專題08勾股定理之圖形折疊模型綜合應(yīng)用(4大類型)(原卷版+解析)2

專題08勾股定理之圖形折疊模型綜合應(yīng)用（4大類型）解題思路解題思路（1）折疊的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等.（2）利用線段關(guān)系和勾股定理，運(yùn)用方程思想進(jìn)行計算.【典例分析】【類型一：折疊構(gòu)造直角三角形】【典例1】（保定二模）如圖，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點A與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（）A．4 B．3 C．2 D．5【變式1-1】如圖所示的三角形紙片中∠B＝90°，AC＝13，BC＝5．現(xiàn)將紙片進(jìn)行折疊，使得頂點D落在AC邊上，折痕為AE．則BE的長為（）A．2.4 B．2.5 C．2.8 D．3【類型二：折疊構(gòu)造三垂直圖形】【典例2】（2020春?西城區(qū)校級期中）如圖，長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊后點D恰好落在BC邊上的點F處（1）求CE的長；（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點P，使得PA+PE值最??？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．【變式2】如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF與FC的長．（2）求EC的長．【類型三：折疊構(gòu)造全等三角形】【典例3】（思明區(qū)校級期中）如圖，四邊形OABC是矩形，點A的坐標(biāo)為（8，0），點C的坐標(biāo)為（0，4），把矩形OABC沿OB折疊，點C落在點D處，則點D的縱坐標(biāo)為（）A．﹣2 B．﹣2.4 C．?22 D．【變式3-1】（紅河州期末）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為．【變式3-2】（成華區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE所在直線折疊，使點B落在矩形內(nèi)點B′處，連接CB′，則CB′的長為．【變式3-3】（2020?張家港市期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG（1）求證：△ABG≌△AFG（2）求∠EAG的度數(shù)（3）求BG的長【類型三：折疊構(gòu)造等腰三角】【典例4】（2020?碑林區(qū)校級月考）如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處（1）試說明：B′E＝BF（2）若AE＝3，AB＝4，求BF的長【變式4-1】（2019?潮南區(qū)一模）如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點D落在點H的位置上，點C恰好落在邊AD上的點G處，連接EG．（1）△GEF是等腰三角形嗎？請說明理由；（2）若CD＝4，GD＝8，求HF的長度．【夯實基礎(chǔ)】1．（2022秋?大東區(qū)校級期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022秋?槐蔭區(qū)校級期末）已知，如圖長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm23．（2021秋?洛江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若將AC沿AE折疊，使得點C與AB上的點D重合，則△AEB的面積為cm2．4．（2021秋?興文縣校級期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為．5．（2021秋?峨邊縣期末）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別為：AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．6．（2022秋?新泰市期末）如圖所示，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，你能求出CD的長嗎？7．（2021秋?景德鎮(zhèn)期中）如圖，△ABC的三邊分別為AC＝5，BC＝12，AB＝13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）求折痕AD的長．【能力提升】8.已知矩形OABC的邊長OA＝4，AB＝3，E是OA的中點，分別以所在的直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過C、E兩點．（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，將矩形OABC中，將△COE沿直線l折疊后得到△CFE，點F在矩形OABC內(nèi)部，延長CF交AB于G點．證明：GF＝GA；（3）由上面的條件，求四邊形AGFE的面積？專題08勾股定理之圖形折疊模型綜合應(yīng)用（4大類型）解題思路解題思路（1）折疊的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等.（2）利用線段關(guān)系和勾股定理，運(yùn)用方程思想進(jìn)行計算.【典例分析】【類型一：折疊構(gòu)造直角三角形】【典例1】（保定二模）如圖，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點A與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（）A．4 B．3 C．2 D．5【解答】設(shè)BN＝x，由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝9﹣x∵D是BC的中點，∴BD＝3在Rt△NBD中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．即BN＝4，選A【變式1-1】如圖所示的三角形紙片中∠B＝90°，AC＝13，BC＝5．現(xiàn)將紙片進(jìn)行折疊，使得頂點D落在AC邊上，折痕為AE．則BE的長為（）A．2.4 B．2.5 C．2.8 D．3【答案】A【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，∴AB＝＝12，設(shè)BE＝x，由折疊的性質(zhì)可得：CD＝AC﹣AD＝13﹣12＝1，DE＝BE＝x，∠ADE＝∠B＝90°，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣x，在Rt△DEC中，EC2＝CD2+DE2，∴（5﹣x）2＝1+x2，解得：x＝2.4，∴BE＝2.4．故選：A．【類型二：折疊構(gòu)造三垂直圖形】【典例2】（2020春?西城區(qū)校級期中）如圖，長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊后點D恰好落在BC邊上的點F處（1）求CE的長；（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點P，使得PA+PE值最??？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．【解答】（1）長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10由折疊知，EF＝DE，AF＝AD＝8在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝4設(shè)CE＝x，則EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得，CF2+CE2＝EF2∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3（2）如圖，延長EC至E'使CE'＝CE＝3，連接AE'交BC于P此時，PA+PE最小，最小值為AE'∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11在Rt△ADE'中，根據(jù)勾股定理得，AE'=【變式2】如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF與FC的長．（2）求EC的長．【解答】解：（1）∵△ADE折疊后的圖形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，得AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）設(shè)EC的長為xcm，則DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化簡，得16x＝48，∴x＝3，故EC的長為3cm．【類型三：折疊構(gòu)造全等三角形】【典例3】（思明區(qū)校級期中）如圖，四邊形OABC是矩形，點A的坐標(biāo)為（8，0），點C的坐標(biāo)為（0，4），把矩形OABC沿OB折疊，點C落在點D處，則點D的縱坐標(biāo)為（）A．﹣2 B．﹣2.4 C．?22 D．【解答】∵點A的坐標(biāo)為（8，0），點C的坐標(biāo)為（0，4），∴OA＝8，OC＝4由折疊得：∠CBO＝∠DBO，OD＝OC＝4，BD＝BC，∠ODB＝∠OCB∵四邊形ABCO是矩形∴BC∥OA，OC＝AB＝4，∠OCB＝∠BAO＝90°，BC＝OA＝8∴∠CBO＝∠BOA，∠ODE＝90°，BD＝OA，∴∠DBO＝∠BOA∴BE＝OE，∴DE＝AE設(shè)AE＝x，則BE＝OE＝8﹣x在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3即OE＝5，DE＝AE＝3過D作DF⊥OA于F∵S△OED=12OD?DE=12OE?DF∴點D的縱坐標(biāo)為﹣2.4，選B【變式3-1】（紅河州期末）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為．【解答】在Rt△ABC中，AB=AC根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE＝AB＝10，DE＝BD∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2，∴BD2＝（BC﹣BD）2+CE2，∴BD2＝（6﹣BD）2+4∴BD=【變式3-2】（成華區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE所在直線折疊，使點B落在矩形內(nèi)點B′處，連接CB′，則CB′的長為．【解答】連接BB′交AE于H∵BC＝6，點E為BC的中點，∴BE＝3又∵AB＝4，∴AE=AB2+BE2=4∵B′E＝BE＝EC∴∠BB′C＝90°，根據(jù)勾股定理得，CB′=【變式3-3】（2020?張家港市期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG（1）求證：△ABG≌△AFG（2）求∠EAG的度數(shù)（3）求BG的長【解答】（1）證明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°∵將△ADE沿AE對折至△AFE∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°又∵AG＝AG在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG=AGAB=AF，∴△ABG≌△AFG（HL（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG=12由折疊的性質(zhì)可得：∠EAF＝∠∠DAE，∴∠EAF=12∴∠EAG＝∠EAF+∠FAG=12（∠DAF+∠BAF）=12（3）∵E是CD的中點，∴DE＝CE=12CD設(shè)BG＝x，則CG＝6﹣x，GE＝EF+FG＝x+3∵GE2＝CG2+CE2，∴（x+3）2＝（6﹣x）2+32，解得x＝2∴BG＝2【類型三：折疊構(gòu)造等腰三角】【典例4】（2020?碑林區(qū)校級月考）如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處（1）試說明：B′E＝BF（2）若AE＝3，AB＝4，求BF的長【解答】（1）∵折疊，∴∠B'FE＝∠EFB，BF＝B'F∵AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'EF＝∠B'FE∴B'E＝B'F，∴BF＝B'E（2）∵折疊，∴AE＝A'E＝3，AB＝A'B'＝4，∠A＝∠A'＝90°∴根據(jù)勾股定理可得B'E＝5∵B'E＝BF，∴BF＝5【變式4-1】（2019?潮南區(qū)一模）如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點D落在點H的位置上，點C恰好落在邊AD上的點G處，連接EG．（1）△GEF是等腰三角形嗎？請說明理由；（2）若CD＝4，GD＝8，求HF的長度．【解答】（1）∵長方形紙片ABCD∴AD∥BC∴∠GFE＝∠FEC∵∠FEC＝∠GEF∴∠GFE＝∠GEF∴△GEF是等腰三角形（2）∵∠C＝∠H＝90°，HF＝DF，GD＝8設(shè)HF長為x，則GF長為（8﹣x）在Rt△FGH中，x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3∴HF的長為3【夯實基礎(chǔ)】1．（2022秋?大東區(qū)校級期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，設(shè)DE＝x，則AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE與Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的長為5．故選：C．2．（2022秋?槐蔭區(qū)校級期末）已知，如圖長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2【答案】C【解答】解：將此長方形折疊，使點B與點D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根據(jù)勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面積為3×4÷2＝6．故選：C．3．（2021秋?洛江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若將AC沿AE折疊，使得點C與AB上的點D重合，則△AEB的面積為cm2．【答案】15【解答】解：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．∵將AC沿AE折疊，使得點C與AB上的點D重合，∴EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，∴DB＝4cm，設(shè)EC＝DE＝xcm，在Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴BE＝BC﹣EC＝8﹣3＝5cm，∴S△ABE＝×BE×AC＝×5×6＝15（cm2）．故答案為：15．4．（2021秋?興文縣校級期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為．【答案】10【解答】解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，設(shè)D′F＝x，則AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝?AF?BC＝10．故答案為：10．5．（2021秋?峨邊縣期末）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別為：AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．【解答】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對稱，∴AC＝AE＝6cm，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝62+82＝102，∴AB＝10，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝xcm，則DB＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即CD＝3cm．6．（2022秋?新泰市期末）如圖所示，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，你能求出CD的長嗎？【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．由折疊的性質(zhì)可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．∴BE＝4，∠DEB＝90°．設(shè)DC＝x，則BD＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴CD＝3．7．（2021秋?景德鎮(zhèn)期中）如圖，△ABC的三邊分別為AC＝5，BC＝12，AB＝13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）求折痕AD的長．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）∴∠C＝90°；∴△ABC是直角三角形．（1