3.8圓內(nèi)接正多邊形（分層練習(xí)）

第三章圓3.8圓內(nèi)接正多邊形精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·北京市十一學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為(

)A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出．【詳解】解：連接，作，則，，∴，根據(jù)勾股定理可得，∴正六邊形的邊心距是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023·云南·昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校九年級(jí)期中）正六邊形的邊長為4，則它的邊心距為（）A．3 B． C．4 D．【答案】D【分析】已知正六邊形的邊長，欲求邊心距，可通過邊心距、邊長的一半和內(nèi)接圓半徑構(gòu)造直角三角形，通過解直角三角形求解即可．【詳解】解：如圖所示，此正六邊形中，則．∵，∴是等邊三角形，∵，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的計(jì)算問題，屬于常規(guī)題．解答時(shí)要注意以下問題：①熟悉正六邊形和正三角形的性質(zhì)；②作出半徑和邊心距，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)解答．3．（2022·江蘇·常州實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)期中）正方形的外接圓與內(nèi)切圓的周長比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與切線的性質(zhì)，得到是等腰直角三角形，推出，根據(jù)周長比等于半徑比可得答案．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：，，，，是等腰直角三角形，，正方形的外接圓半徑與內(nèi)切圓的周長之比為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓，勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過推導(dǎo)得出內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比．4．（2022·重慶南開中學(xué)七年級(jí)開學(xué)考試）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①鐘面上：時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是：②把一個(gè)角分成兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的角平分線；③若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)；④各邊相等的多邊形是正多邊形；⑤邊形從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)連接其余各頂點(diǎn)，可以畫出條對(duì)角線，這些對(duì)角線扡這個(gè)邊形分成了個(gè)三角形．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)角的大小、角平分線、線段的中點(diǎn)、多邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】解：鐘面上：時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是；①錯(cuò)誤；把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線叫做這個(gè)角的角平分線；②錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，也可以滿足，因此不能說明點(diǎn)是的中點(diǎn)；③錯(cuò)誤；各邊相等各個(gè)內(nèi)角也相等的多邊形是正多邊形；④錯(cuò)誤；從邊形的其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)連接其余各頂點(diǎn)，可以畫出條對(duì)角線，這些對(duì)角線扡這個(gè)邊形分成了個(gè)三角形；⑤錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)為故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角的大小、角平分線的定義、線段的中點(diǎn)定義、多邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·福建省福州屏東中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的半徑為2，則邊心距的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】證明是等邊三角形，得出，由垂徑定理求出，再由勾股定理求出即可．【詳解】解：∵六邊形為正六邊形，，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形和運(yùn)用垂徑定理求出是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧·大連市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】連接，證明是等邊三角形，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：則，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴∴∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形和運(yùn)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心九年級(jí)階段練習(xí)）已知正六邊形的邊心距為3，那么它的邊長為_________．【答案】【分析】連接，作于C，由正六邊形的性質(zhì)得出，，得出，由勾股定理求出，得出即可．【詳解】解：如圖所示：連接、，作于C，則，，，∴，∴設(shè)，則，由勾股定理可得，，解得：，∴，即它的邊長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理求出AC是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022·陜西渭南·九年級(jí)期末）已知的半徑為1，則它的內(nèi)接正三角形邊心距為____________．【答案】##【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，是等邊三角形，是的外接圓，過點(diǎn)作，連接，，，，，∴，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，則_______________．【答案】##36度【分析】先求出正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出度數(shù)即可．【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和，等邊對(duì)等角求角度，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·北京市三帆中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是正六邊形的外接圓，若正六邊形的邊長為3，則的半徑為__________．【答案】3【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)解題．【詳解】解：如圖，連接由題意可知：則∵，為等邊三角形，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形與圓的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·全國·九年級(jí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)F在上，求的度數(shù)．【答案】【分析】如圖所示，連接OC、OD，由正五邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)，由圓周角與圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，即可得出答案．【詳解】如圖所示，連接OC、OD，五邊形是正五邊形，，．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓以及圓周角定理，解題關(guān)鍵是構(gòu)造弧CD所對(duì)的圓心角．12．（2022·江蘇·泰州市明珠實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)F是CD延長線上的一點(diǎn)，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點(diǎn)E.(1)求證：AB=AC；(2)若BD=18，DE=2，求CD的長.【答案】(1)證明如下(2)【分析】（1）根據(jù)平分，得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得，平角的性質(zhì)，等量代換，得，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得，再根據(jù)等角對(duì)等邊，即可證明；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，根據(jù)平分，得，再根據(jù)，是公共邊，得，得到，；又根據(jù)，得，得；最后根據(jù)，，即可求出的值．【詳解】（1）∵平分∴∵，∴∵∴∴．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)∴∵平分∴∵∴又∵是公共邊∴∴，又∵∴∴又∵，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·湖北咸寧·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，邊長為2的正六邊形的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，軸，將正六邊形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____________．【答案】【分析】將正六邊形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)次時(shí)，點(diǎn)A所在的位置是自身所在的位置，連接，，設(shè)交y軸于點(diǎn)H，先判斷是等邊三角形，求出和的長度，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】解：，∴當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到了原來的位置，連接，，設(shè)交y軸于點(diǎn)H，在正六邊形中，，，是等邊三角形，，，，，，即當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握正多邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇連云港·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形是的內(nèi)接正方形，E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，則___________度．【答案】67.5【分析】根據(jù)四邊形是的內(nèi)接正方形，得，根據(jù)，得，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵邊形是的內(nèi)接正方形，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴∴，∴．故答案為：67.5．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2022·江蘇蘇州·九年級(jí)期中）如圖，正方形內(nèi)接于，其邊長為2，則的內(nèi)接正三角形的邊長為______．【答案】【分析】連接、、，作于M，先求出圓的半徑，在中利用30度角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解；連接、、，作于M，∵四邊形是正方形，∴，，∴是直徑，，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，在中，∵，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．4．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為的銳角頂點(diǎn)在圓心上，這個(gè)角繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，扇形與扇形有重疊的概率為，求___________．【答案】##度【分析】根據(jù)題意可得出扇形與扇形有重疊的概率即為組成的扇形圓心角與的比值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，∴每個(gè)正五邊形的中心角為，∵轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，扇形與扇形有重疊的概率為∴解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何概率以及正五邊形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出概率與圓心角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，在圓形紙片上作隨機(jī)扎針試驗(yàn)，針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是_____．【答案】【分析】連接OC、OD，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，利用圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，再判斷S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，所以陰影部分的面積＝S扇形BOD，然后利用幾何概率的計(jì)算方法求解．【詳解】解：連接OC、OD，如圖所示：設(shè)⊙O的半徑為r，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，∴△OBC和△OCD都為等邊三角形，∴BC＝OC＝CD，∠BCO＝∠COD＝60°，∴S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，∴陰影部分的面積＝S扇形BOD＝＝πr2，∴在圓形紙片上作隨機(jī)扎針試驗(yàn)，針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率：某事件的概率＝相應(yīng)的面積與總面積之比，即通過計(jì)算長度比、面積比或體積比得到某事件的概率，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點(diǎn)，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．7．（2022·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2022·福建寧德·二模）如圖，邊長為1的正五邊形ABCDE內(nèi)接于，延長AB，DC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作的切線CG交AF于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)求的值