專題03平行線的四大基本模型重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

專題03平行線的四大基本模型重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一平行線基本模型之M模型題型二平行線四大模型之鉛筆模型題型三平行線四大模型之“雞翅”模型題型四平行線四大模型之“骨折”模型【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】【結(jié)論1】若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C【結(jié)論2】若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.【結(jié)論3】如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型；鋸齒模型的變換解題思路拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型【例1】（2022春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】過E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β∠γ=180°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線a//b，一塊含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為（

）A．101° B．103° C．105° D．107°【答案】B【分析】如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運(yùn)用對(duì)頂角的性質(zhì)求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性質(zhì)求出∠AMO即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵直線a∥b，∴∠AMO=∠2；∵∠ANM=∠1，∠1=43°，∴∠ANM=43°，∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，∴∠2=∠AMO=103°．故選：B．【點(diǎn)睛】該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)．【變式2】（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為___________．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點(diǎn)E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．【變式3】（2022春·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)；理由見詳解【分析】（1）過點(diǎn)作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得．（1）解：如圖：過點(diǎn)作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點(diǎn)作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】【結(jié)論1】如圖所示，AB∥CD，則∠B+∠BOC+∠C=360°【結(jié)論2】如圖所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，則AB∥CD.變異的鉛筆頭：拐點(diǎn)數(shù)n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐點(diǎn)數(shù)：1拐點(diǎn)數(shù)：2拐點(diǎn)數(shù)：n【例2】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別過E點(diǎn),F點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，直線，在中，，點(diǎn)落在直線上，與直線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）.A．30° B．40° C．50° D．65°【答案】B【分析】由題意過點(diǎn)B作直線，利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作直線，∵直線m//n，，∴，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°50°=40°，∵，∴∠1=∠4=40°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內(nèi)其外一條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2020春·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數(shù)是______．【答案】540°【分析】分別過點(diǎn)C，D作AB的平行線CG，DH，進(jìn)而利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AB∥EF，分別過點(diǎn)C，D作AB的平行線CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，則∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案為：540°．【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，利用平行線的性質(zhì)計(jì)算角的大?。咀兪?】（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°∠CDP，∵∠APD=∠APQ∠DPQ，∴∠APD=∠PAB(180°∠CDP)=∠PAB+∠CDP180°；∴∠PAB+∠CDP∠APD=180°；(3)設(shè)PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°∠NOD∠ODN=180°(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°(∠PAB+∠PDC)=180°(180°+∠APD)=180°(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】【例3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】①過點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)C在AB與ED之外時(shí)，，見解析【分析】（1）由題意首先過點(diǎn)C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC∠CDE=∠BCD．【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）結(jié)論：∠ABC∠CDE=∠BCD，證明：如圖：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC∠CDE=∠BCD．若點(diǎn)C在直線AB與DE之間，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法．【變式2】（2021春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)校考期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D∠B或∠BPD=∠B∠D，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；（2）首先過點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D∠B；如圖（4），∠BPD=∠B∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法．【變式3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若的平分線交線段于點(diǎn)，連接，若，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過點(diǎn)M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的含義得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出；設(shè)，根據(jù)角的和差可得出，結(jié)合已知條件可求得，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：；（2）過點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過點(diǎn)M作，，，AF平分FH平分設(shè)，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．【答案】57°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點(diǎn)F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°37°20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°123°=57°，故答案為：57°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·湖北黃岡·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．【答案】【分析】延長(zhǎng)交BC于M，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等證明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交BC于M，∵∴∠BMD=∠ABC=80°，∴；又∵∠CDE=∠CMD+∠C，∴．故答案是：40°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·江蘇鹽城·七年級(jí)景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，若，則∠1+∠3∠2的度數(shù)為______【答案】180°【分析】延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量代換可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，如圖所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案為180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．【詳解】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設(shè)∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設(shè)∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設(shè)∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設(shè)∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關(guān)系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α【答案】B【分析】作CF//ED，利用平行線的性質(zhì)求得β與α，再判斷β與α的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】解：如圖，作CF//ED，

∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°=α，∵ED//CF，∴∠D+∠DCF=180°，∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°即∠B+∠C+∠D=360°=β，∴β＝2α．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟悉運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）把一副三角板放在水平桌面上，擺放成如圖所示的形狀，使兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊平行，則∠1的度數(shù)是（）A．90° B．105° C．120° D．135°【答案】B【分析】先作直線OE平行于直角三角板的斜邊，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】作直線OE平行于直角三角板的斜邊．可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，故∠1的度數(shù)是：60°+45°＝105°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).4．（2021春·新疆烏魯木齊·七年級(jí)新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【詳解】解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故選：C．5．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A．80° B．120°C．100° D．140°【答案】C【分析】過E作直線MN//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠1，進(jìn)而可求出∠2，然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得MN//CD，根據(jù)平行線性質(zhì)從而求出∠C．【詳解】解：過E作直線MN//AB，如下圖所示，∵M(jìn)N//AB，∴∠A+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵M(jìn)N//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵．6．（2022春·甘肅金昌·七年級(jí)校考期中）如圖，已知，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意過點(diǎn)C作CF//AB，可得CF//ED，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CF//AB，∵CF//AB，，∴CF//ED，∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°,∵∠2=∠FCD+∠ACF,∴=∠1+∠ACF+∠FCD+∠3=180°+180°=360°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，注意掌握兩直線平行時(shí)，巧妙構(gòu)造輔助線，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)，由兩直線平行的關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．7．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，將直角三角形如圖放置，若∠2=40°，則∠1為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】B【分析】過A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠5的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)．【詳解】解：標(biāo)注字母，如圖所示，過A作AB∥a，∵a∥b，∴a∥b∥AB，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD=90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°50°=130°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，然后通過平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖，

∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是矩形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），設(shè)，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，可得，，兩式相減即可得到．【詳解】解：矩形，，，，中，，即，①中，，即，②由②①，可得，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：矩形的四個(gè)角都是直角．10．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)河南省淮濱縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，，點(diǎn)在上，，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點(diǎn)E在AC上的任意一點(diǎn)，∴AE無法判斷等于CE，∠BED無法判斷等于45°，故（1）、（4）錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．11．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【分析】過點(diǎn)C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明是解決本題的關(guān)鍵.12．（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過作輔助線,過點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據(jù)ABEF,可得ABEFCGDH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得γ+βα=90°,進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖,過點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD∠BCG=βα,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=βα,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+βα=90°,∴β=α+90°γ．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．13．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，，，則______度．【答案】20【分析】如圖（見詳解），過點(diǎn)E作，先證明，再由平行線的性質(zhì)定理得到，，結(jié)合已知條件即可得到．【詳解】解：由題意可得：．如圖，過點(diǎn)E作，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了平行線的性質(zhì)定理的運(yùn)用．從“基本圖形”的角度看，本題可以看作是“M”型的簡(jiǎn)單運(yùn)用．解法不唯一，也可延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)G，結(jié)合三角形的外角定理來解決；或連結(jié)BD，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來解決．14．（2021春·甘肅慶陽·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．【答案】540【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．15．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數(shù)為___．【答案】150°##150度【分析】延長(zhǎng)AB交l2于E，根據(jù)平行線的判定可得AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)先求得∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠2的度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)AB交l2于E，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°∵l1∥l2，∴∠3=∠1=30°，∴∠2=180°∠3=150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可．【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，即∠2+∠3﹣∠1=180°．故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．17．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，則____________________．【答案】【分析】過點(diǎn)作的平行線，利用平行線的性質(zhì)，即可證明．【詳解】過點(diǎn)作的平行線，又又.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了通過平行線的性質(zhì)求解角度問題，解題關(guān)鍵在于過中間的點(diǎn)作已知直線的平行線．18．（2021春·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB//CD，點(diǎn)M、N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)E為直線AB與CD之間的一點(diǎn)，連接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點(diǎn)F，則∠MFN的度數(shù)為______________．【答案】40°或140°【分析】分兩種情況畫圖討論：分別過點(diǎn)E和點(diǎn)F作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，可得EG∥FH∥AB，根據(jù)AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情況一根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情況二根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】解：分兩種情況畫圖討論：分別過點(diǎn)E和點(diǎn)F作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，∴EG∥FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，如圖，∵EG∥AB∥CD，∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點(diǎn)F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，如圖，∵EG∥AB∥CD，∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∴∠AME+∠CNE=360°（∠BME+∠DNE）=280°∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點(diǎn)F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．綜上所述：∠MFN的度數(shù)為40°或140°．故答案為：40°或140°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．19．（2022秋·貴州六盤水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=__________°．【答案】【分析】過點(diǎn)P作平行于AB的直線，運(yùn)用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和；分別過點(diǎn)P，Q作AB的平行線，運(yùn)用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個(gè)角的和；同樣作輔助線，運(yùn)用（n1）次平行線的性質(zhì)，則n個(gè)角的和是．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)P作一條直線PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如圖，過點(diǎn)P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n2）條輔助線，運(yùn)用（n1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n1）．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．20．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB//CD，，，，則____度．【答案】90【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EH∥AB，過點(diǎn)F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，，，又∵，，∴，，∴，，∴，即：，∴．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題.小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型一“豬蹄模型”.即已知:如圖1，，為、之間一點(diǎn)，連接，得到.求證:小明筆記上寫出的證明過程如下:證明:過點(diǎn)作，∴∵，∴∴.∵∴請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題.（1）如圖，若，，則___________.（2）如圖，，平分，平分，，則___________.【答案】

240°

51°【分析】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代換計(jì)算∠B+∠F+∠C；（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H．【詳解】（1）解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180°，∵，∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵平分，平分，∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，∴∠BHC=180°∠RHB∠SHC=180°(∠ABG+∠DCG)，∠BGC=180°∠NGB∠MGC=180°(180°∠ABG)(180°∠DCG)=∠ABG+∠DCG180°，∴∠BGC=360°2∠BHC180°=180°2∠BHC，又∵∠BGC=∠BHC+27°，∴180°2∠BHC=∠BHC+27°，∴∠BHC=51°．故答案為：（1）240°；（2）51°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．22．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知，平分，平分，求證：【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．∵∠3是三角形的外角，∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，，即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，∴∠E＝（∠A＋∠C）．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角，以及角平分線等知識(shí)點(diǎn)，熟知以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．23．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB//CD，點(diǎn)為兩平行線間的一點(diǎn)．請(qǐng)證明兩個(gè)結(jié)論．（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求證即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；【詳解】（1）過點(diǎn)作，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，，，．（2），，又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2021春·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，，，，則；（2）如圖2，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，求與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2），理由詳見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，．【分析】（1）做出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)題意做出輔助線，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）如圖1，過作，，，又，，則（2）理由是：如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，（3）當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，設(shè)CD與AP交于點(diǎn)P，如圖所示，∵，∴，又∵在△CHP中，，∴，即：．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖所示，作PE∥AB，∴∠APE=∠BAP=∠α，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE=∠PCD=∠β，∴∠CPA=∠CPE∠APE=∠β∠α．答：∠CPA與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPA=∠β∠α．即．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．25．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）綜合探究：已知，點(diǎn)、分別是、上兩點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．【答案】（1）90°；（2）120°【分析】（1）過作，根據(jù)平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等解題；（2）過作，過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等性質(zhì)解得，再根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得，最后再用平行線定理解題，證明，進(jìn)而計(jì)算的值即可．【詳解】解：（1）如圖1，過作，，，圖1（2）如圖2，過作，過點(diǎn)作設(shè)，，，，，平分，平分，，，平分，，，，，，，圖2【點(diǎn)睛】本題考查平行線的定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．26．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）(1)問題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°∠PAB=180°130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．(2)問題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：如圖3，AD//BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)110°，見解析；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析【分析】(1)過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°(2)過P作PE∥AD交CD于E點(diǎn)，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.【詳解】解：(1)剩余過程：∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°120°=60°∠APC=50°+60°=110°；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下圖，過P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角.27．（2021春·廣西柳州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；（2）①如圖5過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可