華師版九年級(jí)數(shù)學(xué) 23.3 相似三角形（學(xué)習(xí)、上課課件）

23.3相似三角形第23章圖形的相似23.3.1相似三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2相似三角形平行線截三角形相似的定理知識(shí)點(diǎn)相似三角形知1－講11.

定義對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似.反之，兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等.知1－講2.表示方法相似用符號(hào)“∽”來(lái)表示，讀作“相似于”.例如△ABC與△A′B′C′相似，記作“△ABC∽△A′B′C′”，讀作“△ABC相似于△A′B′C′”.3.相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.知1－講特別提醒用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.相似三角形的相似比具有順序性.知1－練例1如圖23.3-1，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解題秘方：緊扣相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例求解.知1－練(1)求△ABC與△ADE的相似比；

知1－練(2)求∠AED的度數(shù)和DE的長(zhǎng).

知1－練

B知2－講知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理2定理平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.常見(jiàn)基本圖形如圖23.3-2.知2－講特別提醒根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有BC//DE，圖23.3-2①②很像大寫(xiě)字母A，故我們稱(chēng)之為“A”型相似；圖23.3-2③很像大寫(xiě)字母X，故我們稱(chēng)之為“X”型相似(也像阿拉伯?dāng)?shù)字“8”).知2－練如圖23.3-3，在ABCD中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB＝3BE，DE與BC相交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.例2解題秘方：緊扣平行線截三角形相似的兩種基本圖形：“A”型和“X”型進(jìn)行查找.知2－練

相似比有順序性，若順序顛倒，則相似比成為原來(lái)相似比的倒數(shù).知2－練2-1.[中考·玉林]如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點(diǎn)G，則圖中的相似三角形共有()A.3對(duì)B.5對(duì)C.6對(duì)D.8對(duì)C知2－練

解題秘方：緊扣平行線截三角形相似及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答.例31知2－練

知2－練3-1.[中考·重慶]如圖，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的長(zhǎng)度為6，則DE的長(zhǎng)度為()A.4B.9C.12D.13.5B相似三角形相似三角形判定定義平行線相似比23.3相似三角形第23章圖形的相似23.3.2相似三角形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2由角的關(guān)系判定三角形相似由邊角關(guān)系判定三角形相似由三邊關(guān)系判定三角形相似知識(shí)點(diǎn)由角的關(guān)系判定三角形相似知1－講11.相似三角形的判定定理1

兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.特別地，兩個(gè)直角三角形，若有一對(duì)銳角相等，則它們一定相似.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖23.3-9，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知1－講特別提醒由兩組角分別相等判定兩個(gè)三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般地，相等的角是對(duì)應(yīng)角．如：公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)等都是相等的角，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知1－講2.常見(jiàn)的相似三角形的類(lèi)型(1)平行線型：如圖23.3-10①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.(2)斜交線型：如圖23.3-10②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC.知1－講(3)子母型：如圖23.3-10③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖23.3-10④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC，整體像一個(gè)橫放的字母K，所以稱(chēng)為“K”型相似.知1－練例1如圖23.3-11，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：△ABF∽△CAF.知1－練解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明，由于∠BFA是公共角，因此只需利用圖形的相關(guān)性質(zhì)說(shuō)明∠B＝∠4即可證明.知1－練證明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∠1＝∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知1－練1-1.[中考·菏澤]如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點(diǎn)，且BE＝BC，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：△ADE∽△ABC.知1－練證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠BEC.又∵∠BEC＝∠AED，∴∠AED＝∠C.∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABC.

∴△ADE∽△ABC.知2－講知識(shí)點(diǎn)由邊角關(guān)系判定三角形相似2

知2－講特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類(lèi)似于判定三角形全等的SAS方法.知2－練如圖23.3-13，在正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn).求證：△ADQ∽△QCP.例2解題秘方：緊扣“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”證明.知2－練

知2－練2-1.如圖，在△ABC中，D，E分別在AB與AC上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4.求證：△ADE∽△ACB.知2－練知3－講知識(shí)點(diǎn)由三邊關(guān)系判定三角形相似3

知3－講特別提醒●由三邊成比例判定兩三角形相似的方法與三邊對(duì)應(yīng)相等判定三角形全等的方法類(lèi)似，只需把三邊對(duì)應(yīng)相等改為三邊成比例即可.●應(yīng)用時(shí)要注意比的順序性，即分子為同一個(gè)三角形的三邊，分母為另一個(gè)三角形的三邊，同時(shí)要注意邊的對(duì)應(yīng)情況.知3－練圖23.3-15與圖23.3-16中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖23.3-16中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖23.3-15中的△ABC相似？例3知3－練解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求各邊的長(zhǎng)，緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”判斷.知3－練

知3－練

知3－練3-1.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上.(1)填空：∠ABC＝______°，AC＝______.135知3－練(2)△ABC與△DEF是否相似？證明你的結(jié)論.相似三角形的判定相似三角形的判定條件兩角分別相等兩邊成比例且?jiàn)A角相等三邊成比例23.3相似三角形第23章圖形的相似23.3.3相似三角形的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比相似三角形面積的比知識(shí)點(diǎn)相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比知1－講11.相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比、中線的比、對(duì)應(yīng)角的平分線的比都等于相似比.即相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.特別提醒：(1)注意“對(duì)應(yīng)”二字，應(yīng)用時(shí)要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段；(2)相似比是有順序的，不能顛倒相似三角形中元素的順序.知1－講2.相似三角形周長(zhǎng)的比相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比.知1－講深度理解高、中線、角平分線必須是相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角的平分線.知1－練例1如圖23.3-25，在△ABC中，AD是BC邊上的高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且長(zhǎng)邊FG在BC上，AD與EH的交點(diǎn)為P，矩形相鄰兩邊的比為1∶2.若BC＝30cm，AD＝10cm，求矩形EFGH的周長(zhǎng).解題秘方：將求矩形周長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與相似三角形對(duì)應(yīng)高的比相關(guān)的問(wèn)題求解.知1－練

知1－練

D知1－練如果兩個(gè)相似三角形的相似比是3∶2，它們的周長(zhǎng)差為8，那么較大的三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.解題秘方：緊扣“相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比”列方程求解.例224也可設(shè)較小的三角形的周長(zhǎng)為2x，則較大的三角形的周長(zhǎng)為3x.∴3x－2x＝8，∴x＝8，∴較大的三角形的周長(zhǎng)為3x＝24.知1－練

知1－練2-1.[中考·連云港]△ABC的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長(zhǎng)邊為12，則△DEF的周長(zhǎng)是()A.54 B.36C.27 D.21C知2－講知識(shí)點(diǎn)相似三角形面積的比2

知2－講2.相似多邊形面積的比相似多邊形面積的比等于相似比的平方

.知2－講活學(xué)巧記兩個(gè)相似三角形，各角對(duì)應(yīng)都相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.知2－練如圖23.3-26，△ABC∽△A′B′C′，BC＝6，B′C′＝4，AD⊥BC，AD＝4，求△A′B′C′的面積.解題秘方：利用“相似三角形面積的比等于相似比的平方”求解.例3知2－練

知2－練

C相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)邊、角對(duì)應(yīng)線段對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比周長(zhǎng)周長(zhǎng)比等于相似比面積面積比等于相似比的平方23.3相似三角形第23章圖形的相似23.3.4相似三角形的應(yīng)用逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2利用相似測(cè)量物體的高度利用相似測(cè)量寬度知識(shí)點(diǎn)利用相似測(cè)量物體的高度知1－講11.利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度(1)測(cè)量原理：同一時(shí)刻物體的高度與它在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)成比例.要確保被測(cè)物體的底部能夠到達(dá).知1－講(2)測(cè)量方法：在有太陽(yáng)光線的同一時(shí)刻，測(cè)出測(cè)量者的影長(zhǎng)、待測(cè)物體的影長(zhǎng)和測(cè)量者的身高，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算待測(cè)物體的高度.(如圖23.3-32)特別提醒由于影長(zhǎng)可能隨著太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)而變化，因此要在同一時(shí)刻測(cè)量測(cè)量者與被測(cè)物體的影長(zhǎng).知1－講2.利用直尺或標(biāo)桿測(cè)量物體的高度(1)測(cè)量原理：用直尺或標(biāo)桿的長(zhǎng)(高)作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)構(gòu)造相似三角形.(2)測(cè)量方法：借助直尺或標(biāo)桿測(cè)量物體高度的方法如圖23.3-33.知1－講特別提醒使用這種方法時(shí)，觀測(cè)者的眼睛、標(biāo)桿頂端和被測(cè)物體頂端必須“三點(diǎn)共線”，觀測(cè)者的眼睛、直尺頂(底)端和被測(cè)物體頂(底)端必須“三點(diǎn)共線”，標(biāo)桿或直尺與地面要垂直，被測(cè)物體底部必須可到達(dá).知1－講3.利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度(1)測(cè)量原理：利用鏡子的反射，根據(jù)反射角等于入射角的原理構(gòu)造相似三角形.(2)測(cè)量方法：測(cè)出觀測(cè)者站立點(diǎn)與鏡面標(biāo)記點(diǎn)的距離、待測(cè)物體底部與鏡面標(biāo)記點(diǎn)的距離以及觀測(cè)者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算待測(cè)物體的高度.(如圖23.3-34)知1－講特別提醒●測(cè)量時(shí)被測(cè)物體與人之間不能有障礙物，且鏡子要水平放置.●利用物理學(xué)中的“反射角等于入射角”及數(shù)學(xué)中的“等角的余角相等”的知識(shí)可以知道，反射光線和入射光線與鏡面的夾角相等.知1－練例1數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)來(lái)求旗桿的高度，他們?cè)谀骋粫r(shí)刻測(cè)得高為2米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為1.2米，此時(shí)旗桿影長(zhǎng)為7.2米，則旗桿的高度為_(kāi)_____米.解題秘方：用“在同一時(shí)刻太陽(yáng)光下物體的高度與影長(zhǎng)成比例”求解.12知1－練解：設(shè)該旗桿的高度是x

米，根據(jù)題意，得2∶1.2＝x∶7.2，解得x＝12，即該旗桿的高度是12米.知1－練1-1.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m，同時(shí)測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為90m，這棟樓的高度是多少？知1－練如圖23.3-35，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹(shù)高AB＝______m.5.5例2知1－練解題秘方：解本題的關(guān)鍵是找出相似三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等列出方程求解.

知1－練2-1.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度，他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使直角邊DE與旗桿頂端A在同一直線上.已知DE＝0.5m，EF＝0.25m，測(cè)得點(diǎn)D到地面的距離DG＝1.5m，到旗桿的水平距離DC＝20m，則旗桿的高度為_(kāi)______.11.5m知1－練例3如圖23.3-36是一位同學(xué)設(shè)計(jì)的用手電筒來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，在點(diǎn)P處水平放一平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好照到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測(cè)得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求該古城墻CD的高度.知1－練解題秘方：緊扣“利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度的原理”判定兩個(gè)三角形相似解決問(wèn)題.知1－練

知1－練3-1.如圖，小明為測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，在E處放置一面鏡子，然后退到C處站立，剛好從鏡子中看到旗桿的頂部B.已知小明的眼睛D離地面的高度CD＝1.5m，他與鏡子的水平距離CE＝0.5m，鏡子與旗桿的底部A處的距離AE＝2m，且A，E，C三點(diǎn)在同一水平直線上，則旗桿AB的高度為_(kāi)_____.6m知2－講知識(shí)點(diǎn)利用相似測(cè)量寬度21.

測(cè)量原理測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造相似