專題14銳角三角函數(shù)專題

專題14銳角三角函數(shù)專題考點(diǎn)1：網(wǎng)格中的三角函數(shù)問題（中考?？碱}）1．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到，則的值是．

【答案】【分析】如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為，設(shè)正六邊形的邊長為1，求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對邊互相平行，且內(nèi)角為，∴

過點(diǎn)作于，∴設(shè)正六邊形的邊長為1，則，，∴故答案為：．2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，

，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，故答案為：．3．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則．【答案】/0.8【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長，從而利用勾股定理求出AC的長，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，由題意得，∴，∴，故答案為：．4．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、、均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點(diǎn)并給出部分說理過程，請你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點(diǎn)P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點(diǎn)P．使=·，寫出作法，不用證明．【分析】（1）取格點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)P，則根據(jù)垂徑定理可知，點(diǎn)P即為所求作；（2）取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案為：；取格點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；（2）解：取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．考點(diǎn)2：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（中考數(shù)學(xué)中必考題）5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，從航拍無人機(jī)看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無人機(jī)與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，在中，，，在中，，，．故則這棟樓的高度為．故選：B．

6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)，，在同一條直線上，且，，，則線段的長約為m.（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】由，可得，可推得，由三角函數(shù)求出即可．【詳解】∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴解得，故答案為：．

7．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為里．

【答案】9【分析】由切圓于D，切圓于C，連接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．【詳解】解：如圖，表示圓形城堡，

由題意知：切圓于D，切圓于C，連接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外圍直徑為（里）．故答案為：9．8．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，B為地面上一點(diǎn)，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為m（結(jié)果保留根號）．【答案】/【分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長．【詳解】解：過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，如圖：則四邊形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由題意可知：，，在中，，∴，∴，故答案為：9．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，則前進(jìn)100米所上升的高度為米．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)BC=x，則AB=7x，AC=，列出方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：設(shè)BC=x，則AB=7x，由題意得：，解得：x=，故答案為：．10．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點(diǎn)，，的長度固定，的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，，，求的度數(shù)．(2)圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置．（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）在中，利用銳角三角函數(shù)求得結(jié)果；（2）以點(diǎn)O為圓心、的長為半徑畫弧，與以點(diǎn)F為圓心、的長為半徑的弧交于點(diǎn)，連接得出門的位置；（3）當(dāng)最大時(shí)，的值最大，過點(diǎn)O作MN的垂線段，當(dāng)這條垂線段最大時(shí)，最大，即當(dāng)垂線段為OM即垂足為M時(shí)，最大，故的最大值為．【詳解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）門的位置如圖1中或所示．（畫出其中一條即可）

（3）如圖2，連接，過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)H．

∵在門的開合過程中，在不斷變化，∴當(dāng)最大時(shí)，的值最大．由圖2可知，當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，∴的最大值為．故答案為：11．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

【答案】[問題背景]；[活動(dòng)探究]；[應(yīng)用拓展]【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動(dòng)探究]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，運(yùn)用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[應(yīng)用拓展]過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)，，則，，進(jìn)而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質(zhì)得，即可解決問題．【詳解】解：[問題背景]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；[活動(dòng)探究]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[應(yīng)用拓展]如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由題意得：，，，，設(shè)，，則，，，，解得：（負(fù)值已舍去），，，，，同【問題背景】得：，，，解得：，，答：信號塔的高度約為．12．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米．【分析】過B作于H，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，過B作于F，則，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過B作于H，

∵坡度i為，∴設(shè)，，∴，∴，∴，過B作于F，則，設(shè)，∵．∴，∴，∵坡度i為，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤壩高為8米，山高為20米．13．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）徐州電視塔為我市的標(biāo)志性建筑之一，如圖，為了測量其高度，小明在云龍公園的點(diǎn)處，用測角儀測得塔頂?shù)难鼋牵谄降厣涎卣龑﹄娨曀姆较蚝笸酥咙c(diǎn)處，測得塔頂?shù)难鼋牵魷y角儀距地面的高度，求電視塔的高度（精確到．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】先證四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，得，然后在和中，解直角三角形以及由構(gòu)造方程求解即可得解．【詳解】解：∵，，，，∴四邊形是矩形，，∴，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∴，解得，∴電視塔的高度．14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，為長度固定的支架，支架在處與立柱連接（垂直于，垂足為），在處與籃板連接（所在直線垂直于），是可以調(diào)節(jié)長度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)處的螺栓改變的長度，使得支架繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知，測得時(shí)，點(diǎn)離地面的高度為．調(diào)節(jié)伸縮臂，將由調(diào)節(jié)為，判斷點(diǎn)離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．【分析】如圖，延長與底面交于點(diǎn)，過作于，則四邊形為矩形，可得，證明四邊形是平行四邊形，可得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長與底面交于點(diǎn)，過作于，則四邊形為矩形，∴，

∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴，而，，∴點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．15．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）漁灣是國家“AAAA”級風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋處出發(fā)，沿著坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌奶幍木趴讟虻教幍亩執(zhí)镀俨忌仙母叨葹槎嗌倜?？（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】過點(diǎn)作，垂足為，在中，根據(jù)求出，過點(diǎn)作，垂足為，在中，根據(jù)求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】過點(diǎn)作，垂足為．在中，，∴．過點(diǎn)作，垂足為．

在中，，∴．∵，∴．答：從處的九孔橋到處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨燃s為．16．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，燈塔位于港口的北偏東方向，且、之間的距離為，燈塔位于燈塔的正東方向，且、之間的距離為，一艘輪船從港口出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)處，測得燈塔位于北偏東方向上，這時(shí)，處距離港口有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】處距離港口約【分析】過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，在中，求得，在中，求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)在中，，∵，，，∴，在中，∵，，∴∴∴處距離港口約．

17．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，湖邊、兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道和相連.為了計(jì)算、兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：，，米，求、兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】、兩點(diǎn)之間的距離約為94米【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，分別解，，求得的長，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，在中，∵，米，∴，，∴（米），（米），在中，∵，米，∴，∴（米），∴（米）.答：、兩點(diǎn)之間的距離約為94米.18．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時(shí)刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

【答案】(170+60)cm【分析】延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．19．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)在上．請你繼續(xù)完成長的計(jì)算．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】42cm【分析】連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可得，解，得出，進(jìn)而求得的長，即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)．∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，∴．在中，∵，，∴，．∵直線是對稱軸，∴，，，∴．∴．∴，．在中，，即，則．∵，即，則．∴．∵該圖形為軸對稱圖形，張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，,∴．∴．20．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機(jī)器人示意圖，是垂直于工作臺的移動(dòng)基座，、為機(jī)械臂，m，m，m，．機(jī)械臂端點(diǎn)到工作臺的距離m．(1)求、兩點(diǎn)之間的距離；(2)求長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）連接，過點(diǎn)作，交的延長線于，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．（2）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖2，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于．在中，，，所以，，所以，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m，答：、兩點(diǎn)之間的距離約6.7m．（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形為矩形，m，，所以m，在中，m，m，根據(jù)勾股定理得m．m．答：的長為4.5m．21．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少?（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】【分析】過M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，證明四邊形ABCM為矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°∠BNM=62°，利用物理學(xué)入射光線與反射光線之間的關(guān)系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°∠CMN=28°，進(jìn)而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【詳解】解：過M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，如下圖所示：∵C點(diǎn)在M點(diǎn)正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面，∴四邊形AMCB為矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，∴∠NMC=180°∠BNM=180°118°=62°，∵地面上的點(diǎn)D經(jīng)過平面鏡MN反射后落在點(diǎn)C，結(jié)合物理學(xué)知識可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°∠NMC=90°62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，，代入數(shù)據(jù)：，∴，即水平地面上最遠(yuǎn)處D到小強(qiáng)的距離CD是．22．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)處測得阿育王塔最高點(diǎn)的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進(jìn)至處測得最高點(diǎn)的仰角，；小亮在點(diǎn)處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點(diǎn)、標(biāo)桿頂、最高點(diǎn)在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解答：阿育王塔的高度約為．（2）由題意知，∴，即，∴．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．23．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，此時(shí)觀測C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】114m【分析】過點(diǎn)C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的長，從而可得CF的長；在Rt△DCE中，利用銳角三角函數(shù)可求得DE的長，從而由DG=DE+CF即可求得山頂D的高度．【詳解】過點(diǎn)C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，設(shè)山頂?shù)乃诰€段為DG，如圖所示在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m則BF=(m)∴CF=BC+BF=30+25=55(m)在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m∴(m)∵四邊形CFGE是矩形∴EG=CF∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)即山頂D的高度為114m．24．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，斜坡的坡角，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)，過其另一端安裝支架，所在的直線垂直于水平線，垂足為點(diǎn)為與的交點(diǎn)．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的長（結(jié)果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經(jīng)過點(diǎn)的太陽光線與所成的角．后排光伏板的前端在上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：三角函數(shù)銳角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根據(jù)AMAE可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）在Rt△ADF中，∴===88cm在Rt△AEF中，∴（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，如圖，則∴在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴∴AG=AF+FG=88+75.8=∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴在Rt△ANM中，∴∴∴的最小值為25．（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某種落地?zé)羧鐖D1所示，為立桿，其高為；為支桿，它可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中長為；為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)的長度．支桿與懸桿之間的夾角為．（1）如圖2，當(dāng)支桿與地面垂直，且的長為時(shí)，求燈泡懸掛點(diǎn)距離地面的高度；（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)調(diào)節(jié)的長（如圖3），此時(shí)測得燈泡懸掛點(diǎn)到地面的距離為，求的長．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】（1）點(diǎn)距離地面113厘米；（2）長為58厘米【分析】（1）過點(diǎn)作交于，利用60°三角函數(shù)可求FC，根據(jù)線段和差求即可；（2）過點(diǎn)作垂直于地面于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可證四邊形ABGN為矩形，利用三角函數(shù)先求，利用MG與CN的重疊部分求，然后求出CM，利用三角函數(shù)即可求出CD．【詳解】解：（1）過點(diǎn)作交于，∵，∴，，，∴，答：點(diǎn)距離地面113厘米；（2）過點(diǎn)作垂直于地面于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，∴四邊形ABGN為矩形，∴AB=GN=84(cm)，∵，將支桿繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD∠BCN=40°，∴，，，∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，∴，∵，∴，∵，∴，，，答：長為58厘米．26．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）一架無人機(jī)沿水平直線飛行進(jìn)行測繪工作，在點(diǎn)P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為30°，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為45°，已知建筑物AB的高為3米，求無人機(jī)飛行的高度(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732)．【答案】無人機(jī)飛行的高度約為14米．【分析】延長PQ，BA，相交于點(diǎn)E，根據(jù)∠BQE＝45°可設(shè)BE＝QE＝x，進(jìn)而可分別表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根據(jù)tan∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．【詳解】解：如圖，延長PQ，BA，相交于點(diǎn)E，由題意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，又∵∠BQE＝45°，∴BE＝QE，設(shè)BE＝QE＝x，∵PQ＝5，AB＝3，∴PE＝x＋5，AE＝x－3，∵∠E＝90°，∴tan∠APE＝，∵∠APE＝30°，∴tan30°＝，解得：x＝≈14，答：無人機(jī)飛行的高度約為14米．27．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，為了測量河對岸兩點(diǎn)A，B之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)C，D．測得，，，，，設(shè)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，求A，B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】52m【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．先證明四邊形CEBF是正方形，設(shè)CE=BE=xm，根據(jù)三角函數(shù)表示出DE，根據(jù)列方程求出CE=BE=48m，進(jìn)而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根據(jù)勾股定理即可求出AB，問題得解．【詳解】解：如圖，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延長線于F．∵∠FCD=90°，∴四邊形CEBF是矩形，∵BE⊥CD，，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴CE=BE，∴矩形CEBF是正方形．設(shè)CE=BE=xm，在Rt△BDE中，m，∵，∴，解得x=48，∴CE=BE=48m，∵四邊形CEBF是正方形，∴CF=BF=48m，∵在Rt△ACD中，m，∴AF=CFAC=20m，∴在Rt△ABF中，m，∴A，B兩點(diǎn)之間的距離是52m．28．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿擺成如圖1所示．已知，魚竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行且相距，即．（1）如圖1，在無魚上鉤時(shí)，海面上方的魚線與海面的夾角，海面下方的魚線與海面垂直，魚竿與地面的夾角．求點(diǎn)O到岸邊的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時(shí)，魚竿與地面的夾角，此時(shí)魚線被拉直，魚線，點(diǎn)O恰好位于海面．求點(diǎn)O到岸邊的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，構(gòu)建和，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出FC，用;（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，構(gòu)建和，在中，根據(jù)53°和AB的長求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴，由，∴，∴，即，∴．又，∴，∴，即，∴，即到岸邊的距離為．（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴．由，∴，∴，即，∴．∴，∴，即點(diǎn)到岸邊的距離為．考點(diǎn)3：利用三角函數(shù)解決綜合問題29．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，分別以點(diǎn)，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接，，．若，，則的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點(diǎn)，為圓心，線段，長為半徑畫弧得到，，設(shè)，故，在中求出的值，從而得到，從而得到，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)，交于點(diǎn)，由題意得，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，故，在中，，即，解得，，，，，．

故選：C．30．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，

∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選A31（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【答案】C【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．【詳解】解：如圖，作，，交的延長線于點(diǎn)E

∴，，∴，，∵是銳角三角形，∴，即，∴滿足條件的長可以是6，故選：C．32．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，由等高三角形的面積性質(zhì)得到，再證明，解得，分別求得AE、CE長，最后根據(jù)的面積公式解題．【詳解】解：過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，與是等高三角形，設(shè)，故選：A．33．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若，，則．

【答案】/【分析】由題意可設(shè)，則，，在中求得，在中求出答案即可．【詳解】解：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查的是求銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù)，表示出邊長從而求出銳角三角函數(shù)值．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長定理，關(guān)鍵是理解題意，得到，求出長即可．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．34．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，垂足為．以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)．若用扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則．（結(jié)果保留根號）

【答案】/【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計(jì)算圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，解得：，，∴；故答案為：35．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形的中心，．中，過點(diǎn)D，分別交于點(diǎn)G，M，連接．若，則的周長為．【答案】【分析】連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，∵，，∴∴AG＝AB＝，∴BG＝，∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，，∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，在△BCM和△FHM中，，∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝，∴BF＝，∵M(jìn)是BF中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，△BEF是直角三角形，∴OM＝，EM＝，∵BD＝，△BED是直角三角形，∴EO＝，∴的周長＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，故答案為：．36．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則．【答案】【分析】過點(diǎn)作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．37．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為的對邊，若，則的值為．【答案】【詳解】解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．38．（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別在、上，點(diǎn)F在內(nèi)．若四邊形是邊長為1的正方形，則．【答案】【分析】連接AF，CF，過點(diǎn)F作FM⊥AB，由，可得FM=1，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：連接AF，CF，過點(diǎn)F作FM⊥AB，∵四邊形是邊長為1的正方形，∴∠C=90°，∴AB=，∵，∴，∴FM=1，∵BF=，∴．故答案是：．39．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．求的長及的值．

【答案】，【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，中，勾股定理求得的長，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】在菱形中，．∵，∴．在中，∵為中點(diǎn)，∴．∵．∴．∴．∴．40．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點(diǎn)D，//，交BC于點(diǎn)E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個(gè)外角，，CD平分，交AB的延長線于點(diǎn)D，//，交CB的延長線于點(diǎn)E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值為1；（2）【分析】（1）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；②由，可得，由①同理可得，計(jì)算；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可得，又，則，可得，設(shè)，則．證明，可得，過點(diǎn)D作于H．分別求得，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設(shè)，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過點(diǎn)D作于H．∵，∴．∴．考點(diǎn)4：利用三角函數(shù)解決與圓相關(guān)問題41．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的弦，交于點(diǎn)，交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，且．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的長．【答案】(1)相切，證明見詳解(2)6【分析】（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，從而求出，再根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；（2）分別作交AB于點(diǎn)M，交AB于N，根據(jù)求出OP，AP的長，利用垂徑定理求出AB的長，進(jìn)而求出BP的長，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【詳解】（1）證明：連接OB，如圖所示：，，，，，，即，，，為半徑，經(jīng)過點(diǎn)O，直線與的位置關(guān)系是相切．（2）分別作交AB于點(diǎn)M，交AB于N，如圖所示：，，，，，，，，，，．42．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D在邊OB上，且CD=BD．（1）判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）已知AB=40，求的半徑．【答案】（1）直線CD與圓O相切，理由見解析；（2）【分析】（1）連接證明可得從而可得答案；（2）由設(shè)則再求解再表示再利用列方程解方程，可得答案．【詳解】解：（1）直線CD與圓O相切，理由如下：如圖，連接為的半徑，是的切線．（2）設(shè)則（負(fù)根舍去）的半徑為：43．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長、相交于點(diǎn)E，若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用SAS證明，可得，即可得證；（2）由已知條件可得，可得出，進(jìn)而得出即可求得；【詳解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切線．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴44．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過C、D兩點(diǎn)．

(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若的半徑為3，求的長．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，即可得出與相切；（2）解直角三角形，求出的長，進(jìn)而求出的長，再解直角三角形，求出的長即可．【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：連接，則：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴直線與相切；（2）解：∵，的半徑為3，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)：，則：，∴，∴．45．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形沿對角線翻折，的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，以矩形的頂點(diǎn)為圓心、為半徑畫圓，與相切于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得，則，由矩形的性質(zhì)得，再由直角三角形兩銳角互余得，根據(jù)對頂角相等和同圓的半徑相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角對等邊得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)得，，得，由翻折得，由得，再由矩形對邊相等得，最后在中解直角三角形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵與相切于點(diǎn)E，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）解：在中，，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，由翻折可知，，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴．考點(diǎn)5：三角函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問題46．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，若線段在邊上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】過點(diǎn)C作，過點(diǎn)B作，需使最小，顯然要使得和越小越好，則點(diǎn)F在線段的之間，設(shè)，則，求得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：過點(diǎn)C作，

∵，，∴，過點(diǎn)B作，∵，∴四邊形是矩形，∴，需使最小，顯然要使得和越小越好，∴顯然點(diǎn)F在線段的之間，設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)取得最小值為．故選：B．47．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，BC=，同時(shí)與邊的延長線、射線相切，的半徑為3．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，、的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊所在直線與相切的次數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得⊙A的半徑為3，計(jì)算出OA的長度，可知⊙O與⊙A相切，根據(jù)兩個(gè)相切圓的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：如圖：作AD⊥BC，以A為圓心，以AD為半徑畫圓∵AC、AB所在的直線與⊙O相切，令切點(diǎn)分別為P、Q，連接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO==6∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=BC=∴AD==3∴⊙A的半徑為3,∴⊙O與⊙A的半徑和為6∵AO=6∴⊙O與⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直線是⊙A的切線∴BC所在的直線與⊙O相切∴當(dāng)=360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切同理可證明當(dāng)=180°時(shí)，所在的直線與⊙O相切．當(dāng)⊥AO時(shí)，即=90°時(shí)，所在的直線與⊙O相切．∴當(dāng)為90°、180°、360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切故答案選C．48．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是．【答案】80/【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時(shí)線段AF長度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°90°60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AEFE=4，故答案為：80；4．49．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），△ABC和△A′B′C′是兩個(gè)邊長不相等的等邊三角形，點(diǎn)B′、C′、B、C都在直線l上，△ABC固定不動(dòng)，將△A′B′C′在直線l上自左向右平移．開始時(shí)，點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B′移動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)△A′B′C′移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，則△ABC的邊長是．【答案】5【分析】在點(diǎn)B'到達(dá)B之前，重疊部分的面積在增大，當(dāng)點(diǎn)B'到達(dá)B點(diǎn)以后，且點(diǎn)C'到達(dá)C以前，重疊部分的面積不變，之后在B'到達(dá)C之前，重疊部分的面積開始變小，由此可得出B'C'的長度為a，BC的長度為a＋3，再根據(jù)△ABC的面積即可列出關(guān)于a的方程，求出a即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)B'移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，重疊部分的面積不再變化，根據(jù)圖象可知B'C'＝a，，過點(diǎn)A'作A'H⊥B'C'，則A'H為△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等邊三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝，∴A'H＝，∴，即，解得a＝﹣2（舍）或a＝2，當(dāng)點(diǎn)C'移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，重疊部分的面積開始變小，根據(jù)圖像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的邊長是5，故答案為5．50．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A，C重合），將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，則BD長的最大值為．【答案】9【分析】由旋轉(zhuǎn)知△BPD是頂角為120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，當(dāng)BP最大時(shí)，BD取最大值，即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP＝BA最大，求出AB的長即可解決問題．【詳解】解：∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，過點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，∴BH＝DH，∵cos30°＝＝，∴BH＝BP，∴BD＝BP，∴當(dāng)BP最大時(shí)，BD取最大值，即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP＝BA最大，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝BC＝3，∵cos∠ABC＝，∴，∴AB＝9，∴BD最大值為：BP＝9．故答案為：9．51．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點(diǎn)D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點(diǎn)D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；（4）延長，交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務(wù)1】請你對結(jié)論①進(jìn)行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點(diǎn)，連接．求證：．【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點(diǎn)P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長．【答案】[任務(wù)1]見解析；[任務(wù)2]見解析；[任務(wù)3]【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得對應(yīng)角相等，即，，由三角形內(nèi)角和定理得，從而得，即Q，A，T三點(diǎn)共線；（2）梯形中位線的證明問題常轉(zhuǎn)化為三角形的中位線問題解決，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)E，證明，可得，，由三角形中位線定理得；（3）過點(diǎn)D作于點(diǎn)R，由，得，從而得，由【發(fā)現(xiàn)】得，則，，由【任務(wù)2】的結(jié)論得，由勾股定理得．過點(diǎn)Q作，垂足為H．由及得，從而得，證明，得，從而得．【詳解】[任務(wù)1]證法1：由旋轉(zhuǎn)得，，．在中，，∴，∴點(diǎn)Q，A，T在一條直線上．證法2：由旋轉(zhuǎn)得，，．∴，．∴點(diǎn)Q，A，T在一條直線上．[任務(wù)2]證明：如圖1，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)E．∵，∴．∵Q是的中點(diǎn)，∴．在和中，∴．∴，．又∵P是的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，∴．

[任務(wù)3]的方法畫出示意圖如圖2所示．

由【任務(wù)2】可得，．過點(diǎn)D作，垂足為R．在中，，∴．∴，∴，．在中，由勾股定理得．過點(diǎn)Q作，垂足為H．∵Q是的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．又由勾股定理得．由，得．又∵，∴．∴，即，∴．∴．52．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形是一張紙，其中，小天用該紙玩折紙游戲．游戲1

折出對角線，將點(diǎn)B翻折到上的點(diǎn)E處，折痕交于點(diǎn)G．展開后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F恰為的中點(diǎn)．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C翻折到上，折痕為；展開后將點(diǎn)B沿過點(diǎn)F的直線翻折到上的點(diǎn)H處；再展開并連接后得到圖②，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)特定的角．(1)請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)請你猜想游戲2中的度數(shù)，并說明理由．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)題意可得，再設(shè)，然后表示出、，再由銳角三角函數(shù)求出即可；（2）由折疊的性質(zhì)可知，，從而可得出，進(jìn)而得到，，由（1）知，可得，在中求出的正切值即可解答．【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得，，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，，，即，，解得，根據(jù)勾股定理可得，，即，．解得，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（2）解：，理由如下：連接，如圖：由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，由（1）知，可得，，設(shè)，則，，，，在中，，，，．

53．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點(diǎn)E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接