易錯點(diǎn)03函數(shù)(原卷版+解析)

易錯點(diǎn)03函數(shù)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一次函數(shù)的應(yīng)用反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與性質(zhì)二次函數(shù)的應(yīng)用易錯分析易錯分析01各個待定系數(shù)表示的意義。充分掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的概念。對于較復(fù)雜問題容易忽略數(shù)形結(jié)合思想。（2022九下·沭陽模擬）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，且當(dāng)－3≤x≤1時，1≤y≤9，則k＋b的值為【答案】9【規(guī)范解答】本題答案不全面，此題分兩種情況考慮：①當(dāng)x=-3時，y=1；當(dāng)x=1時，y=9，代入y=kx+b中求出k、b的值，進(jìn)而可得k+b的值；②當(dāng)x=-3時，y=9，當(dāng)x=1時，y=1，同理可得k+b的值.【規(guī)范解答】解：①當(dāng)x=-3時，y=1；當(dāng)x=1時，y=9；則1=?3k+b9=k+b解得k=2b=7；②當(dāng)x=-3時，y=9，當(dāng)x=1時，y=1；則9=?3k+b1=k+b解得，；故答案為：9或1.【變式訓(xùn)練01】（2022·宿遷）甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個特征，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，2)”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數(shù)，其表達(dá)式是.【變式訓(xùn)練02】（2021九上·豐縣期中）下表給出一個二次函數(shù)的一些取值情況：x?01234?y?300n?（1）n=，二次函數(shù)表達(dá)式為；（2）請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖像說明：當(dāng)x取何值時，y的值為非負(fù)數(shù)？【變式訓(xùn)練03】（2022九上·通州月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及m的值；（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出此函數(shù)的示意圖；（3）結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)y＞0時x的取值范圍．易錯分析易錯分析02各種函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系應(yīng)用。注意解析式中字母表示的幾何意義，特別是二次函數(shù)的解析式，其表示的方式多樣化，容易記憶混淆。涉及的公式比較多，一定要理解推導(dǎo)記憶6．（2022九上·通州月考）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解為．【答案】【解析】本題答案不全面，利用二次函數(shù)的解析式可得到拋物線的對稱軸為直線x=1，觀察圖象可知拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），利用二次函數(shù)的對稱性，可得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)；然后就二次函數(shù)y=-x2+2x+m與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個根，即可求解.【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，0），對稱軸為，由拋物線的對稱性可知：二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為：拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的根，即：；故答案為：．【變式訓(xùn)練01】（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝2【變式訓(xùn)練02】（2022九上·通州月考）設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝x2﹣2x+c上的三點(diǎn)，y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【變式訓(xùn)練03】（2022九上·興化開學(xué)考）已知反比例函數(shù)y，下列說法不正確的是（）A．圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣4） B．圖像分別在二、四象限C．當(dāng)y≤1時，x≤﹣8 D．在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大易錯分析易錯分析03利用圖像求不等式的解集和方程（組）的解，利用圖像性質(zhì)確定增減性。此類題目對學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想掌握利用要求比較高，注意細(xì)心審題，找準(zhǔn)問題問的是什么。也很容易對數(shù)軸直線的增減性與解析式中的字母結(jié)合理解出錯。（2022·徐州）若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，則關(guān)于kx＋b＞0的不等式的解集為．【答案】x＞2【思路點(diǎn)撥】本題答案有誤，忽略題目關(guān)鍵問題，求的是另外一個不等式的解集，而不是原解析式。根據(jù)圖象可知y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據(jù)不等式表示出x，進(jìn)而可得x的范圍.【規(guī)范解答】解：∵根據(jù)圖象可知y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)，且，∴，解得，，∴，即，解得x＞3.故答案為：x＞3.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖象可知y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據(jù)不等式表示出x，進(jìn)而可得x的范圍.【變式訓(xùn)練01】（2022·揚(yáng)州）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為.【變式訓(xùn)練02】（2021·阜寧模擬）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為.【變式訓(xùn)練03】（2021·濱海模擬）如圖，兩條直線l1和l2的關(guān)系式分別為y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍為.易錯分析易錯分析04利用函數(shù)模型解實(shí)際問題。注意區(qū)別方程、函數(shù)、不等式模型解決不等領(lǐng)域的問題。這類問題容易出現(xiàn)多個解，對審題能力，計算及概念掌握要求比較高。需要著重掌握零散的知識點(diǎn)（2022·沭陽模擬）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，當(dāng)時，x的取值范圍是.【答案】【思路點(diǎn)撥】答案不全面，沒有考慮到圖像的完整性。由圖象可知：拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則其與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），然后根據(jù)圖象，找出二次函數(shù)圖象在x軸上方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.【規(guī)范解答】解：由圖象可知，拋物線的對稱軸為，∵與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，則其與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合圖象得：當(dāng)時，.故答案為：.【變式訓(xùn)練01】（2022·泰州）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B(3，1).（1）求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)隨x的增大而增大且時，直接寫出x的取值范圍；（3）平行于x軸的直線l與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).【變式訓(xùn)練02】（2022·泗洪模擬）如圖，二次函數(shù)y1＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，2），圖象的對稱軸交x軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、C.（1）求二次函數(shù)的解析式y(tǒng)1和一次函數(shù)的解析式y(tǒng)2；（2）點(diǎn)P在x軸下方的二次函數(shù)圖象上，且S△ACP＝33，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）結(jié)合圖象，求當(dāng)x取什么范圍的值時，有y1≤y2.易錯分析易錯分析05反比例函數(shù)K值得特殊意義及應(yīng)用。對相關(guān)公式加深理解記憶，這類問題在考察作輔助線以及反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用上有一定要求（2022九下·沭陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx與y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤。忽略了輔助線的解題技巧。連接OC，設(shè)AC⊥y軸交y軸為點(diǎn)D，由反比例函數(shù)的對稱性得OA=OB，根據(jù)等底同高三角形面積相等得S△AOC=S△COB，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得S△AOD=1，S△COD=2，則S△AOC=3，據(jù)此計算.【規(guī)范解答】解：連接OC，設(shè)AC⊥y軸交y軸為點(diǎn)D，如圖，∵反比例函數(shù)y=-為對稱圖形，∴O為AB的中點(diǎn)，∴S△AOC=S△COB，∵由題意得A點(diǎn)在y=-上，B點(diǎn)在y=上，∴S△AOD==1，S△COD=2；S△AOC=S△AOD+S△COD=3，∴S△ABC=S△AOC+S△COB=6.故答案為：C.【變式訓(xùn)練01】（2022·錫山模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，折痕為MN，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在第四象限，過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好過MN的中點(diǎn)，則k的值為，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.【變式訓(xùn)練02】（2021·江都模擬）如圖，平行四邊形ABCO的邊AB的中點(diǎn)F在y軸上，對角線AC與y軸交于點(diǎn)E，若反比例函數(shù)（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過AF的中點(diǎn)D，且△AEO的面積為6，則k的值為.【變式訓(xùn)練03】（2021·大豐模擬）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，且軸，，垂足為點(diǎn)，交軸于點(diǎn).則的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6易錯分析易錯分析06與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)一定要會求。面積最大值的求解方法，距離之和的最小值的求解方法，距離之差最大值的求解方法。此類問題需要掌握一定的解題技巧，特別是輔助線的作法上，掌握必要的輔助線作法模型很重要，對解題速度，正確率都有很大的幫助。（2022·南通模擬）若拋物線的圖像與軸有交點(diǎn)，那么的取值范圍是．【答案】m＜1【思路點(diǎn)撥】答案有誤，沒有考慮到多種情況。令y=0，根據(jù)拋物線的圖象與x軸有交點(diǎn)可得△≥0，代入求解可得m的范圍.【規(guī)范解答】解：拋物線的圖像與軸有交點(diǎn)，令，有，即該方程有實(shí)數(shù)根，，．故答案是：m≤1．【變式訓(xùn)練01】（2022九上·鹽城期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則三個代數(shù)式①abc，②，③中，值為正數(shù)的有.（填序號）【變式訓(xùn)練02】（2021九上·浦口月考）已知二次函數(shù)y＝（x－m）2－1（m為常數(shù)）.（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；（2）請根據(jù)m的不同取值，探索該函數(shù)圖象過哪些象限?（直接寫出答案）（3）當(dāng)1≤x≤3時，y的最小值為3，求m的值.【變式訓(xùn)練03】（2021九上·淮陰月考）如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)E為第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE.（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求四邊形BOCE面積的最大值.易錯分析易錯分析07數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，還應(yīng)注意結(jié)合圖像性質(zhì)解題。函數(shù)圖象與圖形結(jié)合學(xué)會從復(fù)雜圖形分解為簡單圖形的方法，圖形為圖像提供數(shù)據(jù)或者圖像為圖形提供數(shù)據(jù)。（2016·丹陽模擬）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【思路點(diǎn)撥】答案有誤。根據(jù)二次函數(shù)圖象與x交點(diǎn)的個數(shù)來判定b2﹣4ac的符號；將x=﹣1時，y＜0來推知a﹣b+c的符號；根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的位置以及對稱軸的位置來判定abc的符號；根據(jù)圖象的對稱軸來判斷b=2a的正誤．【規(guī)范解答】解：①根據(jù)二次函數(shù)的圖象知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，所以b2﹣4ac＞0；故本選項(xiàng)錯誤；②根據(jù)圖示知，當(dāng)x=﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本選項(xiàng)正確；③∵拋物線的開口向下，∴a＜0；又∵該拋物線與y交于正半軸，∴c＞0，而對稱軸x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∴abc＞0；故本選項(xiàng)正確；④由③知，b=2a；故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的選項(xiàng)有3個．故選C．【變式訓(xùn)練01】（2022·連云港）已知二次函數(shù)，其中.（1）當(dāng)該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求此時函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動，平移后所得函數(shù)的圖象與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值.【變式訓(xùn)練02】（2022·泗陽模擬）如圖1，已知矩形的邊長，.某一時刻，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動：同時點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，點(diǎn)N運(yùn)動到點(diǎn)A時停止運(yùn)動，運(yùn)動時間為t.（1）若是等腰直角三角形，則t=（直接寫出結(jié)果）.（2）是否存在時刻t，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由.（3）如圖2，連接，試求的最小值.【變式訓(xùn)練03】（2022九下·揚(yáng)州期中）已知：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一直線：y＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，拋物線在x軸上方部分上有一動點(diǎn)D，連結(jié)AC；（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)D在第一象限，求D到直線BC的最大距離；（3）是否存在D點(diǎn)某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，請直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.一、選擇題1．（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝22．（2022九上·通州月考）拋物線可以看作是由拋物線經(jīng)過以下哪種變換得到的（）A．向左平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位C．向左平移1個單位，再向下平移3個單位D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位3．（2022九上·吳江月考）如圖，已知點(diǎn)A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）4．（2022·南通）如圖，在中，對角線相交于點(diǎn)O，，若過點(diǎn)O且與邊分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B．C． D．5．（2022·南通）根據(jù)圖像，可得關(guān)于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·淮安）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向下平移5個單位長度得到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是.7．（2022九上·通州月考）拋物線開口方向是．8．（2022九上·洪澤月考）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），則反比例函數(shù)的關(guān)系式為．9．（2022九上·海陵月考）如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，D是線段上一點(diǎn)．若，連接，記，的面積分別為，，則的值為．10．（2022·鹽城）《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”如圖，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，以此類推，令，，，，若對任意大于1的整數(shù)恒成立，則的最小值為．三、解答題11．（2022·泗洪模擬）把二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，2），求原拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.12．（2021九上·南通月考）為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，方便居民出行，某施工隊(duì)要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，隧道最高點(diǎn)P離路面的距離為6米，寬度為12米，隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，并且中間有一條寬為1米的隔離帶.如果一貨運(yùn)汽車裝載某大型設(shè)備后高為4米，寬為3.5米，按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系這輛貨車能否安全通過？為什么？13．（2021九上·豐縣期中）如圖，拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)D.（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)E在線段上，連接且滿足，點(diǎn)G是拋物線頂點(diǎn)，連接、，請你把圖形補(bǔ)充完整，判斷四邊形的形狀，并說明理由.14．（2022九上·宿豫開學(xué)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有，，三點(diǎn)．（1）在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）圓心M的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．15．如圖，拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)O、點(diǎn)A（2，﹣4）、點(diǎn)B（3，﹣3），與x軸交于點(diǎn)C，直線AB交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線AF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，AF上取一點(diǎn)G，使△GBA∽△AOD，求此時點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）過直線AF左側(cè)的拋物線上點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)N，若∠BMN=∠OAF，求直線BM的函數(shù)表達(dá)式．易錯點(diǎn)03函數(shù)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一次函數(shù)的應(yīng)用反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與性質(zhì)二次函數(shù)的應(yīng)用易錯分析易錯分析01各個待定系數(shù)表示的意義。充分掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的概念。對于較復(fù)雜問題容易忽略數(shù)形結(jié)合思想。（2022九下·沭陽模擬）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，且當(dāng)－3≤x≤1時，1≤y≤9，則k＋b的值為【答案】9【規(guī)范解答】本題答案不全面，此題分兩種情況考慮：①當(dāng)x=-3時，y=1；當(dāng)x=1時，y=9，代入y=kx+b中求出k、b的值，進(jìn)而可得k+b的值；②當(dāng)x=-3時，y=9，當(dāng)x=1時，y=1，同理可得k+b的值.【規(guī)范解答】解：①當(dāng)x=-3時，y=1；當(dāng)x=1時，y=9；則1=?3k+b9=k+b解得k=2b=7；②當(dāng)x=-3時，y=9，當(dāng)x=1時，y=1；則9=?3k+b1=k+b解得，；故答案為：9或1.【變式訓(xùn)練01】（2022·宿遷）甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個特征，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，2)”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數(shù)，其表達(dá)式是.【答案】y=-2x+2（答案不唯一）【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；可設(shè)函數(shù)為：又滿足乙：“函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，2)”，則函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+2，故答案為：y=-2x+2（答案不唯一）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意可設(shè)y=-2x+b，將（0，2）代入求出b的值，進(jìn)而可得對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【變式訓(xùn)練02】（2021九上·豐縣期中）下表給出一個二次函數(shù)的一些取值情況：x?01234?y?300n?（1）n=，二次函數(shù)表達(dá)式為；（2）請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖像說明：當(dāng)x取何值時，y的值為非負(fù)數(shù)？【答案】（1）n=3；（2）解：如圖，根據(jù)表格信息描點(diǎn)，再用平滑的曲線連接即可.（3）解：當(dāng)時，則函數(shù)圖象在x軸的上方，∴或【規(guī)范解答】解：（1）由對稱性可得；或時的函數(shù)值相等，所以由二次函數(shù)過設(shè)把代入可得：解得：∴拋物線為：【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)對稱性可得：x=0或x=4時函數(shù)的值相等，據(jù)此可得n的值，設(shè)y=a(x-1)(x-3)，將（0，3）代入求出a的值，據(jù)此可得二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)描點(diǎn)、連線即可畫出函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)圖象，找出圖象在x軸上方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.【變式訓(xùn)練03】（2022九上·通州月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及m的值；（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出此函數(shù)的示意圖；（3）結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)y＞0時x的取值范圍．【答案】（1）解：把代入，得9m-6m-3=0，解得m=1，拋物線解析式為，當(dāng)y=0時，，解得，，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，列表如下：x…-2-10123…y…50-3-4-30…描點(diǎn)、連線，（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)y＞0時，x＜-1或x＞3，即x的取值范圍是x＜-1或x＞3．【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，可得到函數(shù)解析式；由y=0，可得到關(guān)于x的方程，解方程求出m的值，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）利用配方法將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；再列表，描點(diǎn)，連線，畫出函數(shù)圖象.

（3）觀察函數(shù)圖象（x軸上方的圖象），可得到當(dāng)y＞0時x的取值范圍.易錯分析易錯分析02各種函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系應(yīng)用。注意解析式中字母表示的幾何意義，特別是二次函數(shù)的解析式，其表示的方式多樣化，容易記憶混淆。涉及的公式比較多，一定要理解推導(dǎo)記憶6．（2022九上·通州月考）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解為．【答案】【解析】本題答案不全面，利用二次函數(shù)的解析式可得到拋物線的對稱軸為直線x=1，觀察圖象可知拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），利用二次函數(shù)的對稱性，可得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)；然后就二次函數(shù)y=-x2+2x+m與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個根，即可求解.【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，0），對稱軸為，由拋物線的對稱性可知：二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為：拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的根，即：；故答案為：．【變式訓(xùn)練01】（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝2【答案】B【規(guī)范解答】解：∵，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1，故答案為：B．

【思路點(diǎn)撥】利用拋物線y=a（x-h）2+k的對稱軸為直線x=h，由此可得到已知拋物線的對稱軸.【變式訓(xùn)練02】（2022九上·通州月考）設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝x2﹣2x+c上的三點(diǎn)，y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】B【規(guī)范解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，∴y1＞y3＞y2．故答案為：B．【思路點(diǎn)撥】利用二次函數(shù)解析式可知拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，再利用二次函數(shù)的增減性，可得到y(tǒng)1，y2，y3的大小關(guān)系.【變式訓(xùn)練03】（2022九上·興化開學(xué)考）已知反比例函數(shù)y，下列說法不正確的是（）A．圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣4） B．圖像分別在二、四象限C．當(dāng)y≤1時，x≤﹣8 D．在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大【答案】C【規(guī)范解答】解：A、當(dāng)x=2時，y=-4，即反比例函數(shù)y的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，-4），A說法正確；

B、因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y中的k=-8，所以圖像分別在二、四象限，B說法正確；

C、y≤1時，x≥-8，C說法不正確；

D、因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y中的k=-8，所以在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大，D說法正確；

故答案為：C.

【思路點(diǎn)撥】反比例函數(shù)的性質(zhì)：對于反比例函數(shù)，當(dāng)k>0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0，反比例函數(shù)圖象在二、四象限，每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.易錯分析易錯分析03利用圖像求不等式的解集和方程（組）的解，利用圖像性質(zhì)確定增減性。此類題目對學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想掌握利用要求比較高，注意細(xì)心審題，找準(zhǔn)問題問的是什么。也很容易對數(shù)軸直線的增減性與解析式中的字母結(jié)合理解出錯。（2022·徐州）若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，則關(guān)于kx＋b＞0的不等式的解集為．【答案】x＞2【思路點(diǎn)撥】本題答案有誤，忽略題目關(guān)鍵問題，求的是另外一個不等式的解集，而不是原解析式。根據(jù)圖象可知y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據(jù)不等式表示出x，進(jìn)而可得x的范圍.【規(guī)范解答】解：∵根據(jù)圖象可知y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)，且，∴，解得，，∴，即，解得x＞3.故答案為：x＞3.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖象可知y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據(jù)不等式表示出x，進(jìn)而可得x的范圍.【變式訓(xùn)練01】（2022·揚(yáng)州）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為.【答案】x＜-1【規(guī)范解答】解：由一次函數(shù)圖象得，當(dāng)y>3時，x＜-1，則y=kx+b>3的解集是x＜-1.故答案為：x＜-1.

【思路點(diǎn)撥】求不等式的解集，根據(jù)圖象可得，就是求點(diǎn)P左邊圖象上點(diǎn)的自變量的取值范圍，據(jù)此即可得出答案.【變式訓(xùn)練02】（2021·阜寧模擬）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為.【答案】x＞2【規(guī)范解答】由題意得，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過（-4，0），k＜0，∴-4k+b=0，∴b=4k，∴不等式可化為：2kx-4k＜0，解得，x＞2，故答案為：x＞2.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到b=4k，k＜0，解不等式得到答案.【變式訓(xùn)練03】（2021·濱海模擬）如圖，兩條直線l1和l2的關(guān)系式分別為y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍為.【答案】x＜2【規(guī)范解答】解：∵直線l1：y1=k1x+b1與直線l2：y2=k2x+b2的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），∴當(dāng)x=2時，y1=y2=1；而當(dāng)y1＞y2時，x＜2.故答案為：x＜2.【思路點(diǎn)撥】由圖象可知，求函數(shù)值y1＞y2時，就是求y1的圖象在y2的圖象的上方部分相應(yīng)的自變量的取值范圍.易錯分析易錯分析04利用函數(shù)模型解實(shí)際問題。注意區(qū)別方程、函數(shù)、不等式模型解決不等領(lǐng)域的問題。這類問題容易出現(xiàn)多個解，對審題能力，計算及概念掌握要求比較高。需要著重掌握零散的知識點(diǎn)（2022·沭陽模擬）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，當(dāng)時，x的取值范圍是.【答案】【思路點(diǎn)撥】答案不全面，沒有考慮到圖像的完整性。由圖象可知：拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則其與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），然后根據(jù)圖象，找出二次函數(shù)圖象在x軸上方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.【規(guī)范解答】解：由圖象可知，拋物線的對稱軸為，∵與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，則其與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合圖象得：當(dāng)時，.故答案為：.【變式訓(xùn)練01】（2022·泰州）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B(3，1).（1）求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)隨x的增大而增大且時，直接寫出x的取值范圍；（3）平行于x軸的直線l與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】（1）解：二次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，，解得，，二次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）（3）解：由題意作圖如下：當(dāng)時，，，，的邊上的高與的邊上的高相等，與的面積相等，，即E點(diǎn)是二次函數(shù)的對稱軸與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)時，，.【規(guī)范解答】解：（2）二次函數(shù)的解析式為，對稱軸為直線，由圖象知，當(dāng)隨x的增大而增大且時，；【思路點(diǎn)撥】（1）將B（3，1）分別代入y1=x2+mx+1、y2=中進(jìn)行計算可得m、k的值，據(jù)此可得二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得對稱軸，然后根據(jù)圖象，找出二次函數(shù)圖象在對稱軸右側(cè)、且在反比例函數(shù)圖象下方部分所對應(yīng)的x的范圍即可；

（3）畫出示意圖，易得A（0，1），根據(jù)△ACE與△BDE的面積相等可得CE=DE，即E點(diǎn)是二次函數(shù)的對稱軸與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，令反比例函數(shù)解析式中的x=，求出y的值，據(jù)此可得點(diǎn)E的坐標(biāo).【變式訓(xùn)練02】（2022·泗洪模擬）如圖，二次函數(shù)y1＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，2），圖象的對稱軸交x軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、C.（1）求二次函數(shù)的解析式y(tǒng)1和一次函數(shù)的解析式y(tǒng)2；（2）點(diǎn)P在x軸下方的二次函數(shù)圖象上，且S△ACP＝33，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）結(jié)合圖象，求當(dāng)x取什么范圍的值時，有y1≤y2.【答案】（1）解：將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，2）代入y1＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為y1＝﹣x2+x+2.∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣＝2，∴C（2，0），∵一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、C，∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y2＝﹣x+2.（2）解：設(shè)P到x的距離為h，∵A（﹣1，0），C（2，0），∴AC＝3，∵S△ACP＝33，∴AC?h＝33，∴h＝22，∴P的縱坐標(biāo)為﹣22，把y＝﹣22代入y1＝﹣x2+x+2，得﹣22＝﹣x2+x+2，解得x＝10或x＝﹣6，∴P的坐標(biāo)為（10，﹣22）和（﹣6，﹣22）；（3）解：得或，∴拋物線與直線的另一個交點(diǎn)為（，﹣），由圖象可知，當(dāng)x≤0或x≥時，有y1≤y2.【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，2）代入y1＝-x2+bx+c中求出b、c的值，進(jìn)而可得y1的解析式，根據(jù)解析式可得對稱軸，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y2=mx+n中求出m、n，據(jù)此可得y2的解析式；

（2）設(shè)P到x的距離為h，根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可得AC＝3，結(jié)合三角形的面積公式可求出h，進(jìn)而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入y1解析式中求出x，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）聯(lián)立y1、y2解析式求出x、y，得到拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象，找出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.易錯分析易錯分析05反比例函數(shù)K值得特殊意義及應(yīng)用。對相關(guān)公式加深理解記憶，這類問題在考察作輔助線以及反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用上有一定要求（2022九下·沭陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx與y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤。忽略了輔助線的解題技巧。連接OC，設(shè)AC⊥y軸交y軸為點(diǎn)D，由反比例函數(shù)的對稱性得OA=OB，根據(jù)等底同高三角形面積相等得S△AOC=S△COB，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得S△AOD=1，S△COD=2，則S△AOC=3，據(jù)此計算.【規(guī)范解答】解：連接OC，設(shè)AC⊥y軸交y軸為點(diǎn)D，如圖，∵反比例函數(shù)y=-為對稱圖形，∴O為AB的中點(diǎn)，∴S△AOC=S△COB，∵由題意得A點(diǎn)在y=-上，B點(diǎn)在y=上，∴S△AOD==1，S△COD=2；S△AOC=S△AOD+S△COD=3，∴S△ABC=S△AOC+S△COB=6.故答案為：C.【變式訓(xùn)練01】（2022·錫山模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，折痕為MN，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在第四象限，過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好過MN的中點(diǎn)，則k的值為，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.【答案】；【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接OB交MN于Q，由折疊的性質(zhì)可得MO=MB，OQ=OB，∵四邊形OABC是矩形，∴，∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，又∵BQ=OQ，∴△BMQ≌△ONQ（AAS），∴QM=QN，即點(diǎn)Q為OB的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，∴，∴△OHQ∽△OCB，∴，∵四邊形OABC是矩形，∴，∵Q在反比例函數(shù)圖象上，∴；過點(diǎn)作軸于G，∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上，∴，又∵，∴，設(shè)AM=a，則BM=OM=3a，∴，∴，解得（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴AB=OC=2，，∵QM=QG，OQ=BQ，∴四邊形OMBN是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為故答案為：，.【思路點(diǎn)撥】連接OB交MN于Q，由折疊得MO=MB，OQ=OB，根據(jù)矩形以及平行線的性質(zhì)得∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，證△BMQ≌△ONQ，得QM=QN，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，易證△OHQ∽△OCB，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得S△OHQ=S矩形OABC=，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得k=2S△OHQ=，過點(diǎn)C′作C′G⊥x軸于G，易得AM=AB，設(shè)AM=a，則BM=OM=3a，由勾股定理可得OA，然后結(jié)合三角形的面積公式可得a的值，易得四邊形OMBN是平行四邊形，則ON=BM，CN=C′N，利用勾股定理求出OC′，根據(jù)△OC′N的面積公式可得C′G，然后利用勾股定理求出OG，據(jù)此可得點(diǎn)C的坐標(biāo).【變式訓(xùn)練02】（2021·江都模擬）如圖，平行四邊形ABCO的邊AB的中點(diǎn)F在y軸上，對角線AC與y軸交于點(diǎn)E，若反比例函數(shù)（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過AF的中點(diǎn)D，且△AEO的面積為6，則k的值為.【答案】9【規(guī)范解答】解：如圖，連接OD，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴△AEF∽△CEO，∴＝，∵F是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AF，∴OC＝2AF，∴＝＝，∴＝＝，∵△AEO的面積為6，∴S△AEF＝S△AEO＝×6＝3，∴S△AOF＝S△AEO＋S△AEF＝6＋3＝9，∵點(diǎn)D是AF的中點(diǎn)，∴S△DOF＝S△AOF＝，∴|k|＝，且k＞0，∴k＝9.故答案為：9.【思路點(diǎn)撥】連接OD，由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥OC，AB＝OC，證明△AEF∽△CEO，由中點(diǎn)的概念可得AB＝2AF，則OC＝2AF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝＝，由△AEO的面積為6可得S△AEF＝3，進(jìn)而求出S△AOF，S△DOF，然后結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義進(jìn)行求解.【變式訓(xùn)練03】（2021·大豐模擬）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，且軸，，垂足為點(diǎn)，交軸于點(diǎn).則的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【規(guī)范解答】解：過D點(diǎn)作y軸垂線，垂足為D，BC與x軸交于點(diǎn)E，∵軸，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴S四邊形BDOE的面積為6，∵，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴S四邊形AOEC的面積為2，∴S四邊形ACBD的面積為8，∴S四邊形ACBD=4.故答案為：B.【思路點(diǎn)撥】過D點(diǎn)作y軸垂線，垂足為D，BC與x軸交于點(diǎn)E，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得S四邊形BDOE=6，S四邊形AOEC=2，據(jù)此求出四邊形ACBD的面積，進(jìn)而可得△ABC的面積.易錯分析易錯分析06與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)一定要會求。面積最大值的求解方法，距離之和的最小值的求解方法，距離之差最大值的求解方法。此類問題需要掌握一定的解題技巧，特別是輔助線的作法上，掌握必要的輔助線作法模型很重要，對解題速度，正確率都有很大的幫助。（2022·南通模擬）若拋物線的圖像與軸有交點(diǎn)，那么的取值范圍是．【答案】m＜1【思路點(diǎn)撥】答案有誤，沒有考慮到多種情況。令y=0，根據(jù)拋物線的圖象與x軸有交點(diǎn)可得△≥0，代入求解可得m的范圍.【規(guī)范解答】解：拋物線的圖像與軸有交點(diǎn)，令，有，即該方程有實(shí)數(shù)根，，．故答案是：m≤1．【變式訓(xùn)練01】（2022九上·鹽城期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則三個代數(shù)式①abc，②，③中，值為正數(shù)的有.（填序號）【答案】①②③【規(guī)范解答】解：∵拋物線的對稱軸在x軸的正半軸，且拋物線與x軸有兩個不同交點(diǎn)，與y軸交于負(fù)半軸，∴ab＜0，c＜0，＞0，∴abc＞0，如圖，直線x=-1，與拋物線的交點(diǎn)在x軸上方，∴＞0，故答案為：①②③.【思路點(diǎn)撥】拋物線的對稱軸在x軸的正半軸（左同右異）可得ab＜0，拋物線與x軸有兩個不同交點(diǎn)可得b2-4ac＞0，與y軸交于負(fù)半軸可得c＜0，據(jù)此可判斷①和②的正負(fù)；由圖可知直線x=-1，與拋物線的交點(diǎn)在x軸上方，即y=a-b+c＞0，據(jù)此判斷③的正負(fù).【變式訓(xùn)練02】（2021九上·浦口月考）已知二次函數(shù)y＝（x－m）2－1（m為常數(shù)）.（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；（2）請根據(jù)m的不同取值，探索該函數(shù)圖象過哪些象限?（直接寫出答案）（3）當(dāng)1≤x≤3時，y的最小值為3，求m的值.【答案】（1）解：y=（x－m）2－1y=x2－2mx＋m2－1，令y=0，x2－2mx＋m2-1=0，∵a=1，b=-2m，c=m2-1，∴b2－4ac＝4m2－4（m2－1）=4＞0，此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴該函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；（2）解：∵a>0，∴圖象必經(jīng)過一、二象限，令y=0，即x2－2mx＋m2-1=0，解得x1=m-1，x2=m+1，∴當(dāng)m+1≤0，即m≤﹣1時，圖象過一、二、三象限；當(dāng)-1＜m＜1時，圖象過一、二、三、四象限；當(dāng)m-1>0，m≥1時，圖象過一、二、四象限.（3）解：∵a=1＞0，圖象開口向上，又∵對稱軸為直線x=m，∴當(dāng)m≤1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=1時y有最小值3，即3=（1－m）2－1，解得m1=﹣1，m2=3＞1（舍去）；當(dāng)1＜m＜3時，當(dāng)x=m時，y有最小值﹣1，y的最小值為3不可能；當(dāng)m＞3時，y隨x增大而減小，當(dāng)x=3時y有最小值3，即3=（3－m）2－1，解得m1=1＜3（舍去），m2=5.答：當(dāng)1≤x≤3時，y的最小值為3，m的值為-1或5.【思路點(diǎn)撥】（1）二次函數(shù)y＝（x－m）2－1的圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)，即關(guān)于x的一元二次方程x2－2mx＋m2-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故證明判別式△>0即可；

（2）由a>0，圖象必經(jīng)過一、二象限，再根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，分別進(jìn)行分析判斷即可；

（3）分三種情況討論，即m≤l，1<m<3，m>3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分別分析，結(jié)合最小值為3，建立關(guān)于m的方程求解即可.【變式訓(xùn)練03】（2021九上·淮陰月考）如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)E為第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE.（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求四邊形BOCE面積的最大值.【答案】（1）解：令y=0，代入y=﹣x2﹣2x+3，解得x=-3，x=1（舍）令x=0，代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=3故B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）（2）解：連接EO，

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣2a+3）（-3≤a≤0）故四邊形BOCE面積最大為.【思路點(diǎn)撥】（1）令x=0，先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，令y=0，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合B點(diǎn)在y軸左側(cè)，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）連接EO，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣2a+3）（-3≤a≤0），觀察圖象可得四邊形BOCE的面積拆分為△BEC和△OEC，根據(jù)列式，再整理化簡，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.易錯分析易錯分析07數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，還應(yīng)注意結(jié)合圖像性質(zhì)解題。函數(shù)圖象與圖形結(jié)合學(xué)會從復(fù)雜圖形分解為簡單圖形的方法，圖形為圖像提供數(shù)據(jù)或者圖像為圖形提供數(shù)據(jù)。（2016·丹陽模擬）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【思路點(diǎn)撥】答案有誤。根據(jù)二次函數(shù)圖象與x交點(diǎn)的個數(shù)來判定b2﹣4ac的符號；將x=﹣1時，y＜0來推知a﹣b+c的符號；根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的位置以及對稱軸的位置來判定abc的符號；根據(jù)圖象的對稱軸來判斷b=2a的正誤．【規(guī)范解答】解：①根據(jù)二次函數(shù)的圖象知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，所以b2﹣4ac＞0；故本選項(xiàng)錯誤；②根據(jù)圖示知，當(dāng)x=﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本選項(xiàng)正確；③∵拋物線的開口向下，∴a＜0；又∵該拋物線與y交于正半軸，∴c＞0，而對稱軸x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∴abc＞0；故本選項(xiàng)正確；④由③知，b=2a；故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的選項(xiàng)有3個．故選C．【變式訓(xùn)練01】（2022·連云港）已知二次函數(shù)，其中.（1）當(dāng)該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求此時函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動，平移后所得函數(shù)的圖象與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值.【答案】（1）解：∵二次函數(shù)圖象過O（0，0），

∴m-4=0，

∴m=4，

∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，-1）.（2）證明：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，m＞2，

∴＜0，又∵=-（m-4）2-1，

∴≤-1＜0∴二次函數(shù)y=x2+（m-2）x+m-4的頂點(diǎn)在第三象限.（3）解：設(shè)平移后的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+bx+c，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)x=0時，B（0，c）

把代入y=-x-2中，得c=，∵B點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

∴c＜0，

∴OB=-c=-，如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OB于點(diǎn)H，

由（1）可知：A（-1，-1）

∴AH=1，

∴，∵-＜0，

∴當(dāng)b=-1時，此時c＜0，△AOB的面積最大，最大值為.【思路點(diǎn)撥】（1）由圖象過原點(diǎn)可知，二次函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)為0，即m-4=0，解得m值即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式，即可得出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得拋物線的頂點(diǎn)為，又m＞2，推出＜0，再由=-（m-4）2-1，可得＜0，確定二次函數(shù)y=x2+（m-2）x+m-4的頂點(diǎn)在第三象限；

（3）設(shè)平移后的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+bx+c，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，易得B（0，c），再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x-2中得c=，進(jìn)而表示OB=-，如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OB于點(diǎn)H，由（1）可知A（-1，-1），則AH=1，再由三角形的面積公式代入數(shù)據(jù)計算得三角形AOB的面積=，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可得b=-1時，此時c＜0，△AOB的面積最大，最大值為.【變式訓(xùn)練02】（2022·泗陽模擬）如圖1，已知矩形的邊長，.某一時刻，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動：同時點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，點(diǎn)N運(yùn)動到點(diǎn)A時停止運(yùn)動，運(yùn)動時間為t.（1）若是等腰直角三角形，則t=（直接寫出結(jié)果）.（2）是否存在時刻t，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由.（3）如圖2，連接，試求的最小值.【答案】（1）2（2）解：∵，∴以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似分為兩種情況，①當(dāng)時，有，即，解得：；②當(dāng)時，有，即，解得：.當(dāng)或時，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似；（3）解：如圖，取CN中點(diǎn)E，作E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，連接.作M點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，連接，.根據(jù)作圖可知，，∴，∴當(dāng)最小時最小，∵，∴的最小值為的長，即的最小值為2的長.如圖，連接并延長，交CD于點(diǎn)F，AB于點(diǎn)G.∵作E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，∴，.又∵E為中點(diǎn)，∴，G為AB中點(diǎn)，∴，.∵作M點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，∴，∴.在中，，∵，∴時，最小，即.∴.【思路點(diǎn)撥】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得AM=AN，由題意可得AM=t，DN=2t，則AN=6-2t，然后根據(jù)AM=AN就可求出t的值；

（2）分△ACD∽△NMA、△CAD∽△NMA，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得t的值；

（3）取CN中點(diǎn)E，作E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E′，連接CE′，作M點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M′，連接CM′，E′M′，根據(jù)作圖可知CE′=CE，CM′=CM，則CN+2CM=2(CE′+CM′)≥2E′M′，連接EE′并延長，交CD于點(diǎn)F，AB于點(diǎn)G，易得E′F=EF=t，E′G=t+6，BM′=3-t，GM′=-t，根據(jù)勾股定理可得E′M′，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.【變式訓(xùn)練03】（2022九下·揚(yáng)州期中）已知：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一直線：y＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，拋物線在x軸上方部分上有一動點(diǎn)D，連結(jié)AC；（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)D在第一象限，求D到直線BC的最大距離；（3）是否存在D點(diǎn)某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，請直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）解：令y＝﹣x＋3＝0，則x＝3∴B（3，0）令y＝﹣x＋3中x＝0，則y＝3∴C（0，3）把（3，0）、（0，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2＋2x＋3.（2）解：如圖1，設(shè)直線y＝﹣x＋3為l1，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，交BC于點(diǎn)E，則D到線段BC的距離為FD的長.∵B（3，0），C（0，3）∴OB＝OC＝3∴∠BCO＝∠CBO＝45°∵DH⊥AB∴∠BEH＝∠CBO＝45°∴∠DEF＝∠BEH＝45°∵DF⊥BC∴∠FDE＝∠DEF＝45°∴DF＝EF∴DE＝DF∴當(dāng)DE有最大值時，DF有最大值設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m2＋2m＋3）則點(diǎn)E（m，﹣m＋3）∴DE＝﹣m2＋2m＋3－（－m＋3）＝﹣m2＋3m＝﹣（m－）2＋∴當(dāng)m＝時，DE的最大值為∴DF的最大值為÷＝.（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在直線BC的下方時，如圖2，過點(diǎn)A作AN⊥BC于N，設(shè)BD交OC于點(diǎn)P∵OB＝OC＝3∴BC＝3∵拋物線y＝﹣x2＋2x＋3經(jīng)過A、B兩點(diǎn)令y＝﹣x2＋2x＋3＝0則x＝﹣1或3∴點(diǎn)A（﹣1，0）∴AO＝1，AB＝4∴AC＝∵S△ACB＝×AB×CO＝×BC×AN∴4×3＝3×AN∴AN＝2∴CN＝∵∠DBC＝∠ACO∴∠DBC＋∠BCO＝∠ACO＋∠BCO∴∠BPO＝∠ACB∴tan∠ACB＝tan∠OPB＝∴∴OP＝∴點(diǎn)P（0，）設(shè)PB所在直線的一次函數(shù)為y＝kx＋b將（0，），（3，0）代入，得解得：則直線PB解析式為：y＝﹣x＋聯(lián)立方程組可得：解得：或∴點(diǎn)D（﹣，）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC的上方時，如圖3，過點(diǎn)A作AN⊥BC于N，過點(diǎn)D作DQ⊥AB于Q設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2＋2n＋3）∴DQ＝﹣n2＋2n＋3，OQ＝n∴BQ＝3﹣n∵∠DBC＝∠ACO∴∠ACN＝∠DBQ∴tan∠ACN＝tan∠DBQ＝∴∴n＝3（不合題意）或n＝1∴點(diǎn)D（1，4）綜上所述：點(diǎn)D坐標(biāo)為：（﹣，）或（1，4）.一、選擇題1．（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝2【答案】B【規(guī)范解答】解：∵，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1，故答案為：B．【思路點(diǎn)撥】利用拋物線y=a（x-h）2+k的對稱軸為直線x=h，由此可得到已知拋物線的對稱軸.2．（2022九上·通州月考）拋物線可以看作是由拋物線經(jīng)過以下哪種變換得到的（）A．向左平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位C．向左平移1個單位，再向下平移3個單位D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位【答案】B【規(guī)范解答】解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線可以看作由拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到的，故答案為：B

【思路點(diǎn)撥】利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，可得到拋物線y=2（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，而拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），利用兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)由此可得答案.3．（2022九上·吳江月考）如圖，已知點(diǎn)A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）【答案】C【規(guī)范解答】解：如圖，△ABC外接圓的圓心為P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（5，2）．故答案為：C.【思路點(diǎn)撥】作線段AB、BC的垂直平分線，交點(diǎn)P即為外接圓的圓心，結(jié)合點(diǎn)P的位置可得相應(yīng)的坐標(biāo).4．（2022·南通）如圖，在中，對角線相交于點(diǎn)O，，若過點(diǎn)O且與邊分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝90°-60°=30°，

∴AB＝2BC=8，

，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AO＝AC＝，

∴，

∴；

設(shè)BE＝x，OE2＝y(tǒng)，則EM＝AB?AM?BE＝8?3?x＝5?x，

∵OE2＝OM2＋EM2，

∴y＝（x?5）2＋3，

∵0≤x≤8，當(dāng)x＝8時y＝12，

符合解析式的圖象為C.

故答案為：C.

【思路點(diǎn)撥】過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出AB的長，利用勾股定理求出AC的長；利用平行四邊形的性質(zhì)可求出AO的長，從而可得到OM的長，利用勾股定理求出AM的長；設(shè)BE＝x，OE2＝y(tǒng)，可表示出EM的長；然后利用勾股定理可得到OE2＝OM2＋EM2，可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式及x的取值范圍，即可得到符合題意的函數(shù)圖象.5．（2022·南通）根據(jù)圖像，可得關(guān)于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：∵直線y=kx和直線y=-x+3兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

∴當(dāng)x＞1時kx＞-x+3.

故答案為：D.

【思路點(diǎn)撥】觀察圖象可知直線y=kx和直線y=-x+3兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），由此可得到kx＞-x+3的解集.二、填空題6．（2022·淮安）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向下平移5個單位長度得到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是.【答案】-4【規(guī)范解答】解：將點(diǎn)A（2，3）向下平移5個單位長度得到點(diǎn)B，則B（2，-2），∵點(diǎn)B恰好在反比例函數(shù)的圖象上，∴，故答案為：-4.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的平移規(guī)律：橫坐標(biāo)左移減右移加，縱坐標(biāo)上移加下移減，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可算出k的值.7．（2022九上·通州月考）拋物線開口方向是．【答案】向下【規(guī)范解答】解：∵拋物線，a＝﹣3＜0，∴該拋物線的開口向下，故答案為：向下．

【思路點(diǎn)撥】觀察函數(shù)解析式，可知a＜0，可得到拋物線的開口向下.8．（2022九上·洪澤月考）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），則反比例函數(shù)的關(guān)系式為．【答案】【規(guī)范解答】解：∵菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），∴，∴AO=BC=5，∴B（8，4），∴k=4×8=32，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理可得CO的值，由菱形的性質(zhì)可得AO=BC=OC=5，則B（8，4），然后根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上可得對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.9．（2022九上·海陵月考）如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，D是線段上一點(diǎn)．若，連接，記，的面積分別為，，則的值為．【答案】4【規(guī)范解答】解：∵A（1，6）在反比例函數(shù)圖象上，∴k=6，即反比例函數(shù)解析式為：，∵B（3，b）在反比例函數(shù)圖象上，∴b=2，即B（3，2）．設(shè)直線AB為：，∴，解得：，∴直線AB解析式為：y=?2x+8．∴對于y=?2x+8，當(dāng)y=0時，即?2x+8=0，解得：x=4，∴C（4，0），∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：4.【思路點(diǎn)撥】將A（1，6）代入y=中求出k的值，可得反比例函數(shù)的解析式，將B（3，b）代入求出b的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，得到C（4，0），根據(jù)三角形的面積公式求出S△AOC，證明△DAB∽△OAC，得到∠ADB=∠AOC，易得yD=yB=2，由三角形的面積公式可得S△DOC，由S△ADC=S△AOC-S△DOC可得S△ADC，據(jù)此求解.10．（2022·鹽城）《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”如圖，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，以此類推，令，，，，若對任意大于1的整數(shù)恒成立，則的最小值為．【答案】2【規(guī)范解答】解：直線與y軸的夾角是45°，，，…都是等腰直角三角形，，，，…點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為1，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，……以此類推，得，，，，……，，，的最小值為2．

故答案為：2.【思路點(diǎn)撥】易得△OAO1、△O1A1O2……都是等腰Rt△，則OA=O1A，O1A1=O2A1，O2A2=O3A2，表示出點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)，推出OA=a1=1，O1A1=a2=，O2A2=a3=，O3A3=a4=，On-1An-1=an=，據(jù)此計算.三、解答題11．（2022·泗洪模擬）把二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，2），求原拋