專題08四邊形的計(jì)算與證明（江蘇真題22道模擬28道）-2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍

2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題08四邊形的計(jì)算與證明【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率一.平行四邊形的性質(zhì)與判定1.平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“”表示.2．平行四邊形的性質(zhì)：（1）邊：兩組對邊分別平行且相等．（2）角：對角相等，鄰角互補(bǔ)．（3）對角線：互相平分．（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱．3.平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.（5）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．4.三角形的中位線（1）三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫中位線。（2）三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。5.利用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)一些常用到的結(jié)論和方法：（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．（3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．二.矩形的性質(zhì)與判定1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．2.矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)．⑥由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形的判定3.矩形的判定：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）方法技巧：①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．3.菱形的性質(zhì)與判定（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12（3）菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．4.正方形的性質(zhì)與判定（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．（3）正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．中點(diǎn)四邊形（1）任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.（2）對角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)考向一、平行四邊形的計(jì)算與證明綜合【例1】（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）?？寄M預(yù)測）在?ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB邊上的任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥AB，交AD邊于E，連接CE、CP．(1)若AP=3時(shí)，試求出△PEC的PE邊上的高；(2)當(dāng)AP的長為多少時(shí)，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值．【答案】(1)7(2)當(dāng)AP=4時(shí)，S△PCE最大，最大為【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出PE，BF，AE，DE，設(shè)△PEC的PE邊上的高為?1，△PBC的PB（2）如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，設(shè)AP=x，△PBC的PB邊上的高為?2，仿照（1）中方法用含x的式子表示出S【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，∵∠A=60°，∴∠AEP=∠ABF=90°?∠A=30°，∴AE=2AP=6，∴PE=A∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=8，∴DE=AD?AE=2,設(shè)△PEC的PE邊上的高為?1，△PBC的PB邊上的高為?∴S四邊形∴?2∴S=243=21∴12∴?1（2）解：如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，設(shè)AP=x，△PBC的PB邊上的高為?2同理可得AF=3，BF=33，AE=2x∴PB=AB?AP=6?x，∴S=24=24=?=?3∵?32<0，0<x≤4（當(dāng)E恰好經(jīng)過點(diǎn)D∴當(dāng)x=4時(shí)，S△PCE最大，最大為12∴當(dāng)AP=4時(shí)，S△PCE最大，最大為12【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇常州·校考二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，(1)求證：△ABE≌(2)若AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO=CO．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）用HL判定兩三角形全等即可證明；（2）只要證明四邊形ABCD是平行四邊形即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，BE=DF∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)解決問題．2．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）請?jiān)冖貯E=CF；②AB=CD；③AB∥(1)已知，如圖，四邊形BEDF是平行四邊形，點(diǎn)A、C在對角線EF所在的直線上，______（填寫序號）．求證：△ABE≌△CDF；(2)連接AD、BC，若AC平分∠BAD，已知AB=10，AC=16．求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)①；見解析(2)菱形ABCD的面積為96【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得BE∥DF，BE＝DF，加上AE＝CF，證明△ABE≌△CDF；（2）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)AC平分∠BAD證明DA＝DC，從而四邊形（1）∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE∥DF，BE＝∴∠BEF＝∠DFE，∴180°－∠BEF＝180°－∠DFE，即∠BEA＝∠DFC，∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，∴AB∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠DCF＝∠DAE，∴DA＝DC，∴四邊形ABCD是菱形．∴∠AOB＝90°，AO＝CO＝12AC＝8，BO＝DO＝12∵AB＝10，∴OB＝AB∴菱形ABCD的面積＝12【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇常州·常州市朝陽中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，四邊形ABCD中，∠DAC=∠BCA=90°,∠ABC=∠D．(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)用尺規(guī)在CB的延長線上找一點(diǎn)E，使得AB平分∠EAC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)在（2）的條件下，若tan∠AEC=34,BE=5【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)已知，利用“AAS”易得△CDA≌△ABC，利用全等三角形的性質(zhì)得到AB=CD，AD=BC即可求解；（2）作出∠AEB等于已知∠ABC來求解；（3）過B作BF⊥AE，根據(jù)已知條件求出BF，再用角平分線的性質(zhì)定理得到BF=BC=3，最后用（1）中可知的AD=BC來求解．（1）證明：∵∠DAC＝∠ECA=90°，AC=CA，∴△CDA≌△ABCAAS∴AB=CD，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：作圖如下，AB平分∠EAC．（3）解：過B作BF⊥AE，垂足為F，在Rt△BFE中∵tan∠AEC=34∴tan∠AEC=∴EF=4∴BF∴BF=3（3不符合題意舍去）.∵由（2）得AB平分∠EAC，∠ACB=90°，BF⊥AE，∴BF=BC=3．由（1）得AD=BC，∴AD=BC=3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形有判定，平行四邊形的判定，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，角平分線的作法，作出圖形是解答關(guān)鍵．考向二、矩形的計(jì)算與證明綜合【例2】（2021·江蘇蘇州·校考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD、EC．(1)求證：△ADC≌(2)若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED∠ACD=∠EDC∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個(gè)角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個(gè)角是直角的‘四邊形’是矩形”．【變式訓(xùn)練】4．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是?ABCD外的一點(diǎn)，有3個(gè)選項(xiàng)：①∠AEC=90°，②∠BED=90°，③∠ABC=90°．(1)請從3個(gè)選項(xiàng)中選擇兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，得到一個(gè)真命題，并證明．你選擇的兩個(gè)條件是________，結(jié)論是________（只要填寫序號）；(2)在（1）的條件下，若AB=AO，求∠BEC的度數(shù)．【答案】(1)②③；①(2)60°【分析】（1）先由∠ABC=90°，判斷四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)可得OA=OB=OC=OD，連接OE，再由∠BED=90°得出△BED是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到OE=OA=OC，再結(jié)合三角形內(nèi)角和即可求出∠AEC=90°；（2）先判斷出△ABO為等邊三角形，可求出∠BAO=60°，再由對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓得出點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓，再由同弧所對的圓周角相等即可求解．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD,OA=OB=OC=OD，連接OE，∵∠BED=90°，∴△BED是直角三角形，∴OE=1∴OE=OA=OC，∴∠OAE=∠OEA,∠OEC=∠OCE，∵∠OAE+∠AEC+∠OCE=180°，∴∠OEA+∠OEC=90°=∠AEC，故答案為：②③；①.（2）解：由（1）得OA=OB，又∵AB=AO，∴OA=OB=AB，∴Δ∴∠BAO=60°，∵∠ABC=90°，∠AEC=90°，∴∠ABC+∠AEC=180°，∴點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓，∴∠BEC=∠BAC=60°.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓及同弧所對的圓周角相等，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足為N．(1)求證：△ABN≌(2)若AD=3，MN=1，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB//CD，∠D=90°，從而得∠BAN=∠DMA，由BN⊥AM得∠ANB=90°，從而得∠D=∠BNA，再根據(jù)AAS可證明結(jié)論；（2）由（1）得BN=AD=3，再求得AN=AB?1，再運(yùn)用勾股定理列方程求解即可．(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AB//CD，∴∠BAN=∠DMA，∵BN⊥AM，∴∠ANB=90°，∴∠D=∠BNA，在ΔANB和∠BAN=∠AMD∠BNA=∠D=∴△ABN≌(2)由△ABN≌△MAD得，∵M(jìn)N=1，∴AN=AM?1，∵AM=AB，∴AN=AB?1，在RtΔANB中，∴AB解得，AB=5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明△ABN≌6．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到矩形AEFG，其中點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊CD上，連結(jié)BG交AE于點(diǎn)G，連結(jié)BE．(1)求證：BE平分∠AEC；(2)求證：BH=HG．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到矩形AEFG，得出AB=AE，可得∠ABE=∠AEB，根據(jù)AB∥CD，得出∠CEB=∠ABE=∠AEB即可；（2）過B作BM⊥AE于M，先證△CEB≌△MEB（AAS），再證△BMH≌△GAH（AAS）即可．（1）證明：∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到矩形AEFG，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∴∠CEB=∠ABE=∠AEB，∴BE平分∠AEC；（2）證明：過B作BM⊥AE于M，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C=90°BC=AD，∴∠BME=∠C=90°，在△CEB和△MEB中，∠C=∠BME∠CEB=∠MEB∴△CEB≌△MEB（AAS），∴BC=BM，∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到矩形AEFG，∴AD=AG，∠HAG=90°，∴BM=GA，在△BMH和△GAH中，∠BMH=∠GAH∠MHB=∠AHG∴△BMH≌△GAH（AAS），∴BH=GH．【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)，矩形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握矩形性質(zhì)，矩形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考向三、菱形的計(jì)算與證明綜合【例3】（2022·江蘇鹽城·校考三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，E分別是AD及其延長線上的點(diǎn)，CF∥BE，連接BF，(1)求證：四邊形BECF是平行四邊形．(2)當(dāng)△ABC滿足____________條件時(shí)，四邊形BECF為菱形．（填寫序號）①AB=AC．②∠BAC=90°，③AB=BC，④∠BCA=90°．【答案】(1)見詳解(2)①，理由見詳解【分析】（1）由已知條件，據(jù)AAS證得△CFD≌△BED，則可證得CF=BE，繼而證得四邊形（2）由AB=AC，BD=CD，得到FE⊥BC，由△BDE≌△CDF得ED=FD，即【詳解】（1）證明：在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD=CD∵CF∥∴∠CFD=∠BED，在△CFD和△BED中，∠CFD=∠BED∴△CFD≌∴CF=BE，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（2）滿足條件①時(shí)四邊形BECF為菱形．理由：若AB=AC時(shí)，△ABC為等腰三角形，∵AD為中線，∴AD⊥BC，即FE⊥BC，由（1）知，△CFD≌∴BD=CD，∴平行四邊形BECF為菱形．故答案為：①．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的判定方法，且證得△CFD≌△BED得到【變式訓(xùn)練】7．（2019·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥AC且DE＝12AC，連接CE、OE，連接AE交OD(1)求證：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直即AC⊥BD，證明OCED是矩形，可得OE＝CD；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理求出AC與CE的長，再根據(jù)勾股定理求出AE的長度即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OC＝12AC，AC⊥BD∵DE＝12AC∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵AC⊥BD，∴平行四邊形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝2，∵OA=12AC=1，AC⊥BD，AD∴OD=AD∴在矩形OCED中，CE＝OD＝AD∴在Rt△ACE中，AE＝AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上，將△AEF沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)A落在G點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)G恰好落在AC上，且CG＝3，求DE的長；(2)如圖2，若點(diǎn)G恰好落在BD上，且BG＝3，求DE的長．【答案】(1)3(2)21【分析】（1）通過相似建立等量關(guān)系即可求出DE的長度；（2）設(shè)DE為x；先證△EDG≌△GBF，再通過對應(yīng)邊成比例建立兩個(gè)等式，再由FG+FB=12建立一個(gè)等式，三個(gè)未知數(shù)，三個(gè)等式，即可求解DE【詳解】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABD＝12∠ABC=60°，∠AOB＝90°，AC＝2在Rt△AOB中易得到AO＝63，AC＝123，∵菱形ABCD中，AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于EF軸對稱，∴AE＝EG，∴∠DAC＝∠EGA，∴∠DCA＝∠EGA，∴EG∥DC，∴DEAD∴DE12＝3∴DE＝3．（2）∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴AD＝AB，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∠EDG＝∠FBG＝60°，又由翻折可得∠EGF＝∠A＝60°，又∠EGB＝∠EGF+∠FGB＝∠DEG+∠EDG，∴∠FGB＝∠DEG．∴△DEG∽△BGF，∴DEBG設(shè)DE＝x，則EG＝AE＝12﹣x，∴x3∴BF＝27x，F(xiàn)G＝36?3x又AB＝AF+BF＝FG+BF＝12，∴27x解得：x＝215即DE＝215【點(diǎn)睛】本題考查相似比例的應(yīng)用、菱形的性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)，掌握這些是本題關(guān)鍵．9．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，矩形EFGH的頂點(diǎn)E、G分別在菱形ABCD的邊AD、BC上，頂點(diǎn)F、H在菱形ABCD的對角線BD上．(1)求證：BG＝DE；(2)若E為AD中點(diǎn)，菱形ABCD的周長是20，求FH的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接EG，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE是平行四邊形，得到AB＝EG，即可得到FH的長．（1）∵四邊形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，在△BGF和△DEH中，∠GBF=∠EDH∠BFG=∠DHE∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE．（2）如圖，連接EG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E為AD中點(diǎn)，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，又∵AE∥BG，∴四邊形ABGE是平行四邊形，∴EG＝AB，∵菱形ABCD的周長是20，∴AB＝5＝EG，∵四邊形EFGH是矩形，∴FH＝EG＝5．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．解決問題的關(guān)鍵是連接EG，利用矩形的對角線相等，平行四邊形的對邊相等得出結(jié)論．考向四、正方形的計(jì)算與證明綜合【例4】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在DE延長線上，連接AF、BF．(1)若∠DFB=90°．①求證：FA平分∠DFB；②連接FC，用等式表示線段BF、FC與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若BF＝1，DF＝2，求AF的最大值．【答案】(1)①證明見詳解;②AF=FC+2(2)3【分析】（1）①延長FD至點(diǎn)G，使DG＝BF，在四邊形ABCD為正方形，有AB＝AD，∠BAD＝90°．則有∠DFB＝90°，∠ABF＋∠ADF＝180°．再根據(jù)∠ADG＋∠ADF＝180°，即有∠ABF＝∠ADG．可得△ABF?△ADG，即可得△FAG為等腰直角三角形．則∠AFG＝∠AFB＝45°，結(jié)論即得證．另一種方法：過點(diǎn)A作AG⊥BF于G，AH⊥DF于H，依據(jù)∠BFD＝90°，∠GAH＝90°．結(jié)合正方形的性質(zhì)，有∠GAB＋∠BAH＝90°，∠DAH＋∠BAH＝90°．即有∠GAB＝∠DAH．可證得△GAB?△HAD，得到GA＝HA．結(jié)論即得證．②過點(diǎn)B作BM⊥BF交AF于M，由①得∠BFA＝45°，△BMF為等腰直角三角形．則有MF=2BF，BM＝BF，再利用正方形的性質(zhì)可得∠ABM＋∠MBC＝90°，∠FBC＋∠MBC＝90°．即有∠ABM＝∠CBF，可證得△ABM?△CBF．繼而得到AM＝FC，則有AF＝AM＋MF＝FC＋2（2）將△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有∠BAF＝∠DAN，BF＝DN＝1，AF＝AN．根據(jù)∠BAD＝∠BAF＋∠FAD＝90°，得到∠NAF＝∠DAN＋∠FAD＝90°．當(dāng)F、D、N三點(diǎn)共線時(shí)，△AFN為等腰直角三角形，即可由AF=22FN=（1）①延長FD至點(diǎn)G，使DG＝BF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°．∵∠DFB＝90°，∴∠ABF＋∠ADF＝180°．∵∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠ABF＝∠ADG．∴△ABF?△ADG．∴AF＝AG，∠BAF＝∠DAG．即∠FAG＝90°，△FAG為等腰直角三角形．∴∠AFG＝∠AFB＝45°．∴FA平分∠DFB．另解：過點(diǎn)A作AG⊥BF于G，AH⊥DF于H，∵∠BFD＝90°，∴∠GAH＝90°．在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．∴∠GAB＋∠BAH＝90°，∠DAH＋∠BAH＝90°．∴∠GAB＝∠DAH．∵∠AGB＝∠AHD＝90°，∴△GAB?△HAD，∴GA＝HA．∴FA平分∠DFB．②AF=FC+2理由如下：過點(diǎn)B作BM⊥BF交AF于M，由①得∠BFA＝45°．∴△BMF為等腰直角三角形．∴MF=2BF，BM＝在正方形ABCD中，BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABM＋∠MBC＝90°，∠FBC＋∠MBC＝90°．∴∠ABM＝∠CBF．∴△ABM?△CBF．∴AM＝FC．∴AF＝AM＋MF＝FC＋2BF．（2）將△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADN，∴∠BAF＝∠DAN，BF＝DN＝1，AF＝AN．∵∠BAD＝∠BAF＋∠FAD＝90°，∴∠NAF＝∠DAN＋∠FAD＝90°．當(dāng)F、D、N三點(diǎn)共線時(shí)，△AFN為等腰直角三角形，∴AF=2∴AF的最大值為32【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是合理作出有效的輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】10．（2020·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點(diǎn)，連接AE,CE延長AE交CD邊于點(diǎn)F．(1)求證：△ABE≌△CBE；(2)設(shè)∠AEC=α，∠AFD=β，試求β（β用含α的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)β=135°12【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CBE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可求∠CEB，由三角形的外角的性質(zhì)可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△CBE（SAS）；(2)解：∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB，又∵∠AEC=α，∴∠CEB=12α=∠AEB∴∠DEF=12α∴∠AFD=180°∠DEF∠EDF=180°45°12α=β∴β=135°12α【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF．連接DE、DF、BE、BF．(1)證明：△ADE≌△CBF；(2)若AB=52，AE=3，求四邊形BEDF【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=90°，∠DAC=∠BCA=45（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，證明四邊形DEBF為平行四邊形，由AC⊥BD證明平行四邊形DEBF為菱形，由AB=OA2+OB2=52，可求OA=OB=5，則OE=2，在（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=90∴∠DAC=∠BCA=在△ADE與△BCF中∵AD=BC∴△ADE≌△CBFSAS（2）解：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，∵AE=CF∴OE=OF∴四邊形DEBF為平行四邊形又∵AC⊥BD∴平行四邊形DEBF為菱形∵AB=O∴OA=OB=5又∵AE=3∴OE=2在Rt△BOE中，由勾股定理得BE=∴四邊形DEBF的周長為429【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．12．（2021·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┚匦蜛BCD中，E為AB邊上的中點(diǎn)，AF⊥DE，交AF于點(diǎn)G．(1)若矩形ABCD是正方形，①如圖1，求證：△ADG∽△EAG；②如圖2，分別連接BG和BD，設(shè)BD與AF交于點(diǎn)H．求證：BG2=AG·DG；(2)類比：如圖3，在矩形ABCD中，若ADAB=43，【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)4【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，利用同角的余角相等得出∠ADG=∠BAF，再由相似三角形的判定即可證明；②過點(diǎn)B作BN⊥AF于點(diǎn)N，利用全等三角形的判定得出△ABN≌△DAG，再根據(jù)其性質(zhì)得出AG=BN，DG=AN，利用中點(diǎn)的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行等量代換求解即可；（2）過點(diǎn)B作BM⊥AF于點(diǎn)M，由相似三角形的判定和性質(zhì)得出△DAE∽△AMB，ADAE=AMBM，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系得出BM=38AM，（1）②中證明可得：AG【詳解】（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=∠AGE=90°，∴∠DAG+∠ADG=90°，∴∠ADG=∠BAF，∴△ADG∽△EAG；②如圖所示：過點(diǎn)B作BN⊥AF于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∵∠BAF=∠ADE，∠AGE=∠ANB=90°，∴△ABN≌△DAG，∴AG=BN，DG=AN，∴∠AGE=∠ANB=90°，∴EG∥BN，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴AN=2AG=2GN=DG，∵BG∴BG（2）如圖所示，過點(diǎn)B作BM⊥AF于點(diǎn)M，∴∠AMB=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵DE⊥AF，∴∠DAF+∠ADE=90°，∠BAD=∠AMB=90°，∴∠BAF=∠ADE∴△DAE∽△AMB，∴ADAE點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴AE=1∵ADAB∴ADAE∴BM=3由（1）②中證明可得：AG=GM，AM=2AG，∴BM=3∴BG∵BG=5，∴AG=4．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形得判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．考向五、四邊形與最值綜合問題【例5】（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，連接A′C、A′D．（1）如圖1，當(dāng)AE＝時(shí)，A′D∥BE；（2）如圖2，若AE＝3，求S△A′CB．（3）點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠A′CB的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)線段AE的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）4；（2）725；（3）【分析】（1）連接AA′，交BE于點(diǎn)F，由折疊得F為AA′的中點(diǎn)，當(dāng)A′D∥BE，則E為AD的中點(diǎn)，可知AE等于AD長的一半；（2）過點(diǎn)A′作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，得到△BA′N∽△A′EM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程可求出A′N的長，再求S△A′CB；（3）作BG⊥A′C交CA′的延長線于點(diǎn)G，可證明BG越大則∠A′CB越大，進(jìn)而證明當(dāng)C、A′、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)∠A′CB最大，此時(shí)∠BA′C=90°，可證明EC=BC=8，再由勾股定理求出A′C的長，再求A′E的長即得到AE的長．【詳解】解：（1）如圖1，連接AA′，交BE于點(diǎn)F，∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線BE對稱，∴BE垂直平分AA′，∴F為AA′的中點(diǎn)，當(dāng)A′D//BE∴點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，∴AE=DE=1故答案為：4.（2）如圖2，過點(diǎn)A′作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則∠EMA′=90°，∵AD//BC，∴∠A′NB=180°?∠EMA′=90°，由折疊得，∠BA′E=∠A=90°，A′E=AE=3，A′B=AB=6，∴∠A′NB=∠EMA′，∵∠BA′N=90°?∠EA′M=∠A′EM，∴△BA′N∽△A′EM，∴A′NEM∴A′N=2EM；∵∠A=∠ABN=∠EMA′=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，設(shè)A′N=m，則A′M=6?m，∴EM=3∴m=2?整理得5m解得，m1=18∵BC=8，∴S（3）如圖3，作BG⊥A′C交CA′的延長線于點(diǎn)G，則∠BGC=90°；以點(diǎn)B為圓心、AB長為半徑作圓，則點(diǎn)A′在⊙B上運(yùn)動(dòng)，∵sin∴sin∠A′CB的值隨而sin∠A′CB的值隨∠A′CB∴BG越大則∠A′CB越大，∵BG≤A′B，∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A′重合時(shí)，BG=A′B=6，此時(shí)BG最大，∠A′CB也最大；如圖4，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A′重合時(shí)，則∠BA′C=90°，∴∠BA′E+∠BA′C=180°，∴C、A′、E三點(diǎn)在同一條直線上；∵∠CEB=∠AEB，∠AEB=∠CBE，∴∠CEB=∠CBE，∴EC=BC=8，∵A′C=B∴AE=A′E=8?27【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)及動(dòng)點(diǎn)問題中的最值問題等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，此題難度較大，屬于考試壓軸題．【變式訓(xùn)練】13．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC=60°，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，C，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N．(1)求證：AF=EF；(2)求MN+NG的最小值．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）連接CF，根據(jù)FG垂直平分CE和菱形的對稱性即可得到CF=EF，CF=AF，從而求證結(jié)論；（2）利用M和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，即可得到MN+NG=12(AF+CF)，當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對角線交點(diǎn)O重合時(shí)，AF+CF最小，此時(shí)MN+NG【詳解】（1）證明：連接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四邊形ABCD為菱形，∴A和C關(guān)于對角線BD對稱，∴CF=AF，∴AF=EF；（2）解：連接AC，∵M(jìn)和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，∴MN=1MN+NG=當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對角線交點(diǎn)O重合時(shí)，AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，∵菱形ABCD邊長為1，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值為12【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)的知識，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．14．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動(dòng)，將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF．(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作FM⊥AC，垂足為M，求證AM=AB；(2)當(dāng)AE=32時(shí)，求CF(3)連接DF，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，試探究DF的最小值．【答案】(1)見詳解(2)3或13(3)3【分析】（1）證明△ABE?△AMF即可得證．（2）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，借助△ABE?△AMF，在Rt△CMF中求解；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，借助△AGE?△AHF并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當(dāng)點(diǎn)E在BC和CD上時(shí)，點(diǎn)F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．（1）如圖所示，由題意可知，∠AMF=∠B=90°，∴∠BAE=∠MAF，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF，在△ABE和△AMF中，{∠B=∠AMF∴△ABE?△AMF，∴AM=AB．（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，在Rt△ABE中，AB=4，AE=32則BE=A在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，則AC=A由（1）可得，MF=BE=2在Rt△CMF中，MF=2，CM=AC?AM=5?4=1則CF=M當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，同（1）可得△AGE?△AHF，∴FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2，由勾股定理得CF=3故CF的長為3或13．（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥FM于點(diǎn)H，由（1）知，∠AMF=90故點(diǎn)F在射線MF上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DH的值最?。凇鰿MJ與△CDA中，{∠CMJ=∠ADC∴Rt△CMJ~Rt△CDA，∴CM即∴1∴MJ=34，DJ=CD?CJ=4?5在△CMJ與△DHJ中，{∠CMJ=∠DHJ∴Rt△CMJ~Rt△DHJ，∴CM即1DHDH=11故DF的最小值115如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過點(diǎn)D作DQ⊥AR，DK⊥FR，由題意可知，∠DAE=∠RAF，在△ARF與△ADE中，{AD=AR∴△ADE?△ARF，∴∠ARF=∠ADE=90故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，DF的值最小；由于DQ⊥AR，DK⊥FR，∠ARF=90故四邊形DQRK是矩形；∴DK=QR，∴AQ=AD?cos∵AR=AD=3，∴DK=QR=AR?AQ=3?12故此時(shí)DF的最小值為35由于35<115，故【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是各性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．15．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，過A點(diǎn)作AG∥DB交CB的延長線于點(diǎn)(1)求證：DE∥(2)當(dāng)△ABD滿足什么條件時(shí)，四邊形DEBF是菱形（不需要證明）(3)請利用備用圖分析，在（2）的條件下，若BE=2，∠DEB=120°，點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PF+PM的最小值．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，四邊形DEBF是菱形，證明見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DF=BE，AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AGBD是矩形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ED=EB，證明結(jié)論；（3）連接EM交BD于P，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)證明此時(shí)PF+PM的值最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE∥BF；（2）當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，四邊形DEBF是菱形．理由：∵∠ADB=90°，又E為邊AB的中點(diǎn)，∴ED=EB，又四邊形DEBF是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形；（3）連接EF，連接EM交BD于P，∵四邊形DEBF是菱形，∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于BD軸對稱，此時(shí)PF+PM的值最小，∵四邊形DEBF是菱形，∠DEB=120°，∴∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形，又BE=2，∴EM=3，即PF+PM的最小值為3．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱變換的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵．考向六、四邊形與幾何壓軸問題【例6】（2021·江蘇連云港·?？家荒＃?）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，∠EOF的頂點(diǎn)O在正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)處，∠EOF＝90°，將∠EOF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠EOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）．則CE，CF，BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是______．（2）【類比應(yīng)用】如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他條件不變，當(dāng)∠EOF＝60°時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請猜想結(jié)論并說明理由．（3）【拓展延伸】如圖3，∠BOD＝120°，OD＝34，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝13，且OB＞2OA，點(diǎn)C是OB上一點(diǎn)，∠CAD＝60°，求OC【答案】（1）CE+CF＝BC；（2）結(jié)論不成立．CE+CF＝12BC；理由見解析；（3）OC＝【分析】（1）如圖1中，結(jié)論：CE+CF=BC．證明△BOE≌△COF（ASA），即可解決問題．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．CE+CF=12BC．連接EF，在CO上截取CJ=CF，連接FJ．首先證明CE+CF=OC（3）如圖3中，由OB＞2OA可知△BAO是鈍角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，設(shè)OH=x．構(gòu)建方程求出x可得OA=1，再利用（2）中結(jié)論即可解決問題．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：CE+CF＝BC．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠OCF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC．故答案為CE+CF＝BC．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．CE+CF＝12BC理由：連接EF，在CO上截取CJ＝CF，連接FJ．∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴∠BCO＝∠OCF＝60°，∵∠EOF+∠ECF＝180°，∴O，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠OFE＝∠OCE＝60°，∵∠EOF＝60°，∴△EOF是等邊三角形，∴OF＝FE，∠OFE＝60°，∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°，∴△CFJ是等邊三角形，∴FC＝FJ，∠JFC＝∠OFE＝60°，∴∠OFJ＝∠CFE，∴△OFJ≌△EFC（SAS），∴OJ＝CE，∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC＝12BC（3）如圖3中，由OB＞2OA可知△BAO是鈍角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，設(shè)OH＝x．在Rt△ABH中，BH＝13?3x∵OB＝4，∴13?3x2+解得x＝32或1∴OH＝12或3∴OA＝2OH＝1或3（舍棄），∵∠COD+∠CAD＝180°，∴A，C，O，D四點(diǎn)共圓，∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝60°，∵∠CAD＝60°，∴△ACD是等邊三角形，由（2）可知：OC+OD＝OA，∴OC＝1﹣34＝1【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【變式訓(xùn)練】16．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B作BE⊥射線DP于點(diǎn)E，連接AE．(1)如圖1，在DE上取一點(diǎn)F，使DF=BE，連接AF，求證：AE=AF；(2)如圖2，點(diǎn)P在AB延長線上，求證：BE+DE=2(3)如圖3，若把正方形ABCD改為矩形ABCD，且CDAD=12，其他條件不變，請猜想DE，【答案】(1)見解析(2)見解析(3)DE=【分析】(1)先判斷出AB=AD，利用等角的余角相等判斷出∠ABE=∠ADF，進(jìn)而判斷出△ABE≌△ADF，即可得出結(jié)論；(2)利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的定義判斷出∠BAE=∠DAG，進(jìn)而判斷出△ABE≌△ADG，再判斷出EG=2（3）同（1）的方法得，∠ABE=∠ADH，得出△ABE∽△ADH，得出比例式，進(jìn)而得出AH=2AE,DH=2BE，再用匈股定理得出EH=5【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠ADF+∠APD=90°，∵∠APD=∠BPE，∴∠ADF+∠BPE=90°，∵BE⊥DP，∴∠BEP=90°，∴∠ABE+∠BPE=90°，∴∠ABE=∠ADF，∵DF=BE，∴Δ∴AE=AF；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)A作AG⊥AE交PD的延長線于G，∴∠EAG=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥DP，∴∠BED=90°，∴∠AEB+∠ADP=180°，∵∠ADG+∠ADP=180°，∴∠ABE=∠ADG，∵∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，∴Δ∴BE=DG，AE=AG，∴EG=2∵EG=DE+DG=DE+BE，∴BE+DE=2（3）解：DE=5證明：如圖3，過點(diǎn)A作AH⊥AE交DP于H，∴∠EAH=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°=∠EAH，∴∠BAE=∠DAH，同（1）的方法得，∠ABE=∠ADH，∴Δ∴ABAD∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵CDAD∴AEAH∴AH=2AE，DH=2BE，在Rt△EAH中，根據(jù)勾股定理得，AE∴AE∴EH=5∴DE=EH+DH=5【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，同角的余角相等，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形和相似三角形是解本題的關(guān)鍵．17．（2022春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分線交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別作直線CE，CF的垂線，B，D為垂足．(1)求證：四邊形ABCD是正方形．(2)已知AB的長為6，求（BE+6）（DF+6）的值．(3)借助于上面問題的解題思路，解決下列問題：若銳角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一條高是PH，長度為6，QH＝2，求HR長度．【答案】(1)見解析(2)72(3)HR=3【分析】（1）作AG⊥EF交EF于點(diǎn)G，則∠AGE=∠AGF=90°，先證明四邊形ABCD是矩形，再由角平分線的性質(zhì)得出AB=（2）證明Rt△ABE≌Rt△AGE得BE=EG，同理Rt△ADF≌Rt△AGF得出DF=GF，即可得BE+DF=GE+GF=EF，設(shè)BE=x，DF=y，則CE=BC?BE=6?x，CF=CD?DF=6?y，EF=x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得，CE2+C（3）把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延長DQ、MR交于點(diǎn)G，由（1）（2）得，四邊形PMGD是正方形，則MR+DQ=HR+HQ=QR，DQ=HQ=2，即可得MG=DG=MP=PH=6，GQ=4，設(shè)MR=HR=a，則GR=6?a，QR=a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得，GR（1）證明：如圖所示，作AG⊥EF交EF于點(diǎn)G，則∠AGE=∠AGF=90∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B=∠D=90°=∠C，∴四邊形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分線交于點(diǎn)A，∴AB=AG，AD=AG，∴AB=∴四邊形ABCD是正方形．（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE=AEAB=AG∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE=EG，在Rt△ADF和Rt△AGF中，AF=AFAD=AG∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF=GF，∴BE+DF=GE+GF=EF，設(shè)BE=x，DF=y，則CE=BC?BE=6?x，CF=CD?DF=6?y，EF=x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得，C(6?x)36?xy+6(x+y)=36，∴(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36=36+36=72．（3）解：如圖所示，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延長DQ、MR交于點(diǎn)G，由（1）（2）得，四邊形PMGD是正方形，MR+DQ=HR+HQ=QR，DQ=HQ=2，∴MG=DG=MP=PH=6，∴GQ=4，設(shè)MR=HR=a，則GR=6?a，QR=a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得，G(6?a)36?12a+解得，a=3，即HR=3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)，本題綜合性較強(qiáng)．18．（2022春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．(1)若點(diǎn)G在邊CB的延長線上，且BG＝DF，（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；(2)若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：EF(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形（如圖③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，請你直接寫出△CEF的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)17【分析】（1）先證明△ABG≌ADF，可得AF＝AG，∠EAF＝∠GAE＝45°，故可證△AEG≌△AEF；（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連接GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG＝EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE＝CF，BE＝BM，NF=2DF，然后證明∠GME＝90°，MG＝NF，利用勾股定理得出EG2（3）延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連接HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，結(jié)合勾股定理以及相等線段可得GH+BE2+BE﹣GH【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，∴∠ABG=∠D=90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌ADF，∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝45°，在△AGE與△AFE中，AG=AF∠GAE=∠FAE∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為a．將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連接GM．則△ADF≌△ABG，DF＝BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF．∵∠CEF＝45°，∴∠BEM=∠DFN=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF=2DF∴a﹣BE＝a﹣DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°+45°＝90°，∴EG∵EG＝EF，MG=2BM=2DF＝∴EF（3）解：如圖所示，延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連接HM，HE．過點(diǎn)H作OH⊥BC交CB延長線于點(diǎn)O，∴AH=AF，∠DAF=∠HAG，∴∠HAE=∠HAG+∠EAG=∠DAF+∠EAG=90°∠EAF=45°，∴∠HAE=∠EAF，∵AE=AE，∴△AEH≌△AEF，∵∠CEF=45°，∴∠BEM=∠CFE=∠DFN=45°，∴△BEM，△DFN為等腰直角三角形，∴BM=BE=BG+GM，∵∠BOH=∠OBG=∠BGH=90°，∴四邊形OBGH是矩形，∴OB=HG，OH=BG，∠BOH=90°，∴OE∴GH+BE2即GH+BE又∴EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM，∴GH+BE2即2D∵BE＝4，DF＝1，∴EF∵△ECF是等腰直角三角形，∴S△EFC=1【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，其中涉及到正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理．準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合及類比思想是解題的關(guān)鍵．考向七、以四邊形為載體新定義材料問題【例7】（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤绻粋€(gè)四邊形的對角線相等，我們稱這個(gè)四邊形為美好四邊形．【問題提出】（1）如圖①，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，請說明四邊形ABCD是美好四邊形；【問題探究】（2）如圖②，△ABC，請利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點(diǎn)D，使得四邊形ABCD是美好四邊形，且滿足AD=BD．保留作圖痕跡，不寫畫法；（3）在（2）的條件下，若圖②中△ABC滿足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四邊形ABCD的面積；【問題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個(gè)信號塔分別建在A、B、C、D四處，現(xiàn)要求信號塔C建在公園內(nèi)一個(gè)湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個(gè)半徑為200m的圓，記為⊙E已知點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500m，是否存在這樣的點(diǎn)D，滿足AC=BD．且使得四邊形【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）221+3【分析】（1）連接AC,BD，證明△ACE≌（2）分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于12AB長度為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，連接兩弧交點(diǎn)，即作AB的垂直平分線，以B為圓心，AC長度為半徑畫弧交AB的垂直平分線于點(diǎn)D，則點(diǎn)（3）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=12AB，根據(jù)勾股定理求出AC，則BD（4）當(dāng)美好四邊形的對角線不垂直時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，可得DE+BF<BD；當(dāng)美好四邊形對角線互相垂直時(shí)，S四邊形ABCD=【詳解】解：（1）連接AC,BD，∵∠BEC=∠AED，∴∠BEC+∠CED=∠AED+∠CED，即∠BED=∠AEC，在△AEC和△DEB中，AE=DE∠AEC=∠DEB∴△AEC≌∴AC=BD，∴四邊形ABCD是美好四邊形；（2）如圖即為所作；（3）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD=BD，∴AE=BE=1∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴AC=5，BE=1∵四邊形ABCD為美好四邊形，∴AC=BD=5，∴DE=B∴S△ABD=1∴S四邊形（4）存在，當(dāng)美好四邊形的對角線不垂直時(shí)，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，則S四邊形∵DE<DO,BF<BO，∴DE+BF<BD，當(dāng)美好四邊形對角線互相垂直時(shí)，S四邊形∵12∴當(dāng)美好四邊形的對角線垂直時(shí)面積最大，如圖，當(dāng)AC過圓心E，AC最長，四邊形ABCD中，AC⊥BD時(shí)，其面積最大，∵湖泊的半徑是200m，點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500∴AC=500+200×2=900m∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了特殊四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，明確等角線四邊形對角線垂直時(shí)面積最大是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】19．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．凸四邊形就是沒有角度大于180°的四邊形，把四邊形的任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫凸四邊形．(1)已知四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=80°，∠B=70°，則∠C=____________°，∠D=____________°．(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB邊上的中線，過點(diǎn)D作DE垂直于CD交AC于點(diǎn)E，試說明四邊形BCED(3)如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1，CD平分∠ACB，點(diǎn)E在線段AC延長線上，以點(diǎn)B、C、E、D為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為“等對角四邊形”，求線段AE【答案】(1)140；70(2)見解析(3)線段AE的長為2或52或7【分析】（1）根據(jù)“等對角四邊形”的定義，當(dāng)四邊形ABCD是“等對角四邊形”時(shí)，由∠A≠∠C可得∠B=∠D，即可求出∠D的度數(shù)，再利用四邊形內(nèi)角和定理，即可求出∠C；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出AD=DB=DC，由等邊對等角得出∠DCB=∠B，再由∠B+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∠CED+∠ACD=90°，利用同角的余角相等，得出∠CED=∠B，又∠ECB≠∠EDB，根據(jù)“等對角四邊形”的定義，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)“等對角四邊形”的定義，當(dāng)四邊形CBDE為“等對角四邊形”時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，可證得△CDE≌△CDB，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，得出EC=BC=1，那么AE=AC?EC=2；②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，先利用勾股定理求出AB=AC2+BC2=10，再根據(jù)圓周角定理得出△BDE是等腰直角三角形，則DB=DE，設(shè)DB=DE=x，則AD=10?x，再證明△ADE∽△ACB，則ADAC=DEBC，可求得DE=104，AD=3104，再利用勾股定理，即可求得AE的長；③如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠CDB=∠E，∠DCE≠∠DBE，連接BE，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，推出△CDF是等腰直角三角形，得到DF=CF，通過△ADF∽△ABC，得到AFAC=DFBC，即可求得DF=34，再根據(jù)△CHB∽△ACB，得到CHAC=BCAB，可得CH=【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=80°，∠B=70°，∴∠D=∠B=70°，∴∠C=360°?∠A?∠B?∠D=360°?80°?70°?70°=140°．故答案為：140；70．（2）證明：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB∴AD=DB=DC，∴∠DCB=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠B+∠ACD=90°，∵DE⊥CD，∴∠CED+∠ACD=90°，∴∠CED=∠B，∵∠ECB≠∠EDB，∴四邊形BCED是“等對角四邊形”．（3）①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如圖，∵CD平分∠ACB，∴∠DCE=∠DCB，在△CDE和△CDB中，∠DEC=∠B∴△CDE≌△CDB，∴EC=BC=1，∴AE=AC?EC=3?1=2；②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，如圖，連接BE，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1∴AB=A∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=1∵∠BCE=∠BDE=90°，∴點(diǎn)B、C、E、D空白公式四點(diǎn)共圓，∴∠BED=∠BCD=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DB=DE，設(shè)DB=DE=x，則AD=10∵∠BCE=∠BDE=90°，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ACB在△ADE和△ACB中，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴AD∴10解得x=10∴DE=104，在Rt△ADE中，AE=A③如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠CDB=∠E，∠DCE≠∠DBE，連接BE，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，∴DF∥BC，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF=CF，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴AFAC=∴DF=3∴sin∴CD=DF在△CHB和△ACB中，∠B=∠B∴△CHB∽△ACB，∴CH∴CH=BC?AC∴DH=C∵∠CHD=∠BCE=90°，∠CDB=∠E，∴△CDH∽△BCE，∴CE∴CE=BC?DH∴AE=AC+CE=3+1④點(diǎn)E在AC的延長線上，如圖，∠CDB≠∠E，∠DCE=∠DBE，連接BE，過E作EH⊥AB交AB的延長線于H，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1∴∠DCE=∠DBE=180°?45°=135°，∴∠EBH=180°?135°=45°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴BH=HE，∵∠A=∠A，∠ACB=∠H=90°，∴△ABC∽△AEH，∴ACAH=∴BH=10∵cos∴BE=BH∴CE=B∴AE=AC+CE=3+2=5；綜上所述，線段AE的長為2或52或7【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、余角的性質(zhì)、勾股定理，理解“等對角四邊形”的定義并且掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【定義】只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，∠ABC=∠ADC=90°，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有ADB和ACB，此時(shí)∠ADB=∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在BC同側(cè)有BAC和BDC，此時(shí)∠BAC=∠DBC．(1)【理解】如圖1，∠ABD=______；(2)下列圖形中一定是損矩形的是______（填序號）；(3)【應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，以AC為一邊向外作菱形ACEF，點(diǎn)D為菱形ACEF對角線的交點(diǎn)，連接BD，當(dāng)BD平分ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？并說明理由；(4)如圖3，四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OG⊥BD于點(diǎn)G，若OG=2，則AC【答案】(1)∠ACD(2)③(3)正方形，理由見解析(4)16【分析】（1）在AD的同側(cè)的∠ABD=∠ACD；（2）只有③是只有一組對角是直角的四邊形；（3）可得∠ADC=∠ABD=45°，進(jìn)而求得∠ACE=90°，從而推得結(jié)果；（4）可推出OB=OD，進(jìn)而推出△BOG是直角三角形，進(jìn)一步求得結(jié)果．（1）在AD的同側(cè)的∠ABD=∠ACD，故答案為：∠ACD；（2）只有③是只有一組對角是直角的四邊形，故答案為：③；（3）四邊形ACEF是正方形，理由如下：∵四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC∴∠ADC=∠ABD=45°，∵四邊形ACEF是菱形，∴∠ECF=∠ACD=45°，∴∠ACE=90°，∴四邊形ACEF是正方形；（4）∵四邊形ABCD是以AC為直徑的損矩形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OB=12AC∵Rt△ABC中O是AC∴OD=12AC∴OB=OD=12BD∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，∴OG⊥BD，∴∠BOG=90°，在Rt△OBG∴OB即12∴AC故答案是為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)，正方形判定等知識，解決問題的關(guān)鍵是充分利用定義給出的結(jié)論．21．（2021秋·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：如果一個(gè)等腰直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為矩形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的邊上，且任何兩個(gè)頂點(diǎn)都不在矩形的同一邊上，我們稱這樣的等腰直角三角形為矩形的“內(nèi)接優(yōu)三角形”．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD、BC上，∠AEF＝90°，AE＝EF，△AEF為矩形ABCD的內(nèi)接優(yōu)三角形．(1)正方形（填“存在”或“不存在”）內(nèi)接優(yōu)三角形；(2)已知△AEF為矩形ABCD的內(nèi)接優(yōu)三角形．①若AD＝4，AB＝7，求AF的長；②設(shè)AB＝a，AD＝b（a＞b），問是否存在斜邊長為6b的內(nèi)接優(yōu)三角形？若存在，請求出ab③若△CEF的外接圓與直線AB相切，求此時(shí)ab【答案】(1)不存在(2)①AF=52；②不存在，理由見詳解；③【分析】（1）先證明ΔADE≌（2）①先根據(jù)AAS定理得出ΔADE≌ΔECF，故可得出CF的長，根據(jù)勾股定理即可得出AF的長；②由①得6b2=a2+(2b?a)2可設(shè)ab=k，則a=bk，代入上式化簡得k2?2k?1=0，求出k的值，再根據(jù)a?b<b可知ab<2，故可得出結(jié)論；③取EF的中點(diǎn)G，作GH⊥AB（1）解：不存在．理由如下：∵ΔAEF為矩形∴∠C=∠D=∠AEF=90°，AE=EF，∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°∴∠CEF=∠DAE，在ΔADE與Δ∵∠C=∠D∠DAE=∠CEF∴Δ∴AD=CE，∵若四邊形ABCD是正方形，∴AD≠CE，∴不存在；故答案為不存在；（2）解：①∵ΔAEF為矩形∴∠C=∠D=∠AEF=90°，AE=EF，∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°∴∠CEF=∠DAE，在ΔADE與Δ∵∠C=∠D∠DAE=∠CEF∴Δ∴AD=CE=4，∵AB=CD=7，∴DE=CF=3，∴BF=1，∴AF=A②假設(shè)存在．由①得6可設(shè)ab=k，則a=bk，代入上式化簡得解得k=1±2∵a>b，∴k=1+2∵點(diǎn)F在邊BC上，∴a?b<b，∴a<2b，∴ab③取EF的中點(diǎn)G，作GH⊥AB，延長HG交CD于點(diǎn)M，∴MH∥BC，∴△EMG∽△ECF，∴MG=1∴GH=b?1∵ΔCEF的外接圓與直線∴EF=2GH=3b?a，∴(3b?a)∴ab【點(diǎn)睛】本題考查的是四邊形綜合題、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定及切線的性質(zhì)，熟知正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升1．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：(1)△ABE≌△CDF；(2)四邊形AECF是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB=CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE=∠CDF，結(jié)合已知條件根據(jù)SAS即可證明（2）根據(jù)△ABE≌△CDF可得AE=CF,∠AEB=∠CFD，根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義可得∠AEF=∠CFE，可得AE∥【詳解】（1）證明：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）證明：∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF,∠AEB=∠CFD∴∠AEF=∠CFE∴AE∥∴四邊形AECF是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O為對角線BD的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O且分別交AB、DC于點(diǎn)E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，利用ASA即可證明△DOF≌△BOE；（2）證明四邊形BEDF的對角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四