專題01銳角三角形函數(shù)和特殊角的三角函數(shù)值(原卷版+解析)(重點突圍)

專題01銳角三角形函數(shù)和特殊角的三角函數(shù)值考點一正弦、余弦、正切的概念辨析考點二求角的正弦值、余弦值、正切值考點三已知正弦值、余弦值、正切值求邊長考點四求特殊角的三角函數(shù)值考點一正弦、余弦、正切的概念辨析例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在中，，下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022·浙江·金華市南苑中學九年級階段練習）已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·九年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．考點二求角的正弦值、余弦值、正切值例題：（2022·江蘇·靖江市濱江學校九年級階段練習）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點A、B、C為網(wǎng)格交點，AD⊥BC，垂足為D，則sin∠BAD的值為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．2 D．2．（2022·山東濰坊·九年級階段練習）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、O都在這些小正方形的頂點上，那么的值為_____．3．（2022·北京市三帆中學模擬預測）如圖，菱形中，、相交于點，過點作，且，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，當，，求的值．考點三已知正弦值、余弦值、正切值求邊長例題：（2022·江蘇·無錫市錢橋中學九年級階段練習）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，則BC的長為（

）A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【變式訓練】1．（2021·浙江·寧波市興寧中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，，則BC＝___．2．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學校模擬預測）已知中，，，，則的長為___________．3．（2022·安徽宿州·一模）如圖，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的長．考點四求特殊角的三角函數(shù)值例題：（2022·山東·濟南陽光100中學九年級階段練習）計算：(1)(2)．【變式訓練】1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學研究室模擬預測）計算：．2．（2022·湖北·大悟縣實驗中學九年級階段練習）計算：3．（2022·湖南·李達中學九年級階段練習）計算：一、選擇題1．（2022·山東·乳山市乳山寨鎮(zhèn)中心學校九年級階段練習）在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（

）A． B． C．1 D．2．（2022·黑龍江大慶·九年級階段練習）在中，、、，則的值是（）A． B． C． D．3．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在中，．下列四個選項，正確的是（

）A． B． C． D．4．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)北大培文學校九年級階段練習）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E為AD邊上一點，沿CE將△CDE對折，使點D正好落在AB邊上，tan∠AFE等于（）A． B． C． D．5．（2021·河北·唐山市第九中學九年級階段練習）如圖所示，邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠AED的正切值等于（

）A． B． C．2 D．二、填空題6．（2022·浙江·九年級專題練習）計算：sin30°＝____．7．（2022·江蘇淮安·九年級階段練習）已知Rt△ABC中，∠C=90°，，則tanA=_____．8．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校九年級階段練習）如圖，正方形中，點是邊的中點，，則______．9．（2021·河南·油田十中九年級階段練習）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則的正切值是______．

10．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）圖，已知在中，，，，點P是斜邊上一點，過點P作交AC于點M，過點P作的平行線，與過點M作的平行線交于點Q．如果點Q恰好在的平分線上，那么的長為________．三、解答題11．（2022·吉林·長春市第五十二中學九年級階段練習）計算：．12．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)公明中學九年級階段練習）計算：sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（）﹣1．13．（2022·廣東北江實驗學校三模）計算：．14．（2021·陜西·渭南初級中學九年級期中）如圖，在中，，E為上一點，交于D，若，求的值．15．（2022·河北·邢臺市第六中學九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD上BC于點D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：(1)CD的長(2)cosB的值16．（2023·廣東·惠州市惠陽區(qū)朝暉學校九年級開學考試）如圖，在平行四邊形中，于點，于點，平行四邊形的周長為28，面積為40，．求：(1)的長；(2)的值．17．（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點A作AEBD，交CB的延長線于點E．(1)求證：AE=AC；(2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面積．18．（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點K，H是AF的中點，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．19．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級中學校九年級階段練習）如圖在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為點E且點E在AD上，BE交PC于點F.(1)求證：△ABE∽△DEC(2)當AD=25時，且AE＜DE時，求的值(3)當BP=9時，求BE·EF的值.20．（2022·福建省福州第一中學九年級階段練習）如圖1，在矩形ABCD中，，，點E在射線BC上，連接AE并延長，交射線DC于點F．將沿直線AE翻折，點B的對應點為點，延長交直線CD于點M．(1)求證：；(2)如圖2，若點恰好落在對角線AC上，求的值；(3)當時，求線段AM的長．專題01銳角三角形函數(shù)和特殊角的三角函數(shù)值考點一正弦、余弦、正切的概念辨析考點二求角的正弦值、余弦值、正切值考點三已知正弦值、余弦值、正切值求邊長考點四求特殊角的三角函數(shù)值考點一正弦、余弦、正切的概念辨析例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在中，，下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，則．故選：C．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·浙江·金華市南苑中學九年級階段練習）已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定義解答，正弦定義是在中，，∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦．【詳解】解：∵中，，，，∴,故選A．【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)中的正弦，解決問題的關鍵是熟練掌握正弦的定義．2．（2022·上海·九年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴cosB=，故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合題意；C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=，∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠，故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關與角度位置無關是解題的關鍵．考點二求角的正弦值、余弦值、正切值例題：（2022·江蘇·靖江市濱江學校九年級階段練習）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點A、B、C為網(wǎng)格交點，AD⊥BC，垂足為D，則sin∠BAD的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AC后，利用勾股定理求出所需的線段長度即可．【詳解】解：如圖，連接AC在Rt△BEC中，BC=∵AD⊥BC，∴×BC×AD=8，即，解得，在Rt△ADB中，，故選：D．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)值的求解，能夠構造直角三角形并用勾股定理求出線段長度是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．2 D．【答案】A【分析】過C作CM∥AB，過D作DN⊥MC于N，從而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【詳解】：連接CM，DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值為：3，故選：A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)與勾股定理的綜合應用，熟練掌握平行線的性質(zhì)、勾股定理的應用、正切函數(shù)的概念是解題關鍵．2．（2022·山東濰坊·九年級階段練習）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、O都在這些小正方形的頂點上，那么的值為_____．【答案】【分析】連接，根據(jù)格點特點得出，，，即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖所示：根據(jù)方格紙的特點可知，，，∴，∴，∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了求銳角三角函數(shù)值，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結合的思想解答．3．（2022·北京市三帆中學模擬預測）如圖，菱形中，、相交于點，過點作，且，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，當，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證，再證四邊形是平行四邊形，然后由即可得出結論；（2）由銳角三角函數(shù)定義得，則，再由勾股定理得，然后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結論．（1）證明：四邊形是菱形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是矩形；（2）解：如圖，四邊形是菱形，，，，在中，，，，，，由（1）可知，四邊形是矩形，，，．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．考點三已知正弦值、余弦值、正切值求邊長例題：（2022·江蘇·無錫市錢橋中學九年級階段練習）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，則BC的長為（

）A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)三角函數(shù)的知識進行解答即可．【詳解】解：如圖∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟知正弦的定義：對邊比斜邊，是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·浙江·寧波市興寧中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，，則BC＝___．【答案】5【分析】根據(jù)，可設BC=5x，則AB=13x，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵，，∠C＝90°，∴，設BC=5x，則AB=13x，∵，∴，解得：x=1或-1（舍去），∴BC=5．故答案為：5【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學校模擬預測）已知中，，，，則的長為___________．【答案】【分析】由銳角三角函數(shù)定義可知，在直角三角形中，正切是該角的對邊與鄰邊的比．利用正切函數(shù)得出兩直角邊的關系，再由勾股定理即可求出另一直角邊的長．【詳解】解：在中，，，∴，∵，根據(jù)勾股定理：，（負值舍去）．故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)和勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的計算是解答本題的關鍵．3．（2022·安徽宿州·一模）如圖，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的長．【答案】【分析】首先根據(jù)求出AC，再根據(jù)勾股定理求出答案即可．【詳解】∵∠B＝90°，∴．∵AB＝10，∴AC＝14，∴．∴BC的長為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，根據(jù)余弦值求出AC是解題的關鍵．考點四求特殊角的三角函數(shù)值例題：（2022·山東·濟南陽光100中學九年級階段練習）計算：(1)(2)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）首先計算特殊角的三角函數(shù)值，然后計算乘方，再計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．（2）首先計算絕對值、零指數(shù)冪、二次根式和特殊角的三角函數(shù)值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【變式訓練】1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學研究室模擬預測）計算：．【答案】9【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的法則，絕對值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，0指數(shù)冪的法則進行計算便可．【詳解】解：原式【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，關鍵是熟記負整數(shù)指數(shù)冪的法則，絕對值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，0指數(shù)冪的法則．2．（2022·湖北·大悟縣實驗中學九年級階段練習）計算：【答案】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪法則，特殊角三角函數(shù)值以及絕對值的代數(shù)意義計算即可得解．【詳解】解：．【點睛】本題考查實數(shù)的運算及特殊三角函數(shù)值，熟練掌握各自的運算法則是解題的關鍵．3．（2022·湖南·李達中學九年級階段練習）計算：【答案】【分析】先化簡各個項，再計算即可．【詳解】解：原式=．【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是根據(jù)乘方、絕對值、特殊三角函數(shù)值、零指數(shù)冪先進行化簡．一、選擇題1．（2022·山東·乳山市乳山寨鎮(zhèn)中心學校九年級階段練習）在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可．【詳解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，∴∠C=180°-105°-45°=30°，∴故選：A【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和公式，正弦定理，解決本題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．2．（2022·黑龍江大慶·九年級階段練習）在中，、、，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由勾股定理求出，再由正切的定義完成求解．【詳解】解：由勾股定理知：，，故答案選：A．【點睛】本題考查勾股定理和正切的定義，準確求解是解題的關鍵．3．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在中，．下列四個選項，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理得：BC===3，=，=，=，=，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，要注意．4．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)北大培文學校九年級階段練習）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E為AD邊上一點，沿CE將△CDE對折，使點D正好落在AB邊上，tan∠AFE等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的長．根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得tan∠BCF的值，依據(jù)∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，∴∠BCF+∠BFC＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，∴∠AFE+∠BFC＝90°，∴∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理得：BF＝＝＝6，則tan∠BCF＝＝，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，求三角函數(shù)值，勾股定理，余角的性質(zhì)，根據(jù)折疊和勾股定理求出，是解題的關鍵．5．（2021·河北·唐山市第九中學九年級階段練習）如圖所示，邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠AED的正切值等于（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先根據(jù)圓周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．【詳解】解：由圓周角定理得：，∴tan∠AED=tan∠ABD=．故選：D．【點睛】本題主要考查了正切三角函數(shù)、圓周角定理等知識點，利用圓周角定理得出是解答本題的關鍵．二、填空題6．（2022·浙江·九年級專題練習）計算：sin30°＝____．【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值化簡即可．【詳解】解：sin30°＝．故答案為：．【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記各值是解答此題的關鍵．7．（2022·江蘇淮安·九年級階段練習）已知Rt△ABC中，∠C=90°，，則tanA=_____．【答案】【分析】通過勾股定理先求出鄰邊的長，再求出tanA即可．【詳解】解：∵，在直角三角形ABC中，∠C=90°，設CB=a，則AB=4a，在直角三角形ABC中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查利用三角函數(shù)解直角三角形，能夠通過三角函數(shù)值求出三邊長是解題關鍵．8．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校九年級階段練習）如圖，正方形中，點是邊的中點，，則______．【答案】【分析】依題意設AE=x，

則BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先證明△CEM是直角三角形，再利用三角函數(shù)的定義求解．【詳解】設AE=x，

則BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，

∴，，，∴，∴△CEM是直角三角形，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，根據(jù)題意，確定△CEM是直角三角形以及熟練掌握正弦等于對邊比斜邊是解題的關鍵．9．（2021·河南·油田十中九年級階段練習）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則的正切值是______．

【答案】1【分析】連接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的長，判斷△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．【詳解】解：連接AB，由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，∴AB＝AO，，∴△ABO是以OB為斜邊的等腰直角三角形，∴，故答案為：1．【點睛】此題考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．10．（2022·上海·九年級專題練習）圖，已知在中，，，，點P是斜邊上一點，過點P作交AC于點M，過點P作的平行線，與過點M作的平行線交于點Q．如果點Q恰好在的平分線上，那么的長為________．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關系可求出，，再根據(jù)相似三角形，用含有的代數(shù)式表示，再根據(jù)角平分線的定義以及等腰三角形的判定得出，進而列方程求出即可．【詳解】解：在中，，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴＝＝，設，則，，∴，∵，∴＝＝，∴，，∵平分，，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形的邊角關系，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形的邊角關系以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提，用含有的代數(shù)式表示、、是正確解答的關鍵．三、解答題11．（2022·吉林·長春市第五十二中學九年級階段練習）計算：．【答案】1【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，進而計算得出答案．【詳解】解：原式＝3﹣2×﹣1＝3﹣1﹣1＝1．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．12．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)公明中學九年級階段練習）計算：sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（）﹣1．【答案】1【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，絕對值，冪的運算，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的運算將各項化簡，然后計算求解．【詳解】原式＝＝1﹣3+1+2＝1．【點睛】此題考查實數(shù)的運算，熟練掌握實數(shù)的相關各種運算法則是解題的關鍵．13．（2022·廣東北江實驗學校三模）計算：．【答案】【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質(zhì)化簡各數(shù)，然后即可求解．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．14．（2021·陜西·渭南初級中學九年級期中）如圖，在中，，E為上一點，交于D，若，求的值．【答案】【分析】首先證明，得，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2022·河北·邢臺市第六中學九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD上BC于點D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：(1)CD的長(2)cosB的值【答案】(1)4(2)【分析】（1）直接在Rt△ADC中根據(jù)正切的定義求解即可；（2）先求出BD的長，再利用勾股定理求出AB的長，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵在Rt△ADC中，，∴；（2）解：由（1）得CD=4，∴BD=BC-CD=8，在Rt△ABD中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，正確求出CD的長是解題的關鍵．16．（2023·廣東·惠州市惠陽區(qū)朝暉學校九年級開學考試）如圖，在平行四邊形中，于點，于點，平行四邊形的周長為28，面積為40，．求：(1)的長；(2)的值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由，求出，，再根據(jù)平行四邊形面積公式求解即可；（2）先證明，在中，，則．（1）解：∵平行四邊形中，，，平行四邊形的周長為28，∴，又∵，∴，，∵，∴；（2）解：∵在四邊形中，，，，∴，又∵在平行四邊形中，，∴，在中，，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，求角的正弦值，四邊形內(nèi)角和定理等等，熟知平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．17．（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點A作AEBD，交CB的延長線于點E．(1)求證：AE=AC；(2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)矩形ABCD的面積為48【分析】（1）由矩形的性質(zhì)，可得AC=BD，ADBC，故可證四邊形AEBD是平行四邊形，從而得出AC=AE的結論；（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB的長，然后利用銳角三角函數(shù)求得AE的長，從而利用勾股定理求得AB的長,最后求得面積即可．（1）證明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBC，又∵，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∴BD=AE，∴AC=AE；（2）解：在矩形ABCD中，∴AB⊥EC，∵AE=AC，∴EB=BC，∵CE=12，∴EB=6，∵，∴AE=10，由勾股定理得：．∴矩形ABCD的面積為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識．解此題的關鍵是能靈活運用矩形的性質(zhì)，以及能利用銳角三角函數(shù)求線段．18．（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點K，H是AF的中點，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，證出，得出比例式求出，即可得出結果；（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出AF，即可得出結果．（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，∴DG=CG-CD=2，，∴，∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴，∴；（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF-AB=31=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點，∴，在Rt△AMF中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結果．19．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級中學校九年級階段練習）如圖在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為點E且點E在AD上，BE交PC于點F.(1)求證：△ABE∽△DEC(2)當AD=25時，且AE＜DE時，求的值(3)當BP=9時，求BE·EF的值.【答案】(1)見詳解(2)(3)108【分析】（1）由BE⊥CG，得∠BEG=∠BEC=90°，∠AEB+∠DEC=90°，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，有∠D=∠BAE=90°，進而可得∠AEB=∠DCE，問題即可得證；（2）利用折疊的性質(zhì)，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，進而判斷出∠GPF=∠PFB，即有BP=BF；證明△ABE∽△DE