第十六講圖形的相似(原卷版+解析)

第十六講圖形的相似命題點1比例線段類型一比例的性質1．（2021?攀枝花）若（x、y、z均不為0），則＝．類型二黃金分割2．（2022?山西）神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學知識．動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的（）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．黃金分割3．（2022?陜西）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長為米．類型三平行線分線段成比例 4．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．5．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為．命題點2相似的基本性質7．（2022?蘭州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，則EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．168．（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．9．（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．21命題點3相似三角形的判定與性質類型一A字型10．（2022?雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．11．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件，使△ADE∽△ABC．12．（2022?貴陽）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：413．（2022?涼山州）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm14．（2022?東營）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為．15．（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線段AD的長．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．16．（2022?江西）如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當AB＝6，AC＝4時，求AE的長．17．（2022?遂寧）如圖⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC上，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）若AB＝6，AC＝8，求點O到AD的距離．18．（2022?上海）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ?AB．求證：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF?FQ＝AF?BQ．19.（2022?貴港）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB邊的中點，點O在AC邊上，⊙O經過點C且與AB邊相切于點E，∠FAC＝∠BDC．（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半徑及OD的長．類型二8字型20．（2022?哈爾濱）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為（）A． B．4 C． D．621．（2022?海南）如圖，菱形ABCD中，點E是邊CD的中點，EF垂直AB交AB的延長線于點F，若BF：CE＝1：2，EF＝，則菱形ABCD的邊長是（）A．3 B．4 C．5 D．22．（2022?鞍山）如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，則CD的長為．23．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．24．（2022?無錫）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．（1）求證：△CED∽△BAD；（2）當DC＝2AD時，求CE的長．25．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點O，BE與AC相交于點F．（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．類型三旋轉型26．（2022?揚州）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F．下列結論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③27．（2022?遂寧）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點B，連接EC、GA，交于點O，GA與BC交于點P，連接OD、OB，則下列結論一定正確的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④28．（2022?牡丹江）如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于點H．下列結論中：①AC＝CD；②AD2＝BC?AF；③若AD＝3，DH＝5，則BD＝3；④AH2＝DH?AC，正確的是．29．（2022?隨州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，連接EF．如圖2，將△AEF繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，連接BE并延長交DF于點H．則∠BHD的度數(shù)為，DH的長為．類型四三垂直型30．（2022?達州）如圖，點E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為（）A．9 B．12 C．15 D．1831．（2022?遼寧）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為．類型五網絡中相似三角形的判定與性質32．（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1命題點4相似三角形的實際應用33．（2022?德州）如圖，把一根長為4.5m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長1m處離地面的高度為0.6m，則石壩的高度為（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m34．（2022?百色）數(shù)學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為米．35．（2022?廣西）古希臘數(shù)學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是米．36．（2022?杭州）某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝m．37．（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．第十六講圖形的相似命題點1比例線段類型一比例的性質1．（2021?攀枝花）若（x、y、z均不為0），則＝．【答案】3【解答】解：設＝＝＝k（k≠0），則x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案為：3．類型二黃金分割2．（2022?山西）神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學知識．動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的（）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．黃金分割【答案】D．【解答】解：∵每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618，又黃金分割比為≈0.618，∴其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的黃金分割，故選：D．3．（2022?陜西）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長為米．【答案】（﹣1+）【解答】解：∵BE2＝AE?AB，設BE＝x，則AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴線段BE的長為（﹣1+）米．故答案為：（﹣1+）．類型三平行線分線段成比例 4．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故選：C．5．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D兩點縱坐標分別為1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B點的縱坐標為6，故選：C．6．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為．【答案】5【解答】解：如圖，過點F作FM⊥AB于點M，F(xiàn)N⊥AC于點N，過點D作DT∥AE交BC于點T．∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，設AD＝DC＝a，則AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，設ET＝CT＝b，則BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案為：5．命題點2相似的基本性質7．（2022?蘭州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，則EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵＝，BC＝2，∴，∴EF＝4，故選：A．8．（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值為，故選：B．9．（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【解答】解：方法一：設2對應的邊是x，3對應的邊是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周長是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故選：C．命題點3相似三角形的判定與性質類型一A字型10．（2022?雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝＝．故選：D．11．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件，使△ADE∽△ABC．【答案】∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）【解答】解：∵∠A＝∠A，∴當∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝時，△ADE∽△ABC，故答案為：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．12．（2022?貴陽）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】B【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，故選：B．13．（2022?涼山州）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】C【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故選：C14．（2022?東營）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為．【答案】【解答】解：設AD交EH于點R，∵矩形EFGH的邊FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于點D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的長為，故答案為：．15．（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線段AD的長．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【解答】解：（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積為1，∴△ABC的面積是16，∵四邊形BFED是平行四邊形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面積＝9，∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．16．（2022?江西）如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當AB＝6，AC＝4時，求AE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．17．（2022?遂寧）如圖⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC上，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）若AB＝6，AC＝8，求點O到AD的距離．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PD，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PD，∵OD是半徑，∴PD是⊙O的切線．（2）證明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△ABD∽△DCP；（3）解法一：如圖，過點O作OE⊥AD于E，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝5，由（2）知：△ABD∽△DCP，∴＝，即＝，∴CP＝，∴AP＝AC+CP＝8+＝，∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，∴△BAD∽△DAP，∴＝，即＝，∴AD2＝6×＝98，∴AD＝7，∵OE⊥AD，∴DE＝AD＝，∴OE＝＝＝，即點O到AD的距離是．解法二：如圖，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，過點O作OE⊥AD于E，連接OD，則∠M＝∠CND＝90°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，∵A，B，D，C四點共圓，∴∠DBM＝∠DCN，∴△DCN≌△DBM（AAS），∴CN＝BM，同理得：AM＝AN，∵AB＝6，AC＝8，∴AM＝DM＝7，∴AD＝7，由解法一可得：OE＝．即點O到AD的距離是．18．（2022?上海）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ?AB．求證：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF?FQ＝AF?BQ．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF﹣EF＝BE﹣EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE＝∠BAF；（2）∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ?AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF，∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝，即CF?FQ＝AF?BQ．19.（2022?貴港）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB邊的中點，點O在AC邊上，⊙O經過點C且與AB邊相切于點E，∠FAC＝∠BDC．（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半徑及OD的長．【解答】（1）證明：如圖，作OH⊥FA，垂足為H，連接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠FAC＝，∴∠FAC＝∠CAB，即AC是∠FAB的平分線，∵點O在AC上，⊙O與AB相切于點E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半徑，∴OH＝OE，OH是⊙O的半徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinB＝，∴可設AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，則AC＝8，AB＝10，設⊙O的半徑為r，則OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．類型二8字型20．（2022?哈爾濱）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為（）A． B．4 C． D．6【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，即＝，∴BE＝1.5，∴BD＝BE+DE＝4.5．故選：C．21．（2022?海南）如圖，菱形ABCD中，點E是邊CD的中點，EF垂直AB交AB的延長線于點F，若BF：CE＝1：2，EF＝，則菱形ABCD的邊長是（）A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【解答】解：過點D作DH⊥AB于點H，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四邊形DHFE為平行四邊形，∴HF＝DE，DH＝EF＝．∵點E是邊CD的中點，∴DE＝CD，∴HF＝CD＝AB．∵BF：CE＝1：2，∴設BF＝x，則CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴．解得：x＝±1（負數(shù)不合題意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的邊長是4，故選：B．22．（2022?鞍山）如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，則CD的長為．【答案】5【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，∴△EAB∽△EDC，∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，又∵AB＝2.5，∴CD＝5．故答案為：5．23．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．【解答】證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．24．（2022?無錫）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．（1）求證：△CED∽△BAD；（2）當DC＝2AD時，求CE的長．【解答】（1）證明：如圖1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如圖2，過點D作DF⊥EC于點F，∵△ABC是邊長為6等邊三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，設EF＝x，則DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合題意，舍去），∴EC＝6x＝．25．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點O，BE與AC相交于點F．（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．【解答】（1）證明：如圖，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：與△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF；（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BFA．∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF．∴，∴，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴，∴BF2＝OF?AF，∴BF2＝3（OA+3）②，聯(lián)立①②，可得BF＝1±（負值舍去），∴DE＝BE＝2+1+＝3+．類型三旋轉型26．（2022?揚州）如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F．下列結論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【解答】解：∵將△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合題意；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合題意；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE＝∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴③符合題意；故選：D．27．（2022?遂寧）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點B，連接EC、GA，交于點O，GA與BC交于點P，連接OD、OB，則下列結論一定正確的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正確；取AC的中點K，如圖：在Rt△AOC中，K為斜邊AC上的中點，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K為斜邊AC上的中點，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四點共圓，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正確，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四點共圓，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正確，由已知不能證明OB平分∠CBG，故③錯誤，故正確的有：①②④，故選：D．28．（2022?牡丹江）如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于點H．下列結論中：①AC＝CD；②AD2＝BC?AF；③若AD＝3，DH＝5，則BD＝3；④AH2＝DH?AC，正確的是．【答案】②③【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度數(shù)不確定，∴∠ADC與∠CAD不一定相等，∴AC與CD不一定相等，故①錯誤；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF?AB＝AF?BC，∴AD2＝AF?BC，故②正確；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH?BH，而BH與AC不一定相等，故④不一定正確；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH?BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正確；本題正確的結論有：②③故答案為：②③．29．（2022?隨州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，連接EF．如圖2，將△AEF繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，連接BE并延長交DF于點H．則∠BHD的度數(shù)為，DH的長為．【答案】90°，【解答】解：如圖，設EF交AD于點J，AD交BH于點O，過點E作EK⊥AB于點K．∵∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，∵＝＝，∴＝，∴△DAF∽△BAE，∴∠ADF＝∠ABE，∵∠DOH＝∠AOB，∴∠DHO＝∠BAO＝90°，∴∠BHD＝90°，∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，∴EF＝＝5，∵EF⊥AD，∴?AE?AF＝?EF?AJ，∴AJ＝，∴EJ＝＝＝，∵EJ∥AB，∴＝，∴＝，∴OJ＝，∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，∵cos∠ODH＝cos∠ABO，∴＝，∴＝，∴DH＝．故答案為：90°，類型四三垂直型30．（2022?達州）如圖，點E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵將矩形ABCD沿直線DE折疊，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，設BF＝x，則CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故選：C．31．（2022?遼寧）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為．【答案】【解答】解：以O為原點，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標系，過E作EM⊥CD于M，過F作FN⊥DC，交DC延長線于N，如圖：設正方形ABCD的邊長為2，則C（1，1），D（﹣1，1），∵E為OD中點，∴E（﹣，），設直線CE解析式為y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：，解得，∴直線CE解析式為y＝x+，在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（﹣，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，﹣），∵H是EF中點，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案為：．類型五網絡中相似三角形的判定與性質32．（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB，CD，則△A