專題15二次函數(shù)篇（原卷版）

專題15二次函數(shù)考點一：二次函數(shù)之定義、圖像以及性質(zhì)知識回顧知識回顧二次函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)。二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像：形式一般式：頂點式的符號開口方向開口向上開口向下開口向上開口向下對稱軸，若同號，則對稱軸在軸左邊；若異號，則對稱軸在軸右邊。簡稱左同右異。，若，對稱軸在軸右邊；若，對稱軸在軸左邊，最值當(dāng)時取得最小值當(dāng)時取得最大值當(dāng)時取得最小值當(dāng)時取得最大值頂點坐標(biāo)增減性圖像在對稱軸左邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸左邊隨的增大而減?。粓D像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減小；①若二次函數(shù)是一般形式時，則二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)為。若，則二次函數(shù)與軸交于正半軸；若，則二次函數(shù)與軸交于負(fù)半軸。②二次函數(shù)開口向上時，離對稱軸越遠(yuǎn)的點函數(shù)值越大；二次函數(shù)開口向下時，離對稱軸越遠(yuǎn)的函數(shù)值越小。③二次函數(shù)函數(shù)值相等的兩個點一定關(guān)于對稱軸對稱。④二次函數(shù)的一般式化為頂點式：利用一元二次方程的配方法。微專題微專題1．（2022?濟南）某學(xué)校要建一塊矩形菜地供學(xué)生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設(shè)矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系2．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．3．（2022?阜新）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（）A．點（0，2）在函數(shù)圖象上 B．開口方向向上 C．對稱軸是直線x＝1 D．與直線y＝3x有兩個交點4．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或45．（2022?荊門）拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對6．（2022?蘭州）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+5，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞27．（2022?廣州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝﹣2，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．c＞0 C．當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而減小8．（2022?郴州）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+5，下列說法正確的是（）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（﹣1，5） C．該函數(shù)有最大值，最大值是5 D．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大9．（2022?哈爾濱）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標(biāo)是（）A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）10．（2022?岳陽）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數(shù)，m≠0），點P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點，當(dāng)0≤xp≤4時，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣111．（2022?陜西）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y312．（2022?新疆）已知拋物線y＝（x﹣2）2+1，下列結(jié)論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，1） D．當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而增大13．（2022?鹽城）若點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是．14．（2022?長春）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3，當(dāng)a≤x≤時，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為．15．（2022?黔東南州）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝﹣在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）A． B． C． D．16．（2022?湖北）二次函數(shù)y＝（x+m）2+n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限17．（2022?南充）已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，當(dāng)x1+x2＞4且x1＜x2時，都有y1＜y2，則m的取值范圍為（）A．0＜m≤2 B．﹣2≤m＜0 C．m＞2 D．m＜﹣218．（2022?呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，點C和點D的坐標(biāo)分別為（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），拋物線y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）與線段CD只有一個公共點，則m的取值范圍是．19．（2022?包頭）已知實數(shù)a，b滿足b﹣a＝1，則代數(shù)式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5 B．4 C．3 D．220．（2022?賀州）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．421．（2022?嘉興）已知點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數(shù)，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A．1 B． C．2 D．22．（2022?涼山州）已知實數(shù)a、b滿足a﹣b2＝4，則代數(shù)式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是．考點二：二次函數(shù)之函數(shù)變換知識回顧知識回顧二次函數(shù)的平移：①若函數(shù)進(jìn)行左右平移，則在函數(shù)的自變量上進(jìn)行加減。左加右減。②若函數(shù)進(jìn)行上下平移，則在函數(shù)解析式整體后面進(jìn)行加減。上加下減。一次函數(shù)的對稱變換：①若二次函數(shù)關(guān)于軸對稱，則自變量不變，函數(shù)值變?yōu)橄喾磾?shù)。②若二次函數(shù)關(guān)于軸對稱，則函數(shù)值不變，自變量變成相反數(shù)。③若二次函數(shù)關(guān)于原點對稱，則自變量與函數(shù)值均變成相反數(shù)。微專題微專題23．（2022?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣124．（2022?玉林）小嘉說：將二次函數(shù)y＝x2的圖象平移或翻折后經(jīng)過點（2，0）有4種方法：①向右平移2個單位長度②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度③向下平移4個單位長度④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度你認(rèn)為小嘉說的方法中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個25．（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+126．（2022?湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）227．（2022?牡丹江）拋物線y＝x2﹣2x+3向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的頂點坐標(biāo)是．28．（2022?黑龍江）把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為．29．（2022?黔東南州）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是．（2022?荊州）規(guī)定：兩個函數(shù)y1，y2的圖象關(guān)于y軸對稱，則稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y1＝2x+2與y2＝﹣2x+2的圖象關(guān)于y軸對稱，則這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k為常數(shù)）的“Y函數(shù)”圖象與x軸只有一個交點，則其“Y函數(shù)”的解析式為．考點三：二次函數(shù)之二次函數(shù)綜合知識回顧知識回顧二次函數(shù)與一元二次方程：①若二次函數(shù)與軸有兩個交點?一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根?。②若二次函數(shù)與軸只有一個交點?一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根?。③若二次函數(shù)與軸沒有交點?一元二次方程沒有實數(shù)根?。④若二次函數(shù)與直線相交，則一元二次方程為。交點情況與方程的解的情況同與軸相交時一樣。二次函數(shù)與不等式（組）若二次函數(shù)與一次函數(shù)存在交點，則不等式：的解集取二次函數(shù)圖像在上方的部分所對應(yīng)的自變量取值范圍；的解集取二次函數(shù)圖像在下方的部分所對應(yīng)的自變量取值范圍。二次函數(shù)的一些特殊的自變量的函數(shù)值：①當(dāng)時所對應(yīng)的函數(shù)值為。②當(dāng)時所對應(yīng)的函數(shù)值為。③當(dāng)時所對應(yīng)的函數(shù)值為。④當(dāng)時所對應(yīng)的函數(shù)值為。對稱軸的特殊值：①若對稱軸為直線時，則。②若對稱軸為直線時，則。③判斷與0的大小關(guān)系時，看對稱軸與的位置關(guān)系。④判斷與0的大小關(guān)系時，看對稱軸與的位置關(guān)系。微專題微專題31．（2022?巴中）函數(shù)y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④將圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④32．（2022?資陽）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且過點（0，1）．有以下四個結(jié)論：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若頂點坐標(biāo)為（﹣1，2），當(dāng)m≤x≤1時，y有最大值為2、最小值為﹣2，此時m的取值范圍是﹣3≤m≤﹣1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個33．（2022?黃石）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，有以下結(jié)論：①abc＜0；②若t為任意實數(shù)，則有a﹣bt≤at2+b；③當(dāng)圖象經(jīng)過點（1，3）時，方程ax2+bx+c﹣3＝0的兩根為x1，x2（x1＜x2），則x1+3x2＝0，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）第33題第34題A．0 B．1 C．2 D．334．（2022?日照）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為x＝，且經(jīng)過點（﹣1，0）．下列結(jié)論：①3a+b＝0；②若點（，y1），（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個35．（2022?荊門）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2）和點（x0，y0），且c＞0．有下列結(jié)論：①a＜0；②對任意實數(shù)m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，則y0＞c．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個36．（2022?綿陽）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點．若﹣2＜x1＜﹣1，則下列四個結(jié)論：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個37．（2022?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，并與x軸交于A，B兩點，若OA＝5OB，則下列結(jié)論中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m為任意實數(shù)，則am2+bm+2b≥4a，正確的個數(shù)是（）第37題第38題第39題A．1 B．2 C．3 D．438．（2022?煙臺）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0）．下列結(jié)論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③（2022?廣安）已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＞0；②2c﹣3b＜0；③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（﹣，y3）是拋物線上的三點，則y1＜y2＜y3．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．440．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經(jīng)過點（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（，y2）是拋物線上的兩個點，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當(dāng)x＝﹣1時，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．541．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＝0；③當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3；④點（﹣2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）第41題第42題A．1個 B．2個 C．3個 D．4個42．（2022?棗莊）小明在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”內(nèi)容后，進(jìn)行了反思總結(jié)．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，結(jié)合圖象他得出下列結(jié)論：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正確的結(jié)論有.（填序號，多選、少選、錯選都不得分）43．（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．144．（2022?鄂州）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經(jīng)過點A（2，1）．有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時，y隨x的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）第44題第45題A．2個 B．3個 C．4個 D．5個45．（2022?達(dá)州）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于（0，﹣1），對稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②a＞；③對于任意實數(shù)m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數(shù)）的所有根的和為4．其中正確結(jié)論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5考點四：二次函數(shù)之實際應(yīng)用知識回顧知識回顧利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論。構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題。微專題微專題46．（2022?自貢）九年級2班計劃在勞動實踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，最佳方案是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案247．（2022?襄陽）在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺邊緣的水平距離為m時，豎直高度達(dá)到最大值．48．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進(jìn)過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長是m．49．（2022?南通）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面