相等的向量

共線向量(或平

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相應(yīng)平行或國重合的向量

行向量)

共面向量平行于質(zhì)］同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對任意兩個(gè)空間向量。，儀屏0),的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使血且

=勸.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量mb不共線，那么向量p與向量0,6共面的充要條件是存

在向唯二的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使°=閨+功.

⑶空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p,存在叵］唯二的有序?qū)崝?shù)組(x,

歹，z),使得p=x〃+m+zc,{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

(1)數(shù)量積

非零向量〃的數(shù)量積〃力=1不㈤而cos〈〃，b〉.

1

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(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)。2,。3)，b=(b\1b],bj).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積aba161+4262+4363

a=Xb

共線?15141=76],42=262，43=763

（〃，0,XGR）

ab=0^^4161+4262+4363=（）

垂直

（〃刈，厚0）

模l?lA/山+原+曷

cos〈訪b)=旦，存0,厚0)/,、axbx+aibi+a^

夾角余弦值cos\a,b）—1-------i-------

4.投影向量

⑴向量。在向量b上的投影

先將向量”與向量分平移到同一平面a內(nèi)，如圖1,向量c稱為向量。在向量6上的投影向量.

(2)向量”在直線/上的投影

如圖2,向量c稱為向量。在直線/上的投影向量.

圖2

(3)向量a在平面.上的投影

如圖3,分別由向量。的起點(diǎn)/和終點(diǎn)8作平

B

圖3

面￡的垂線，垂足分別為B',得到向量點(diǎn)*,則向量稱為向量a在平面?上的投影

向量.

常用

2

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I.在空間中，A,B,。三點(diǎn)共線的充要條件是：@=》彷+夕種(其中x+y=l),。為空間

任意一點(diǎn).

2.在空間中，P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是：辦=苫次+?彷+2次?(其中苫+>+2=

1),。為空間任意一點(diǎn).

3.空間向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即〃力=〃"，/(〃+c)=〃力+/c成立，但不滿

足結(jié)合律，即(〃/>c=aQ?c)不一定成立.

4.在利用加花證明腦V〃平面Z5C時(shí)，必須說明點(diǎn)〃或點(diǎn)N不在平面Z5C內(nèi).

診斷自測

I.概念辨析(正確的打y”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)對于非零向量b,ab—bc,貝!Io=c.()

(2)若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底，則a,b,c中至多有一個(gè)零向量.()

(3)空間直角坐標(biāo)系中，在yOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0,b,c).()

答案(l)x(2)x(3)d

2.小題熱身

(1)(人教A選擇性必修第一冊習(xí)題1.2T2改編)若{a,b,c}為空間向量的一個(gè)基底，則下列

各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底的是()

A.{a,a-\~b,a-b}B.{b,a~\~b,a-b}

C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a~b,a-\~2b}

答案C

解析,?,筋+〃旗九〃￡R)與〃，力共面，:.A,B,D不符合題意.故選C.

(2)(人教A選擇性必修第一冊習(xí)題1.1T2改編)如圖，在平行六面體45。。一4山1GA中，M

為41cl與501的交點(diǎn).若刀=〃，Ab=b,AA\=C,則下列向量中與夙湘等的向量是()

A1,LI

A.—a-\b+cB.-a~\~~b-\-c

2222

C.-~a--b+cD.~a——b~\~c

2222

答案A

解析由題意，得瓦法=/3i+；可力-Ah)=c~\~^b—〃)=—%+步+。.故選A.

(3)(2024?山東濟(jì)南期中)在平面/BCQ中，懿=(—1,1,一1),就=(一1,3,4),歷=(Q,

3

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-2,0),則實(shí)數(shù)。=.

答案10

7

ct=一x一y,

解析由于成，就，花共面，所以存在實(shí)數(shù)x,y,使得T>=xS+y就，所以一2=x+3外

0=-％+4歹，

輛用8210

斛行％=—，y=—，a=—.

777

(4)(2024?四川成都樹德中學(xué)模擬)已知平行六面體45cz)—4山iGOi中，底面45CZ)是邊長為

1的正方形，44i=2,ZAxAB=ZAiAD=60°,則?就=.

答案3

解析設(shè)施=〃，Xt)=b,AA\=C,由題意得，同=1,回=1,罔=2,ab=0,ac=l,be

=1,?就=3+c)(〃+a)=〃2+〃c+Aa+〃c=l+l+0+l=3.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算

例1如圖所示，在平行六面體48CD—421GA中，設(shè)笳i=a,址=b,At)=c,M,N,P

分別是44I,BC,GA的中點(diǎn)，試用mb,c表示以下各向量：

(19;

4

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(2)贏

⑶磁+宿.

解⑴TP是CQ的中點(diǎn)，

,?AP—AA\-}-A\P=A2.\-\~D\P=A2.\-VAt)-\--DC=a~Vc~\~~Ah=a~\~c~\~~b.

222

(2)?「N是5C的中點(diǎn)，

??A^Sl=AiA-\~Ah~\~B^[=—a~\~b~\~~BtJ=—a~\~b~\~~At)=~a~\~b~\~~c.

222

(3)，??M是44i的中點(diǎn),

?.Miy—MA>-\-Ap=-Ati~\~Ap=—與+卜+。+2M=，〃+lb+c.

2222

又?=7VC+C?i——BC~\~AA\=-At)-\-AA\=-c~}~aj

222

.?.濟(jì)+格=&+?+4+&+")=30+%+3c.

222

【通性通法】

用基向量表示指定向量的方法

(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

【鞏固遷移】

1.(2023?廣東深圳外國語學(xué)校期中)在正四面體N—BCD中，其外接球的球心為。，則就=

()

A.

244

B.

444

c.

444

D.-At)~-A^+-At

444

答案C

解析在正四面體N—BCD中，設(shè)△BCD的中心為￡,的中點(diǎn)為尸.因?yàn)镺是外接球的球

心，所以前=3彳瓦又因?yàn)楦?=4方+2/=加+2、緊+飆)=:方+:為+1彳^,所以

43333333

5

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彳5=：S+1彳&+,彳5.故選C.

444

考點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用

例2（1）（2023?福建三明模擬）已知｛〃，b,c｝是空間的一個(gè)基底，m=2a+3b-cfn=x（a-b）

+y(b—c)+4(a+c),若股〃〃，則x+y=()

A.0B.16

C.6D.5

答案C

解析〃=（x+4）a+（y—x）〃+（—>+4）c,因?yàn)楣伞ㄐ∷源嬖趯?shí)數(shù)九使得〃=7%，所以（工

1+4=2九7=2,

+4)〃+(y—x)〃+(—y+4)c=2(2〃+3〃-c),所以.『_工=3九解得位=0,所以x+y=6.故

—y+4=T,y=6,

選C.

⑵已知N,8,C三點(diǎn)不共線，對平面/8C外的任一點(diǎn)O,若點(diǎn)M滿足血=；（員1+份+色.

①判斷扇，林，流三個(gè)向量是否共面；

②判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

解①由題知律+彷+虎=3成，

所以律一血=（血一彷）+（血—虎），

即就=血+詼仁一林一流，

所以瘋，林，慶共面.

②解法一：由①知，疝，磁，流共面且所在直線過同一點(diǎn)M,所以M,A,B,。四點(diǎn)共面,

從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).

解法二：因?yàn)椋?X/=1（o/+3&+oc）=1i+13&+loc,且1+I+L=i,

3333333

所以M,A,B,C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面/BC內(nèi).

【通性通法】

1.對空間任一點(diǎn)。，Op=xOk+yO^,若x+y=l,則點(diǎn)尸，A,5共線.

2.證明空間四點(diǎn)尸，M,A,3共面的方法

6

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⑴珍=x^+y林.

(2)對空間任一點(diǎn)O,Op=ok+xK^A+〃誦.

(3)對空間任一點(diǎn)。，Op^xOk+yO^+zOi(x+y+z^1).

(4)詞/7/靜(或可〃通或協(xié)〃勵(lì)).

【鞏固遷移】

2.(2023?遼寧沈陽模擬)空間中，若向量0=(5,9,m),6=(1,-1,2),c=(2,5,1)共面，

則m=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析因?yàn)閎=(l,—1,2),c=(2,5,1),所以b,c不共線，可以取為基底.若向量。，b,

'5=x+2y,

c共面，則存在實(shí)數(shù)xfy,使得a=xb+yc,即(5,9,加)=x(l,—1,2)+歹(2,5,1),即，9=一％+5乃

m=2x-\-y,

x=L

解得^=2,故選C.

加=4.

3.(多選X2024?山東濟(jì)南模擬)對于空間一點(diǎn)。，下列命題中正確的是()

A.^Op=-Ok-O^+-Ot,則尸，A,B,C四點(diǎn)共面

22

B.若分=一』用+2仍一2帶，則尸，A,B,。四點(diǎn)共面

33

C.若演=一！用+4仍，則尸，A,2三點(diǎn)共線

33

D.若舁=溫+2差，則2是線段AP的中點(diǎn)

答案BCD

解析對于A,因?yàn)?—1+1=0力，所以P,A,B,C四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對于B,因

22

為-1+2—2=1,所以P,A,B,C四點(diǎn)共面，故B正確；對于C,因?yàn)?1+4=1,所以P,

3333

A,3三點(diǎn)共線，故C正確；對于D,辦=冉+2港，即辦一81=2差，即#=2差，則|力|

=2以囪,赤，還共線,且點(diǎn)尸，2在點(diǎn)/的一側(cè)，又因?yàn)閷O,彳&有公共點(diǎn)/,所以/,P,B

三點(diǎn)共線，且2是線段4P的中點(diǎn)，故D正確.故選BCD.

考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(多考向探究)

考向1求空間向量的數(shù)量積

7

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例3⑴已知向量a=(2,1,3),\a+b\=\ia~b\,則a-=()

AA.——49B.14

2

C.V14D.莫

4

答案B

解析因?yàn)閨a+》|=|3a—b\,所以|a+A/=|3a—砰,RPa2-1-2a-b-\-b2-9a2—6a-b-\-b2,則°力

—a2,因?yàn)閍=(2,1,3),所以。2=22+12+32=]4,故”為=14.故選B.

(2)正四面體。一48C的棱長為1,E為3c的中點(diǎn)，則仍弟=()

A.--B.-

24

c.--D.-

42

答案B

解析以｛歷I,彷，/｝為基底，則|勿|=|彷|=|比|=1,且次，仍，求兩兩夾角為60。,則

Ai=o^-ok,ok=^ph+ob),旅弟=；(仍+比).(海-兩=g仍2+彷.求一訪員

一次?困=Lx[l+2—2—.故選B.

24

【通性通法】

空間向量數(shù)量積的計(jì)算方法

(1)定義法：設(shè)向量a,b的夾角為仇則。力=同回cos。.

(2)坐標(biāo)法：設(shè)。=(xi，yi,zi),6=(x2,加Z2),貝!](rb=xiX2+”y2+ziZ2.

【鞏固遷移】

4.(多選)已知四面體/一BCD中，AB,AC,兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中正確的是()

A.凝+就+硝=|成+就一油

B.|成+就+花|2=|成F+|就歷|2

C.述+就+歷)?虎=0

D.A^cb=At-Bt)=At)Bt=0

答案ABD

解析如圖，作以48,NC為鄰邊的平行四邊形/CE3,連接對于A,因?yàn)镹8,AC,AD

兩兩互相垂直，所以平面/8C,又NEu平面/8C,所以/O_L4E,所以彳方?港'=0,若

|成+就+在|=|成+就一0|,則|就+在|=|就一在所以|懣+0/=1前一歷產(chǎn)，所以

8

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Ab-A^=o,所以A正確；對于B,因?yàn)閨；1力+就+在|2=養(yǎng)2+就2+豆）2+2助.就+2差.歷

+2=|Z&|2++1JS|2,所以B正確；對于C,因?yàn)镹D_L平面/8C,8Cu平面N5C,

所以4D_LBC,所以在?此=0,所以證+就+在）?愛=（就+在）?就=就?愛+0?發(fā)=

就?月造，因?yàn)榫团c此不一定垂直，所以就?求不一定等于零，所以C錯(cuò)誤；對于D,因?yàn)?/p>

AB,AC,4D兩兩互相垂直，且/￡AC,AD相交于同一點(diǎn)/,所以/B_L平面/CD,AC±

平面4ftD,CDu平面/CD,BDu平面48。，所以48_LCD,/C_LBD,又ADLBC,所以彳&?也

=就?劭=助?炭'=0,所以D正確.故選ABD.

5.（2024?山西大同一中月考）若°,b,c為空間中兩兩夾角為四的單位向量，施=2a—2b,Cb

3

=b-c,則靜一3）=

答案T

“2=622=1,l2XOSj=

解析由題意，得=。a.J)=f).c=a.c—Cp則焉?笈)=(2。-26>(b—c)

=2ab~2ac~2b2+2bc=-1.

考向2利用數(shù)量積求長度與夾角

例4（1）在長方體/BCD-NLBCLDI中，AB=BC=\,AAr=^3,則向量彳Si與房1夾角的余

弦值為（）

A.逃B.近

56

「加n也

C.-------D.—

52

答案A

解析解法一（基底法）：如圖，|歷i|=2,|況1尸貼，歷1?沃產(chǎn)（在+笳1＞（一成+就+笳D

2卡

=2,記向量與/1的夾角為仇則cos6=.故選A.

屈山房1|2卡5

9

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解法二(空間向量法)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有。(0,0,0),A(l,0,0),D1(O,

0,43),51(1,1,3)，所以屈1=(1,1,3)，歷1=(-1,0,3),設(shè)11與方濟(jì)的夾角為0,

則cos3==一.故選A.

國ill?115

(2)(2024?安徽合肥九中檢測)在三棱柱48C—421C1中，NB4c=90。,//MC=60。,

N2=/C=44i=2,。為3cl上一點(diǎn)，且劭=與我，則區(qū)力=()

A.2B.3

C.3也D.4也

答案A

解析由題意，得T)=Z§+應(yīng))=方+；比1=前+：(麗1+用=靜+/展1+就一1§)=

x4+^x4+

33399999999

；x4+；x2+0+jx2=4,則|成)尸2.故選A.

【通性通法】

(1)運(yùn)用公式同2=Q“，可使線段長度(即兩點(diǎn)間距離)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問

題.

10

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(2)設(shè)非零向量”，b所成的角為0,則cos0=g?,進(jìn)而可求兩向量的夾角.

同團(tuán)

【鞏固遷移】

6.已知空間三點(diǎn)/(一2,0,8),P(m,m,m),2(4,~4,6),若向量耳與屈的夾角為60。，

則實(shí)數(shù)加=()

A.1B.2

C.-1D.-2

答案B

解析,:或=(一2—m,~m,8—加)，協(xié)=(4一冽，一4一冽，6—加)，???居?協(xié)=(一2一冽)(4

—m)+(—m)(—4—m)+(8—m)(6—m)=3m2—12加+40,

\Pi\=\l2+(—m)2+(8—m)2

=yj3m2-12m+68,

[兩=y](4—2+(—4—m)2+(6—m)2=

^3m2-12m+68,由耳?融=|萬||或「cos60°,得3加2—12加+40=(34—12加+68)x(,整理，

得m2—4/7?+4=0,解得"2=2.故選B.

7.(2024?遼寧沈陽模擬)如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)。處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處.已

知庫底與水壩所成的二面角為150。，測得從。，C到庫底與水壩的交線的距離分別為=

30^m,CB=40m,若/B=20m,則甲、乙兩人相距()

A.10mB.10^47m

C.70mD.10^83m

答案D

解析由題意可得，虎=忌+施+就，則|求F=(￡(+2&+^y=￡(2+2^2+/2+

2蘇?彳§+2方才就+2前?瑟，又rU=3(W3m,C5=40m,AB=20m,且?guī)斓着c水壩所成的

2222o

二面角為150。，貝!］〈耳，庭〉=30°,^TlU|JDt||=(30A/3)+20+40+0+2x30^3x40xcos30

+0=8300,即|成|=10癡.故選D.

課時(shí)作業(yè)

A級:基礎(chǔ)鞏面素

11

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一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?山西太原五中質(zhì)檢）如圖，在三棱錐。一/8C中，M,N分別是。4,8c的中點(diǎn)，G

是八43。的重心，用基向量醇，彷，皮表示前，則下列表示正確的是（）

A.-O^+-Oh+-Ot

423

B.-O^+-O^+-Ot

222

C.-1況+1訪+1帶

633

D.1勿+1仍+』求

333

答案D

解析因?yàn)榱?就+就」次+?初=1/+2（涼—/）=1川+4（劭+*）~OA\

232323

^--o^+-o^+-ot,所以鼠=血+流=1律一1@循+1歷=1次+1份+1歷.

6332633333

故選D.

2.已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4B,C,若赤=xN（+y彷+z求（x,y,zGR）,

則“x=2,>=—3,z=2”是“尸，A,B,。四點(diǎn)共面”的（）

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由x+y+z=l,得尸，A,B,C四點(diǎn)共面，當(dāng)尸，A,B,C四點(diǎn)共面時(shí)，x+y+z=l,

不能得出x=2,y=—3,z=2.故“x=2,y=—3,z=2”是“P,A,B,C四點(diǎn)共面''的充分不

必要條件.故選B.

3.已知空間向量。=（1,0,1）,b=（l,1,〃），且。力=3,則向量。與b的夾角為（）

A.-B.-

63

C."D.顯

36

12

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答案A

解析由題意，得〃,力=1+0+〃=3,解得〃=2,又同=丫1+0+1=/,\b\=+1+4=^6,

所以cos〈a,b〉=^^~=廠3=黃,又〈eb>G[0,兀],所以〃與〃的夾角為三.故選A.

\a\\b\^2x^626

4.(2024?上海七寶中學(xué)開學(xué)考試)已知〃=(1,-1,3),5=(—1,4,-2),c=(l,5,x),

若〃，b,c三向量共面，則實(shí)數(shù)x=()

A.3B.4

C.5D.6

答案C

解析〃=(1,—1,3),〃=(—1,4,—2),c=(l,5,%),若mb,c三向量共面，可設(shè)c

=ma+nb,即(1,5,x)=(m,~m,3冽)+(—〃，4幾，—2n)=(m—n,4n~m,3m—2n),所

1=m-n,m=3,

以,5=4H—冽，解得.〃=2,故選C.

x=3m—2n,x=5.

5.如圖，在正方體45cz中，點(diǎn)尸是側(cè)面的中心，若赤=0力+避+2/才1,

貝!Jx-y+z=()

A.-B.1

2

3

C.-D.2

2

答案B

解析因?yàn)獒躛=彳5+方^=彳5+3（力++貝IX=

Ly=l,z=~,則x—y+2=l.故選B.

22

6.（2024?福建漳州模擬）已知空間單位向量訪b,c兩兩垂直，則|〃+〃+c|=（）

A.3B.^6

C.3D.6

答案A

2222

解析由題意，得同=|〃=|c|=l,ab=0,〃,c=0,bc=0f\a+b+c\=（a+b+c）=a+b

+。2+2〃力+2〃,。+2〃,。=M+y+]2=3,?，?|q+A+d=/.故選A.

7.（2023?湖南郴州模擬）已知空間/,B,C,。四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P

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2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

為空間中任意一點(diǎn)，若前=5或—4降+狂匕貝!U=()

A.—2B.—1

C.0D.1

答案B

解析由筋=5成一4協(xié)+；1反得過)一河=5萬一4協(xié)+/1反1,故防=5用一3或由

A,B,C,。四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得5—3+4=1,解得4=-1.

8.(2023?山東泰安模擬)已知正六棱柱/8CDEF—48clz)i￡iB的底面邊長為1,P是正六棱

柱內(nèi)(不含表面)的一點(diǎn)，則N?前的取值范圍是()

A.[?3B.[-?3

C,[?0D.[0,3

答案A

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且4B=BC=CD=DE=EF=4F=1,由正六邊形的

也o]p也ol

性質(zhì)可得，/(0,0,0),3(1,0,0),凡2‘2'J,022'J,設(shè)P(x,y,z),其中

所以差=(1,0,O),Ap=(x,y,z),所以彳所以還?赤的取值范圍是[―2,J

故選A.

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2024?遼寧大連質(zhì)檢)如圖，在三棱柱/BC—N/iG中，M,N分別是31cl上的點(diǎn),

且AW=2/iM,C\N=2BiN.設(shè)曲=a,就=Z>,A2I—C,若NR4c=90°,ZBAAi—ZCAAi—

60°,/2=/C=44i=l,則下列說法中正確的是()

B

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2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

A.Mk=-a+-b+-c

333

B.硒=?

C.

D.cos=-

6

答案BD

解析\+4G+=^BA\~\~AC=^[AA\——AC)—+

1看1+1就=1僅+1〃+lc,故A錯(cuò)誤；由題可知同=|臼=|c|=l,a6=0,ac=bc=~,.\\Mk\2

333332

2222,,,

=^(?+6+c)=^(a+6+c+2a6+2ac+26c)=^)|A^|=^,故B正確；?；/^i=a+c,

B^i=c~\~b—a,則7f^17j?i=(a+c>(c+b—a)=ab—a2+c2+fc-c=^)|A^i|2=(?+c)2=a2+c2

+2a，c=3,則|/j?iF=(c+6—a)2=c2+Z>2+a2+26,c—21rb—2?c=3,貝

Acos〈用i,紀(jì)i〉==——=t故C錯(cuò)誤，D正確.故選BD.

|M||^i|3x36

10.如圖所示，在平行四邊形/BCD中，AB=AC=\,Z.ACD=9Q°,沿它的對角線NC將

A4CD折起，使與CA成60。角，則此時(shí)8,。兩點(diǎn)間的距離可能為()

A.也B.^3

C.2D.3

答案AC

解析：四邊形48CD為平行四邊形，又//CO=90。，.?.NC4B=90。，.?.就?設(shè))

=0,就?南=0,?.,在空間四邊形4BCD中，A8與CD成60。角，，〈用,劭〉=60?；?20。，

又就=用+就+B,：.\Bt)\2^\B^\2+\At\2+\cb\2+2Bl-At+2Bi-cb+2At-ct)=3+

2xlxixCos〈弦,衽＞),當(dāng)〈放,近)=60。時(shí)，|動(dòng)產(chǎn)=4,二.|成)尸2,即此時(shí)2,。兩點(diǎn)間的

距離為2；當(dāng)回I,神＞=120。時(shí)，\Bt)\2=2,：.\Bt)\=yj2,即此時(shí)瓦。兩點(diǎn)間的距離為仍.

綜上所述，B,。兩點(diǎn)間的距離為2或旭.

11.(2023?貴州名校三模)如圖，在三棱柱N3C—/山Ci中，尸為空間一點(diǎn)，且滿足前=4岌十

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2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

廨I,九〃W[0,1],貝U()

A.當(dāng)九=0時(shí)，點(diǎn)P在棱ABi上

B.當(dāng)彳=〃時(shí)，點(diǎn)尸在線段81。上

C.當(dāng)必=1時(shí)，點(diǎn)尸在棱8cl上

D.當(dāng)4+〃=1時(shí)，點(diǎn)P在線段SC上

答案ACD

解析當(dāng)4=0時(shí)，磨=〃屈1,又〃G[0,1],所以點(diǎn)尸在棱321上，故A正確；當(dāng)力=〃時(shí)，BP

=4(武+說1)=2詫1,4W[0,1],所以點(diǎn)P在線段3cl上，故B錯(cuò)誤；當(dāng)”=1時(shí)，Bp=XBt

+詬1,所以而方=焉有=16詁1,/￡[0,1],所以點(diǎn)尸在棱3C1上，故C正確；當(dāng)4+〃=1

時(shí)，〃=1一九所以麗=/1就+(1—4說1，即新力=4歷匕2G[0,1],所以點(diǎn)尸在線段21c上，

故D正確.故選ACD.

三、填空題

12.(2024?廣東汕頭期末)若向量。=(1,1,x),6=(1,2,1),c=(l,1,1)滿足條件(c—a)”

=-2,則工=.

答案2

解析c—a=(0,0,1—x),(c—a),2Z>=(0,0,1—x)'(2,4,2)=2—2x=-2,解得x

=2.

13.(2023?福建廈門一中檢測)如圖，已知正方體/BCD-/?。。，E是上底面4。的中心，若

就'=x(彳&+衣'+公')，貝!Jx=；若盛=G+m盛+“疝,則加+〃=.

答案11

解析因?yàn)榫汀混o+期)+箱-靜+友+及\所以x=l.因?yàn)?=1(箱，+就，)=:小+

22

3(彳2+2§+幺20=彳矛+，^+，^，所以機(jī)+“=1.

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2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義及練習(xí)解析

14.(2024?湖北武漢模擬)已知點(diǎn)/(I,2,3),BQ,1,2),尸(1,1,2),0(0,0,0),點(diǎn)0

在直線O尸上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)齒?途取得最小值時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

答案U33J

解析設(shè)。(x,y,z),因?yàn)?(I,2,3),2(2,1,2),P(l,1,2),則由點(diǎn)。在直線O尸上

可得，存在實(shí)數(shù)力使得雙=4源，所以雙=義演=(九九2A),則0(九九2A),所以工=(1

-A,2—2,3—24),Qh=(2—2,1—A,2—22),所以-2)(2-4)+(2—2)(1-4)+(3

—2A)(2—2A)=2(3A2—8A+5),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)力=：時(shí)，0力,。&取得最小值一

此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為GF?43f)l.

B級4素養(yǎng)提升練

15.(多選)(2023?黑龍江哈爾濱期中)如圖，在