專題27四邊形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)

專題27四邊形中由動點引起的分類討論問題【題型演練】一、單選題1．如圖，點為矩形的對稱中心，動點從點出發(fā)沿向點移動，移動到點停止，延長交于點，則四邊形形狀的變化依次為（

）A．平行四邊形一矩形一平行四邊形一矩形 B．平行四邊形一矩形一菱形一矩形C．平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形 D．平行四邊形一菱形一平行四邊形2．矩形的邊上有一動點，連接、，以、為邊作平行四邊形．在點從點移動到點的過程中，平行四邊形的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變3．如圖，在四邊形ABCD中，，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點．若點P到AC的距離為，則點P的位置有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處4．如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點0，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F．交AD、BC于M、N．點從從下列結(jié)論：①PM＋PN＝AC；②；③點O在M、N兩點的連線上；④OP平分∠MPN；⑤四邊形PEOF不可能為菱形．其中正確的個數(shù)有（

）A．2 B．3 C．4 D．55．如圖，在平行四邊形中，，AB=4，AD=8，點、分別是邊CD、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（

）A．2 B． C． D．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當(dāng)四邊形APQC的面積為12時，則點P運動的時間是（）A．2s B．3s C．4s D．6s7．如圖，在中，，，是邊上的中點，點、分別是、邊上的動點，且.則下列結(jié)論：（1）；（2）的長度不變；（3）的度數(shù)不變；（4）四邊形的面積為；其中正確的結(jié)論有（

）個.A．2 B．3 C．4 D．58．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的是（

）①△CMP~△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當(dāng)P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；④線段AM的最小值為2；⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時，BP=．A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤9．如圖，在矩形中，，，點E為中點，P、Q為邊上兩個動點，且，當(dāng)四邊形周長最小時，的長為（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．510．如圖，在中，于點，是上的動點，且，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③四邊形的面積為定值；④；⑤平分．其中正確說法的是（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④二、填空題11．如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AB=6cm，AD=12cm，BC=15cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，從運動開始，當(dāng)運動時間t=__________s時，PQCD，且PQ=CD．12．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為t秒，四邊形APQC的面積為Smm2，請寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并標(biāo)注t的取值范圍___________________；13．如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，點P為線段AC上的一個動點．過點P分別作PM⊥AD于點M，作PN⊥DC于點N．連接PB，在點P運動過程中，PM+PN+PB的最小值等于_____．14．如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，AE＝__________．三、解答題15．如圖，在中，點是邊上的一個動點（點不與、兩點重合），過點作直線，直線與的平分線相交于點，與（的外角）的平分線相交于點．(1)與相等嗎？為什么？(2)探究：當(dāng)點運動到何處時，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論．(3)在（2）中當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，四邊形為正方形（不要求說理由）16．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，，則四邊形為“等鄰角四邊形”．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．(2)深入探究：①已知四邊形為“等鄰角四邊形”，且，則________．②如圖②，在五邊形中，，對角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點P為邊BC上的一動點，過點P作，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，的值是否會發(fā)生變化？請說明理由．17．如圖，點E是矩形的邊的中點，點G是邊上一動點，連接，若點H為的中點，連接，連接并延長交邊于點F，過點A作，垂足為點M，交于點P．(1)求證：；(2)連接，若，請判斷四邊形是什么特殊四邊形，并證明．18．如圖，在四邊形中，，，，．點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線方向運動，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿線段方向向點運動．已知動點，同時發(fā)，當(dāng)點運動到點時，，運動停止，設(shè)運動時間為．(1)直接寫出的長（cm）；(2)當(dāng)四邊形為平行四邊形時，直接寫出四邊形的周長（cm）；(3)在點、點的運動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積為？若存在，請求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．19．問題情境：四邊形中，點O是對角線的中點，點E是直線上的一個動點（點E與點C、O、A都不重合）過點，分別作直線的垂線，垂足分別為，，連接(1)初步探究：已知四邊形是正方形，且點E在線段上，求證；(2)在（1）的條件下，探究圖中與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為．(1)用含x的式子表示（請寫化簡之后的結(jié)果）；____________，____________，___________，=____________(2)四邊形的面積能否等于172？若能，求出運動的時間;若不能，說明理由．21．（1）如圖1，在四邊形中，，點E是邊上一點，，，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點C是x軸上的動點，線段繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段，連接、，①求B點的運動軌跡解析式②的最小值是．22．如圖，在四邊形中，，，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點，分別從點，同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為秒.(1)當(dāng)為何值時，四邊形為矩形？(2)當(dāng)為何值時，四邊形為平行四邊形？23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上，，，兩動點P、Q分別從O、B兩點同時出發(fā)，點P以每秒個單位長度的速度沿線段OC向點C運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿著線段BO向點O運動，當(dāng)點P運動到點C時，P、Q同時停止，設(shè)這兩個點運動時間為t（s），(1)直接寫出點A、B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時，求t的值；(3)在運動過程中，是否存在P、Q兩點，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．24．從多邊形的一個頂點引出兩條射線形成一個角，這個角的兩邊與多邊形的兩邊相交，該多邊形在這個角的內(nèi)部的部分與角的兩邊圍成的圖形稱為該角對這個圖形的“投射圖形”【特例感知】（1）如圖，與正方形的邊、分別交于點E、點F，此時對正方形的“投射圖形”就是四邊形；若此時是一個定值，則四邊形的面積____（填“會”或“不會”）發(fā)生變化．【遷移嘗試】（2）如圖，菱形中，，，E、F分別是邊、上的動點，若對菱形的“投射圖形”四邊形的面積為，求的值．【深入感悟】（3）如圖，矩形中，，，的兩邊分別與、交于點E、點F，若，，求對矩形的“投射圖形”四邊形的面積．【綜合運用】（4）如圖，某建筑工地有一塊由圍擋封閉起來的四邊形空地，其中，，，m，m，現(xiàn)打算在空地上建一塊四邊形堆場用于堆放建筑垃圾，需要拆除圍擋和，若m，求這個四邊形堆場面積的最大值．25．如圖，四邊形是菱形，對角線和相交于點O、點E是的中點，過點C作的垂線，與的延長線交于點F，連接.(1)求證：四邊形是矩形；(2)若四邊形的周長為，的周長為，求四邊形的面積；(3)在（2）問的條件下，上有一動點Q，上有一動點P，求的最小值.26．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，連結(jié)，，，點D是的中點．(1)___________；點D的坐標(biāo)為___________；(2)若點E在線段上，直線DE把矩形面積分成為2：1兩部分，求點E坐標(biāo)；(3)如圖2．點P為線段上一動點（含線段端點），連接；以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動點P從點B運動到點A時，點Q也隨之運動，當(dāng)成為以為底的等腰三角形時，直接寫出Q點的橫坐標(biāo)．專題27四邊形中由動點引起的分類討論問題【題型演練】一、單選題1．如圖，點為矩形的對稱中心，動點從點出發(fā)沿向點移動，移動到點停止，延長交于點，則四邊形形狀的變化依次為（

）A．平行四邊形一矩形一平行四邊形一矩形 B．平行四邊形一矩形一菱形一矩形C．平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形 D．平行四邊形一菱形一平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形形狀的變化情況：這個四邊形先是平行四邊形，當(dāng)對角線互相垂直時是菱形，然后又是平行四邊形，最后點A與點重合時是矩形．【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形形狀的變化依次為平行四邊形菱形平行四邊形矩形．故選C．【點睛】本題考查了中心對稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，根據(jù)與的位置關(guān)系即可求解．2．矩形的邊上有一動點，連接、，以、為邊作平行四邊形．在點從點移動到點的過程中，平行四邊形的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【答案】D【分析】過點E作EG⊥AD于G，證四邊形ABEG是矩形，得出EG＝AB，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點E作EG⊥AD于G，如圖所示：則∠AGE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABEG是矩形，∴EG＝AB，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴，即的面積保持不變，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出的面積＝矩形ABCD的面積，是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點．若點P到AC的距離為，則點P的位置有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可以求得AC、AD、BC和AB的長，然后即可得到點D到AC的距離和點B到AC的距離，從而可以得到滿足條件的點P有幾處，本題得以解決．【詳解】解：過點B作于點F，過點D作于點E，∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°，∴AC=4，，∴在Rt△ADC中，斜邊AC上的高，∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°，∴，，∴AB=BC=，∴在Rt△ABC中，斜邊AC上的高，∵，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點，點P到AC的距離為，∴點P的位置在點D處，或者邊BC上或者邊AB上，即滿足條件的點P有3處．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是求出滿足條件的點P所在的位置．4．如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點0，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F．交AD、BC于M、N．點從從下列結(jié)論：①PM＋PN＝AC；②；③點O在M、N兩點的連線上；④OP平分∠MPN；⑤四邊形PEOF不可能為菱形．其中正確的個數(shù)有（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），∴PE=EM=PM，同理，F(xiàn)P=FN=NP．∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE，∴四邊形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，F(xiàn)P=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故①正確；∵四邊形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，，∴，故②正確．∵四邊形PEOF是矩形，∴OP不一定平分∠MPN，故④錯誤；連接OM，ON，∵OA垂直平分線段PM．OB垂直平分線段PN，∴OM=OP，ON=OP，∴∠OMP=∠OPM，∠ONP=∠OPN，∵四邊形PEOF是矩形，∴∠MPN=90°，即∠OPM+∠OPN=90°，∴∠OMP+∠ONP=90°，即∠OMP+∠ONP+∠MPN=180°，∴M，O，N共線，故③正確．當(dāng)點P是AB的中點時，則PE=OE=OA，F(xiàn)P=OF=OB，OA=OB，∴PE=OE=FP=OF，∴四邊形PEOF為菱形．故⑤錯誤．綜上，①②③正確，共3個．故選：B．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理等知識，證明四邊形PEOF是矩形是關(guān)鍵．5．如圖，在平行四邊形中，，AB=4，AD=8，點、分別是邊CD、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°?∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，∵AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等邊三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝AC＝∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝AG，∵點G在BC上，∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，∴AG的最大值為，最小值為，∴EF的最大值為，最小值為，∴EF的最大值與最小值的差為：故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點是證明∠ACD＝90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當(dāng)四邊形APQC的面積為12時，則點P運動的時間是（）A．2s B．3s C．4s D．6s【答案】A【分析】設(shè)出動點，運動秒，能使的面積為12，用分別表示出和的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．【詳解】解：設(shè)動點，運動秒后，能使的面積為15，則為cm，為cm，由三角形的面積計算公式列方程得：，解得，（當(dāng)時，，不合題意，舍去），動點，運動3秒時，能使的面積為，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，，是邊上的中點，點、分別是、邊上的動點，且.則下列結(jié)論：（1）；（2）的長度不變；（3）的度數(shù)不變；（4）四邊形的面積為；其中正確的結(jié)論有（

）個.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由題意易得，，，然后可得，則有，，進而問題可求解．【詳解】解：∵，，是邊上的中點，∴，，，∵，∴，∴，∴（ASA），∴，，故（1）正確；∴是等腰直角三角形，∴，∵DM是在變化的，∴DE的長度也在變化；故（2）錯誤；∵，∴，由是在變化，所以可知也在變化，故（3）錯誤；∵，，∴，∴，∴；故（4）正確；故選A．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及等積法，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的是（

）①△CMP~△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當(dāng)P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；④線段AM的最小值為2；⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時，BP=．A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)逐個分析即可.根據(jù)正方形的性質(zhì)以及翻折證明角度相等，根據(jù)AA可證△CMP∽△BPA，故①正確；當(dāng)x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確；NE≠EP，故③錯誤；AM的最小值==5，故④錯誤；PB=故⑤正確．【詳解】∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確；設(shè)PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴，∴CM=x（4﹣x），∴S四邊形AMCB=[4+x（4﹣x）]×4==，∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確；當(dāng)PB=PC=PE=2時，設(shè)ND=NE=y，在Rt△PCN中，解得，∴NE≠EP，故③錯誤；作MG⊥AB于G，∵AM==，∴AG最小時AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=，∴x=1時，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④錯誤；∵△ABP≌△ADN，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設(shè)PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°．∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=z，∴z+z=4，∴z=，即PB=故⑤正確．故選B．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．利用正方形的性質(zhì)以及翻折進行角度的轉(zhuǎn)化，從而證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形中，，，點E為中點，P、Q為邊上兩個動點，且，當(dāng)四邊形周長最小時，的長為（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】四邊形周長等于，其中為定值，即求最小值，，作F關(guān)于BC的對稱點，當(dāng)共線時最小，此時的P位置即為所求．【詳解】解：如圖：四邊形周長等于，作，使，即四邊形PQEF是平行四邊形，則，作F關(guān)于BC的對稱點，連接，交于點，即有，∵四邊形是矩形，，，E為DC中點，∴，，∠D=90°，∴，即在Rt△ADE中，，即AE為定值，即四邊形周長=，其中為定值，∵，∴當(dāng)共線時最小，即四邊形周長最小，∵，，∴結(jié)合四邊形是矩形，易證明四邊形是矩形，則，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，將軍飲馬，線段和最小值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的作出輔助線，轉(zhuǎn)化未知線段為已知線段的長是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，于點，是上的動點，且，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③四邊形的面積為定值；④；⑤平分．其中正確說法的是（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，∠A=∠ACD=∠DCB=45°，再根據(jù)可得∠MDN=90°，即∠ADM=∠CDN；再證可得DM=DN、CM=BN，推出CM=BN，可知△MDN是等腰直角三角形，；根據(jù)CM=BN，CM=BN，易得，顯然CM、CN不一定相等，所以∠CNM不一定等于45°，所以MN平分∠CND不一定成立．【詳解】解：∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，又∵CD⊥AB，∴AD=DB=CD，∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，∠ADC=∠BDC=∠MDN=90°=∠ADM+∠CDM=∠BDN+∠CDN=∠CDM+∠CDN，∴∠ADM=∠CDN，∵∠ADM=∠CDN，AD=CD，∠A=∠BCD=45°，∴，∴DM=DN，AM=CN，即①正確；∴△MDN是等腰直角三角形，即②正確；四邊形MDNC的面積為，∵，∴，∴，即，則可知該四邊形面積為定值，即③正確；∵AC=BC，AM=CN，∴CM=AC-AM=BC-AM=BC-AN=BN；∴在Rt△CMN中，有，即有，即④正確；∵△MDN是等腰直角三角形，∴∠AND=45°為定值，又∵在M、N運動時，在Rt△CMN中，CM、CN不一定相等，∴∠CNM不一定等于45°，∴MN平分∠CND不一定成立，即⑤錯誤．故選C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AB=6cm，AD=12cm，BC=15cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，從運動開始，當(dāng)運動時間t=__________s時，PQCD，且PQ=CD．【答案】4【分析】根據(jù)，時，四邊形為平行四邊形，得出PQ=CD，PD=CQ，用t表示出PD、CQ即可列出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，AP=t，則，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴PQ=CD，PD=CQ，∴，解得：，即t=4s時，，且PQ=CD．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解一元一次方程，根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程，是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為t秒，四邊形APQC的面積為Smm2，請寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并標(biāo)注t的取值范圍___________________；【答案】【分析】先表示PA，BQ的長，進而得到BP的長度，利用來求出四邊形APQC的面積和范圍．【詳解】解：由題意得：，，∴，∴，∴.其中：，∴．【點睛】本題考查求二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確表示出BP，BQ是求解本題的關(guān)鍵．13．如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，點P為線段AC上的一個動點．過點P分別作PM⊥AD于點M，作PN⊥DC于點N．連接PB，在點P運動過程中，PM+PN+PB的最小值等于_____．【答案】7.8【分析】證四邊形ABCD是菱形，得CD=AD=5，連接PD，由三角形面積關(guān)系求出PM+PN=4.8，得當(dāng)PB最短時，PM+PN+PB有最小值，則當(dāng)BP⊥AC時，PB最短，即可得出答案．【詳解】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD于點O，∴平行四邊形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，連接PD，如圖所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD?PM+DC?PN＝AC?OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴當(dāng)PB最短時，PM+PN+PB有最小值，由垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時，PB最短，∴當(dāng)點P與點O重合時，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案為：7.8．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最小值問題以及三角形面積等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，AE＝__________．【答案】或1【分析】分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)∠CED=90°時，如圖1，過E作EF⊥CD于F，∵，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴，∴當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，∵∠A=∠B=∠CED=90°，∴∠BCE=∠DCE，∴AE=EF，EF=BE，∴AE=BE=AB=，②當(dāng)∠CDE=90°時，如圖2，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∵，CE和BC相交，∴AD與CE不平行，∴，∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，∴∠BCE=∠DCE=∠ADE=30°，∵∠A=∠B=90°，∴BE=ED=2AE，∵AB=3，∴AE=1，綜上，AE的值為或1．故答案為：或1．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，當(dāng)兩個直角三角形相似時，要分情況進行討論；正確畫圖是關(guān)鍵，注意不要丟解．三、解答題15．如圖，在中，點是邊上的一個動點（點不與、兩點重合），過點作直線，直線與的平分線相交于點，與（的外角）的平分線相交于點．(1)與相等嗎？為什么？(2)探究：當(dāng)點運動到何處時，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論．(3)在（2）中當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，四邊形為正方形（不要求說理由）【答案】(1)相等，理由見詳解(2)是中點時，四邊形是矩形，理由見詳解(3)時，四邊形為正方形，理由見詳解【分析】（1）由平分，平分，可得，，再根據(jù)，可得，，即有，，則有，，問題得解；（2）證明，且、互相平分，即可判斷四邊形是矩形，據(jù)此作答即可；（3）根據(jù)對角線相互垂直的矩形是正方形作答即可．（1），理由如下：∵根據(jù)題意，有平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴；（2）是中點時，四邊形是矩形，理由如下：在（1）已證明，∵是中點，∴，∴，∴，且、互相平分，∴四邊形是矩形；（3）當(dāng)時，四邊形為正方形，理由如下：在（2）中已證明四邊形是矩形，∵，∴，∵，∴，∴，∴矩形是正方形．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，矩形的判定，正方形的判定等知識，掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，，則四邊形為“等鄰角四邊形”．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．(2)深入探究：①已知四邊形為“等鄰角四邊形”，且，則________．②如圖②，在五邊形中，，對角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點P為邊BC上的一動點，過點P作，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，的值是否會發(fā)生變化？請說明理由．【答案】(1)②④(2)①或或；②見解析(3)不會發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質(zhì)即可解答；（2）①分當(dāng)和、時三種情況求解；②由得，根據(jù)對角線平分，得，故，即證得四邊形為等鄰角四邊形；（3）過C作于H，過P作于G，由，，得四邊形是矩形，得，可證明，得，即有，從而說明在點P的運動過程中，的值總等于C到的距離，不會變化．（1）解：①平行四邊形的鄰角互補，不是等鄰角四邊形；②矩形四個角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；③菱形的鄰角互補，不是等鄰角四邊形；④等腰梯形的兩個底角相等，是等鄰角四邊形．綜上，②④是等鄰角四邊形．故答案為：②④；（2）解：①當(dāng)時，四邊形為“等鄰角四邊形”，∵，∴；當(dāng)時，四邊形為“等鄰角四邊形”，當(dāng)時，四邊形為“等鄰角四邊形”，；故答案為：或或；②∵，∴，∵對角線平分，∴，∴，∴四邊形為等鄰角四邊形；（3）解：在點P的運動過程中，的值不會發(fā)生變化，理由如下：過C作于H，過P作于G，如圖：∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，即，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∴，即在點P的運動過程中，的值總等于C到AB的距離，是定值．【點睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．17．如圖，點E是矩形的邊的中點，點G是邊上一動點，連接，若點H為的中點，連接，連接并延長交邊于點F，過點A作，垂足為點M，交于點P．(1)求證：；(2)連接，若，請判斷四邊形是什么特殊四邊形，并證明．【答案】(1)見解析(2)四邊形是菱形，證明見解析【分析】（1）由四邊形是矩形，得，又是矩形對邊的中點，即得四邊形是矩形，，可得；（2）設(shè)交于M，由，得，結(jié)合，即得，所以，可證，得，，故四邊形為菱形．（1）∵四邊形是矩形，∴，∵是矩形對邊的中點，∴，∴四邊形是矩形，∴，又E是中點，∴H是的中點，∵，∴；（2）四邊形是菱形，證明：由（1）知為中點，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為菱形．【點睛】本題考查矩形性質(zhì)、菱形的判定，全等三角形性質(zhì)及判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握矩形、菱形的性質(zhì)及判定定理，熟練應(yīng)用三角形全等的判定定理．18．如圖，在四邊形中，，，，．點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線方向運動，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿線段方向向點運動．已知動點，同時發(fā)，當(dāng)點運動到點時，，運動停止，設(shè)運動時間為．(1)直接寫出的長（cm）；(2)當(dāng)四邊形為平行四邊形時，直接寫出四邊形的周長（cm）；(3)在點、點的運動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積為？若存在，請求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)16(2)(3)存在，滿足條件的的值為秒或秒【分析】（1）過點作于，根據(jù)題意證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理可得結(jié)果；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形，則點在上，點在上，則，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，求解得出平行四邊形的各邊長，求其周長即可；（3）分兩種情況進行討論：①當(dāng)點在線段上時；②當(dāng)點在線段上時；根據(jù)三角形面積列方程計算即可．（1）解：如圖，過點作于，，，∴，∵，四邊形是平行四邊形，，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形，則點在上，點在上，如圖，由運動知，，，，，此時，，，根據(jù)勾股定理得，；四邊形的周長為；（3）①當(dāng)點在線段上時，即：時，如圖，，；②當(dāng)點在線段上時，即：時，如圖，，，，或（舍），即：滿足條件的的值為秒或秒．【點睛】本題考查了四邊形的動點問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，根據(jù)相應(yīng)圖形的性質(zhì)列出方程是解本題的關(guān)鍵．19．問題情境：四邊形中，點O是對角線的中點，點E是直線上的一個動點（點E與點C、O、A都不重合）過點，分別作直線的垂線，垂足分別為，，連接(1)初步探究：已知四邊形是正方形，且點E在線段上，求證；(2)在（1）的條件下，探究圖中與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，，，，則，利用證明，即可得到答案；（2）由（1）知，，然后得到，由，得到，即可得證．（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）；理由如下：如圖1，連接OB，由（1）知，，，∵點是的中點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等腰直角三角形，，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．20．如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為．(1)用含x的式子表示（請寫化簡之后的結(jié)果）；____________，____________，___________，=____________(2)四邊形的面積能否等于172？若能，求出運動的時間;若不能，說明理由．【答案】(1)、，，(2)當(dāng)，四邊形的面積等于172．【分析】（1）根據(jù)題意用x表示出、、、即可；（2）由=172可得關(guān)于t的一元二次方程，然后解一元二次方程即可求得運動時間t．（1）解：根據(jù)題意得：cm，cm，所以cm，∵，∵∴．故答案為：、，，．（2）解：∵四邊形的面積能等于172∴，即，解得或（舍去）∴當(dāng)，四邊形的面積等于172．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的動點問題、四邊形的面積，二次函數(shù)的與一元二方程的關(guān)系等知識點，出與t的函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．21．（1）如圖1，在四邊形中，，點E是邊上一點，，，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點C是x軸上的動點，線段繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段，連接、，①求B點的運動軌跡解析式②的最小值是．【答案】（1）見詳解（2）①；②【分析】（1）根據(jù)已知條件證得，即可證得為等腰直角三角形；（2）①根據(jù)（1）可知，設(shè)B點坐標(biāo)為，C點坐標(biāo)為，可得，，即點B的運動軌跡解析式為：；②作點O關(guān)于直線的對稱點，連接，交直線與點，此時A、、三點共線時，值最小，求得坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理即可求得最小值．【詳解】（1）為等腰直角三角形，理由如下，在與中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形；（2）①作軸于點D，如圖所示，由（1）得，，∴，，設(shè)B點坐標(biāo)為，C點坐標(biāo)為，∴，，∴，∴點B的運動軌跡解析式為：；②如圖所示，作點O關(guān)于直線y=x-1的對稱點，連接，交直線與點，此時，,即A、、三點共線時，值最小，∵直線垂直平分，∴，∴坐標(biāo)為，∴，即：的最小值為．【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)與全等三角形的綜合，主要是數(shù)量掌握“一線三垂直”模型以及“將軍飲馬”模型．22．如圖，在四邊形中，，，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點，分別從點，同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為秒.(1)當(dāng)為何值時，四邊形為矩形？(2)當(dāng)為何值時，四邊形為平行四邊形？【答案】(1)當(dāng)時，四邊形是矩形(2)當(dāng)時，四邊形是平行四邊形【分析】（1）四邊形為矩形，即，列出等式，求解即可；（2）四邊形為平行四邊形，即，列出等式求解；（1）解：設(shè)運動時間為秒，，，，，如圖1，，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，即，解得：，時，四邊形是矩形；（2）解：如圖2，，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．此時有，解得．當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．【點睛】此題主要考查了矩形、平行四邊形的判定與性質(zhì)應(yīng)用，要求學(xué)生掌握對各種圖形的認識，同時學(xué)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題思想．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上，，，兩動點P、Q分別從O、B兩點同時出發(fā)，點P以每秒個單位長度的速度沿線段OC向點C運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿著線段BO向點O運動，當(dāng)點P運動到點C時，P、Q同時停止，設(shè)這兩個點運動時間為t（s），(1)直接寫出點A、B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時，求t的值；(3)在運動過程中，是否存在P、Q兩點，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)，或，(3)或或【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和已知條件求出、即可得出、的坐標(biāo)；（2）作于，則，證出，得出對應(yīng)邊成比例，得出，由的面積，求出的值，再求出，即可得出的坐標(biāo)；（3）分三種情況：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③時；分別得出的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，；（2）作于，如圖1所示：則，，，即，，的面積，解得：或，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；點的坐標(biāo)為，，或，；（3）存在；分三種情況：如圖2所示：①當(dāng)時，，，由（2）得：，，，，解得：，或；②當(dāng)時，，，解得：（負值舍去），；③時，，，解得：．綜上所述：的值為或或．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算、三角函數(shù)以及坐標(biāo)與圖形特征；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要通過分類討論列出方程，解方程才能得出結(jié)果．24．從多邊形的一個頂點引出兩條射線形成一個角，這個角的兩邊與多邊形的兩邊相交，該多邊形在這個角的內(nèi)部的部分與角的兩邊圍成的圖形稱為該角對這個圖形的“投射圖形”【特例感知】（1）如圖，與正方形的邊、分別交于點E、點F，此時對正方形的“投射圖形”就是四邊形；若此時是一個定值，則四邊形的面積____（填“會”或“不會”）發(fā)生變化．【遷移嘗試】（2）如圖，菱形中，，，E、F分別是邊、上的動點，若對菱形的“投射圖形”四邊形的面積為，求的值．【深入感悟】（3）如圖，矩形中，，，的兩邊分別與、交于點E、點F，若，，求對矩形的“投射圖形”四邊形的面積．【綜合運用】（4）如圖，某建筑工地有一塊由圍擋封閉起來的四邊形空地，其中，，，m，m，現(xiàn)打算在空地上建一塊四邊形堆場用于堆放建筑垃圾，需要拆除圍擋和，若m，求這個四邊形堆場面積的最大值．【答案】（1）不會（2）（3）（4）【分析】（1）連接得到四邊形面積，通過即可得到答案；（2）過A點作，分別交、延長線于點、，連接；根據(jù)菱形和含角直角三角形的性質(zhì)計算，即可得到答案；（3）在上取點滿足，連接，過點作交延長線于點；根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)計算得；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，通過證明，推導(dǎo)得，；再結(jié)合勾股定理性質(zhì)計算即可完成求解；（4）延長、交于點，含角直角三角形的性質(zhì)推導(dǎo)得，設(shè)，結(jié)合一次函數(shù)的性