冀教版九年級數學 28.3 圓心角和圓周角（學習、上課課件）

28.3圓心角和圓周角第二十八章圓逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2弧、弦、圓心角之間的關系圓周角圓周角定理的推論圓內接四邊形知1－講感悟新知知識點弧、弦、圓心角之間的關系11.圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角，如圖28-3-1，∠AOB是AB

所對的圓心角，AB是∠AOB所對的弧.注意：一條弧所對的圓心角只有一個.⌒⌒感悟新知2.圓心角與弧、弦之間的關系(1)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧也相等.(2)在同圓或等圓中，兩個圓心角及其所對應的兩條弦和所對應的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等.知1－講感悟新知知1－講警示誤區(qū)不能忽略在同圓或等圓中這個前提，如果丟掉了這個前提，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等.如圖28-3-2，兩個圓的圓心相同，AB與A′B′對應的圓心角相等，但AB

≠A′B′，AB≠A′B′.⌒⌒⌒⌒感悟新知3.示例如圖28-3-3，若∠AOB=∠A′OB′，則AB=A′B′，AB=A′B′.知1－講⌒⌒知1－練感悟新知如圖28-3-4，AB，CD是⊙O

的兩條直徑，弦CE∥AB，求證：BC=AE.例1⌒⌒知1－練感悟新知證明：如圖28-3-4，連接OE.∵OE=OC，∴∠C=∠E.∵CE∥AB，∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.解題秘方：構造圓心角，利用在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等證明.知1－練感悟新知1-1.如圖，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD

分別交AB

于點E，F，且OE=OF．求證：AC=BD．⌒⌒知1－練感悟新知知1－練感悟新知[母題教材P154練習T1]如圖28-3-5，在⊙O

中，AB=CD，有下列結論：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD

.其中正確結論的個數是()A.1B.2C.3D.4例2

⌒⌒⌒⌒知1－練感悟新知解題秘方：緊扣弧、弦、圓心角之間的關系定理的推論判斷.答案：D解：∵AB=CD，∴AB=CD，故①正確.∵AB=CD，∴AB

－BC=CD－BC

，即AC=BD，∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故②③④正確.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒知1－練感悟新知2-1.

[中考·河北]如圖，點P1

～P8

是⊙O

的八等分點．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7

的周長分別為a，b，則下列結論正確的是(

)A.a<bB.a=bC.a>bD.a，b

的大小無法比較A感悟新知知2－講知識點圓周角21.圓周角的定義?頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.特征：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②兩邊都和圓相交.感悟新知知2－講示例：如圖28-3-6①中的角是圓周角.感悟新知知2－講

知2－講感悟新知特別提醒圓心角與圓周角的區(qū)別與聯系：項目圓心角圓周角區(qū)別頂點在圓心頂點在圓上在同圓中，一條弧所對的圓心角唯一在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數個聯系圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

感悟新知知2－練[母題教材P158習題B組T1]如圖28-3-8，AB是⊙O的直徑，弦BC=BD，若∠BOD=50°，則∠A的度數為_________.例325°知2－練感悟新知解題秘方：連接OC，將求BC

所對的圓周角轉化為求BC所對的圓心角來解.

⌒⌒知2－練感悟新知3-1.

[中考·杭州]如圖，在⊙O

中，半徑OA，OB互相垂直，點C

在劣弧AB上．若∠ABC=19°，則∠BAC=(

)A.23°B.24°C.25°D.26°D感悟新知知3－講知識點圓周角定理的推論31.推論(1)直徑所對的圓周角是直角；(2)

90°的圓周角所對的弦是直徑.2.推論?在同圓(或等圓)中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等.感悟新知知3－講3.“四量關系”定理(拓展)在同圓或等圓中，如果兩條弧、兩條弧所對的圓心角、圓周角、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.知3－講感悟新知特別提醒“同弧或等弧”若改為“同弦或等弦”，結論就不成立了.因為一條弦所對的圓周角有兩種情況：優(yōu)弧上的圓周角和劣弧上的圓周角.知3－練感悟新知如圖28-3-9，AB是⊙O

的直徑，BD

是⊙O

的弦，延長BD到點C，連接AC，使AC=AB.求證：BD=CD.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“直徑所對的圓周角是直角”，并結合等腰三角形“三線合一”的性質求解.證明：如圖28-3-9，連接AD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.知3－練感悟新知4-1.如圖，AB

是⊙O的直徑，C，D

是⊙O上的兩點，且BC

平分∠ABD，連接OC，交AD

于點E，求證：OC

⊥AD．證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD.知3－練感悟新知如圖28-3-10，已知經過原點的⊙P

與x

軸，y

軸分別交于A，B

兩點，點C

是AB

上一點，則∠ACB的度數是()A.80°B.90°C.100°D.無法確定例5⌒知3－練感悟新知解題秘方：利用“90°的圓周角所對的弦是直徑”，并結合“直徑所對的圓周角是直角”求解.解：連接AB，如圖28-3-10.∵∠AOB=90°，∴AB

是⊙P的直徑.∴∠ACB=90°.答案：B知3－練感悟新知通用技巧：常見的作輔助線的方法：(1)有直徑，通常作直徑所對的圓周角，從而得出兩直線互相垂直，簡記為見直徑作直角.(2)有90°的圓周角，通常作直徑，簡記為有直角作直徑.知3－練感悟新知5-1.如圖，矩形ABCD的頂點都在⊙O

上，點E

為AD

上的點，OE

∥CD，OE=CD，連接AE，則∠EAD=

________.30°⌒知3－練感悟新知如圖28-3-11，A，B，C，D

是圓上的四個點，∠ABD=∠DBC．求證：△ACD是等腰三角形.例6

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“同弧所對的圓周角相等”證明.證明：∵A，B，C，D是圓上的四個點，∴∠ACD=∠ABD，∠DBC=∠CAD.又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ACD=∠CAD.∴△ACD

是等腰三角形.知3－練感悟新知6-1.如圖，以AB

為直徑的⊙O

經過△ABC的頂點C，AE，BE

分別平分∠BAC

和∠ABC，AE

的延長線交⊙O

于點D，連接BD．判斷△

BDE的形狀，并證明你的結論．知3－練感悟新知解：△BDE為等腰直角三角形．證明如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝ED，∴△BDE為等腰三角形．∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴△BDE為等腰直角三角形．感悟新知知4－講知識點圓內接四邊形41.圓內接四邊形四個頂點都在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.2.圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的對角互補.感悟新知知4－講3.拓展圓內接四邊形的每一個外角都等于與它相鄰的內角的對角.知4－講感悟新知特別解讀每一個圓都有無數個內接四邊形，但并不是所有的四邊形都有外接圓，只有對角互補的四邊形才有外接圓.感悟新知知4－練[中考·常德][教材P174復習題A組T5[如圖28-3-12，四邊形ABCD

為⊙O的內接四邊形，已知∠BOD=100°，則∠BCD的度數為()A.50°B.80°C.100°D.130°例7知4