2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式 專項(xiàng)訓(xùn)練原卷版

2.2.1-基本不等式-專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

基礎(chǔ)鞏固練

1.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=L則ab的最大值為（）.

A.2B.1C.工D.-

24

2.函數(shù)y=>1）的最小值為（）.

x—1

A.4B.2V3-3C.2V3D.2V3+3

3.已知正實(shí)數(shù)％,y滿足:+；=1,則4町一3%-6y的最小值為（）.

A.2B.4C.8D.12

4.若一1<%<1,則y=與罕有（）.

2x—2

A.最大值—1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

5.下列不等式恒成立的是（）.

1

A.%H—22B.a+b>2^ab

X

C.映）2>D.a2+b2>2ab

6.若用32m2的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，規(guī)定車廂寬度為2m,則

車廂容積的最大值為（）.

A.（38-3V73）m3B.16m3C.4V2m3D.14m3

7.最大視角問題是德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般

被稱為“米勒問題”.如圖，樹頂2離地面12米，樹上另一點(diǎn)B離地面8米，若

某人站在高臺上仰視此樹，其雙眼在離地面2米的C處，貝ijtan乙4cB的最大值

為（）.

8.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足ab+a+b=2,則a+2b的最小值為（）.

A.2V6-3B.2V2C.1D.V2

綜合提升練

9.（多選題）已知a,5是兩個(gè)正數(shù)，4是2a與16b的等比中項(xiàng)，則下列說法正確

的是（）.

A.ab的最小值為1B.ab的最大值為1

C.工+，的最小值為1D.工+，的最大值為：

ab4ab2

10.（多選題）以下說法正確的是（）.

A.若%>0,則2—3%一三的最大值為一4

X

B.當(dāng)a2+乂=4時(shí)，a+匕W2-\/2

C.關(guān)于x的不等式/+2x>ax在［1,2］上有解等價(jià)于（/+2x）min>（ax）min在

［1,2］上成立

D.當(dāng)久C（0A）時(shí)，sin久+心-的最小值為2加

2sinx

11.設(shè)%,y€>1,匕>1,若談=b'=6,2a+I=16,則工+工的最大值為

xy

12.（雙空題）已知實(shí)數(shù)X,y,z不全為0,則w=筌巖的最小值為二工，最

大值為

應(yīng)用情境練

13.某社區(qū)決定建立一個(gè)取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費(fèi)（單位：萬元）與

供熱站到社區(qū)的距離（單位：千米）成反比，每月供熱費(fèi)（單位：萬元）與供熱

站到社區(qū)的距離成正比.如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站，自然消費(fèi)與供熱

費(fèi)分別為0.5萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，供熱站應(yīng)建在離社

區(qū)千米處.

14.畢達(dá)哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一

個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形（如圖1）.現(xiàn)由畢達(dá)哥拉斯樹部分圖形作出圖2,

△4BC為銳角三角形，面積為1,乙4cB=￡以△ABC的三邊為邊長的正方形的

2

中心分別為如,“2,“3,則|時(shí)也2『+|M2M3|+|M3Mli2的最小值為

圖1圖2

創(chuàng)新拓展練

15.已知a>0,b>0,曲線/(K)=In%-2%+4在％=1處的切線為2,若點(diǎn)

M(a,b)在直線I上，貝?+★的最小值為1.

16.已知函數(shù)/(%)=mx2+nx(m>0).

(1)若=且九>一2,求三Y+2的最小值.

m+ln+2

(2)求證：函數(shù)y=/(x)在［1,2］上單調(diào)的充要條件是/(2)/(4)N0.

2.2.1-基本不等式-專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

基礎(chǔ)鞏固練

1.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=l,則ab的最大值為（D）.

A.2B.1C.工D.-

24

［解析了?,。力<），a+b=19

???ab<（工）,ab<當(dāng)且僅當(dāng)a=b=工時(shí)，等號成立，

\2/42

???（ab）max=:故選D.

2.函數(shù)y=3%+Co>1）的最小值為（D）.

X—1

A.4B.2V3-3C.2V3D.2V3+3

［解析］因?yàn)椋?gt;1,所以y=3（%—l）+C+3223（%—1）?二+3=2g+3,

X—1Yx—i

當(dāng)且僅當(dāng)3（%—1）=—-，即％=1+q時(shí)，等號成立，所以函數(shù)y=3%+>

x13x1

1）的最小值為2舊+3.故選D.

3.已知正實(shí)數(shù)”,y滿足:+；=1,則4%y-3久一6y的最小值為（C）.

A.2B.4C.8D.12

21

［解析］由汽>0，丫>0且1+,=1,可得第y=x+2y,

所以4xy—3x-6y=4x+8y—3x-6y=x+2y=（：+：）Q+2y）=4+

竺+224+2方=8,

Xy\Xy

當(dāng)且僅當(dāng)竺=工，即％=4,y=2時(shí)，等號成立.故選C.

xy

4.若—1<%<1,則y=與竿有（A）.

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

［解析］由-得0<1—%<2,

所以y=_；.i^il=T（17）十±］W_；x2j（l-%）.W=T，當(dāng)且僅

當(dāng)1一%=即％=0時(shí)，等號成立，所以當(dāng)％=0時(shí)，y==2：2有最大值一1.

1—x2x—2

故選A.

5.下列不等式恒成立的是（D）.

A.%+->2B,a+b>2y［ab

X

C.然）2>D.a2+b2>2ab

［解析］對于A,當(dāng)“<0時(shí)，不等式顯然不成立，故A錯(cuò)誤；

對于B,（ia+b>2面”成立的條件為“a>0,b>0",故B錯(cuò)誤；

對于C,當(dāng)a=-時(shí)，不等式顯然不成立，故C錯(cuò)誤；

對于D,由a?+/—2ab=（a—6）220,得a2+b2、2ab,故D正確.

故選D.

6.若用32m2的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，規(guī)定車廂寬度為2m,則

車廂容積的最大值為（B）.

A.（38-3V73）m3B.16m3C.4A/2m3D.14m3

［解析］設(shè)長方體車廂的長為％m,高為/im,則2%+2?2九+2%九=32,即X+

2h+xh-16,

16—x+2h+xh>2>j2xh+xh,即xh+2>j2xh—16<0,

解得?！礃?biāo)W2V2,

:.0<xh<8,

車廂的容積V—2xh<16（m3）,當(dāng)且僅當(dāng)x—2九,即x—4,/i=2時(shí)，等號成立，

車廂容積的最大值為16m3.故選B.

7.最大視角問題是德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般

被稱為“米勒問題”.如圖，樹頂2離地面12米，樹上另一點(diǎn)B離地面8米，若

某人站在高臺上仰視此樹，其雙眼在離地面2米的C處，則tan乙4cB的最大值

為（C）.

A.空B?包C.迤D.江

5101510

［解析］如圖，過點(diǎn)C作。。148,交AB于點(diǎn)、D,則43=4/。=10乃。=6.

設(shè)乙在△中，

BCD=a,CD=%(%>0),RtBCDtana=—CD=x

在Rt△ACD中，tan^ACD=—=—.

4,4

所以tanz■力=tan(乙4C?！猘)=

1+--

即％=2后時(shí)，等號成立，故tan乙4cB的最大值為逗.故選C.

8.已知正實(shí)數(shù)a,匕滿足ab+a+b=2,則a+2b的最小值為（A）.

A.2V6-3B.2V2D.V2

［解析］因?yàn)閍>0/>0,ab+a+b-2,

所以則

a(b+1)=2—b,a=b+1

由得令則

a=b+l>0,0<b<2,t=b+1,1<CV3,b=t—1,

所以a+2b=---+2b=~~~&~~~+2(t—1)=—+2t—3之2［―,2t-3=

b+itt\t

2V6-3,

當(dāng)且僅當(dāng)：=23即”乎，5=乎一1時(shí)，等號成立，

則a+2b的最小值為2遙一3.故選A.

綜合提升練

9.（多選題）已知a,5是兩個(gè)正數(shù)，4是2a與16b的等比中項(xiàng)，則下列說法正確

的是（BC）.

A.ab的最小值為1B.ab的最大值為1

C.1+石的最小值為ID.1+］的最大值為Q

［解析］因?yàn)?a?16b=42,所以2。+4b=23

所以a+45=422A/4ab,可得abWl,當(dāng)且僅當(dāng)a=4b,即a=2,b=1■時(shí)，等

號成立，

所以ab的最大值為1,故A錯(cuò)誤，B正確.

/I,1\-7、11乙，…鉆，a、i

因?yàn)楣?7=6+/.9z+4m%=1(1+4+1+],5+2=-x

ab-I4

(5+4)=1,當(dāng)且僅當(dāng)竺=*即。=：乃=:時(shí)，等號成立，所以工+：的最小值為之

4ab33ab4

無最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.

10.(多選題)以下說法正確的是(AB).

A.若%>0,貝IJ2—3久一三的最大值為一4

X

B.當(dāng)a?+^2=4時(shí)，a+bW2A/2

C.關(guān)于X的不等式%2+2x>ax在［1,2］上有解等價(jià)于(/+2%)min>(a%)min在

［1,2］上成立

D.當(dāng)％e(0A)時(shí)，sin%+3的最小值為2魚

2sin%

［解析］對于A,因?yàn)椋?gt;0,所以3久十三223%/=6(當(dāng)且僅當(dāng)3%=三，即％=1

X7XX

時(shí)，等號成立)，所以2—3%—4—4,所以2—3%—的最大值為-4,故A正

XX

確；

對于B,因?yàn)榇?b222ab,所以2(次+62)之(q+瓦)2,所以@+力42世，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=魚時(shí)，等號成立，故B正確；

對于C,關(guān)于％的不等式/+2x>ax在［L2］上有解等價(jià)于a<(立")在［L2］

上成立，故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)?shù)赪(0微)時(shí)，sin%E(0,1)，令力=sin第C(0,1),/(t)=t+由對

勾函數(shù)的性質(zhì)易知/(t)=t+：在(0,1)上單調(diào)遞減，所以sin久十高在(0弓)上無

最值，故D錯(cuò)誤.故選AB.

11.設(shè)％,yeR,a>1,5>1,若a*=67=6,2a+b=16,貝壯+工的最大值為

xy

51oge2.

［解麗因?yàn)檎?/=6,所以％=loga6,y=log/,6,

又1嗝6?log6a=翳需=Uog匕6?log6b=翳1=1，

所以：=log6a3=log6b.

xy

2

因?yàn)閍>l/>1,根據(jù)基本不等式有2abW(等)=64,

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b,即a=4,b=8時(shí)，等號成立，

所以ab432,

11

所以-+-=log6a+log6b=log6ab<log32=51og2,

xy66

所以—I—的最大值為51og62.

xy

12.（雙空題）已知實(shí)數(shù)％,y,z不全為0,則卬=廣產(chǎn)的最小值為二工,最

大值為L

［解析］-當(dāng)且僅當(dāng)y=。，％=z時(shí)，等號

成立，所以w的最小值為—1.

W=廣廣zqJ+%：+z：=i,當(dāng)且僅當(dāng)％=z時(shí)，等號成立，所以W的最大值為

xz+yz+zzxz+yz+zz

1.

應(yīng)用情境練

13.某社區(qū)決定建立一個(gè)取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費(fèi)（單位：萬元）與

供熱站到社區(qū)的距離（單位：千米）成反比，每月供熱費(fèi)（單位：萬元）與供熱

站到社區(qū)的距離成正比.如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站，自然消費(fèi)與供熱

費(fèi)分別為0.5萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，供熱站應(yīng)建在離社

區(qū)分千米處.

［解析］設(shè)供熱站建在離社區(qū)久千米處，自然消費(fèi)為=，萬元，供熱費(fèi)力=k2%萬

元，

由題意得，當(dāng)％=20時(shí)，y1=0.5,丫2=8,

所以的=20x0.5=10,e

匕乙、，io2

所以為=—,y2=-%,

所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和為yi+y2=，+?之2?藍(lán)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=g，即第=5時(shí)，等號成立，

所以要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，供熱站應(yīng)建在離社區(qū)5千米處.

14.畢達(dá)哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一

個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形（如圖1）.現(xiàn)由畢達(dá)哥拉斯樹部分圖形作出圖2,

△2BC為銳角三角形，面積為1,乙4cB=g以△ABC的三邊為邊長的正方形的

6

2

中心分別為a,M2,M3,則+\M2M3\+中3Mli2的最小值為22-4Vl.

圖1圖2

［解析］由題意知，1,^ACB

SAABC==P

設(shè)^ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

1-11

因?yàn)镾AABC=-ctbsinZ-ACB,1=-ab-所以ab=4,

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcosZ-ACB=a2+b2—4V3.

在△”24”3中，MM2|=—b,\AM3\=—C^M2AM3=^BAC+-9

1

2+722V2-V2-7

c-D2c2D

由余弦定理可得|M2M3/2?3（皿。+￡）二手+

bcsinZ-BAC,

1kZI2

又538。=方A$也287^=1，所以bcsinNBZC=2，貝U|M2M3『=r2?

同理，=?+2,|M3Mli2=，+2.

222222

故+\M2M3\+|M3Mli2=a+b+c+6=2(a+b)+6-4V3>

4ab+6-4A/3=22-4V3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號成立，所以+

222

|M2M3|+|M3Mli2>22-4V3,&|M1M2|+|M2M3|+|M3Mli2的最小值為

22-4V3.

創(chuàng)新拓展練

15.已知a>0,b>0,曲線/(為)=In%-2%+4在久=1處的切線為2,若點(diǎn)

M(a力)在直線I上，則工+上的最小值為1.

aD+1—

［解析］由f(x)=In%—2%+4,得/(%)=［-2,

/'(I)=1-2=-1,

又/(1)=2,直線1：y—2=-1?(%—1),即％+y=3.

??,點(diǎn)M(a力)在直線［上，.??a+>=3.

11