數(shù)學(xué)單元檢測(cè)：第二章幾個(gè)重要的不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)北師版選修4-5第二章幾個(gè)重要的不等式單元檢測(cè)(時(shí)間：90分鐘滿分：100分)一、選擇題（每小題5分，共50分）1．已知x＋3y＋5z＝6,則x2＋y2＋z2的最小值為（)．A．B．C．D．62．已知3x2＋2y2≤1，則3x＋2y的取值范圍是()．A．B．C．D．[－5,5]3．已知a,b，c∈R＋，則a2（a2－bc）＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab）的正負(fù)情況是(）．A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零4．用數(shù)學(xué)歸納法證明(a≠1，n∈N＋）．在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是(）．A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a35．（k＝1,2,3，…），則Sk＋1＝（）．A．B．C．D．6．設(shè)n∈N＋，則4n與3n的大小關(guān)系是（)．A．4n＞3nB．4n＝3nC．4n＜3nD．不確定7．設(shè)a，b，c∈(0,＋∞），a＋b＋4c2＝1,則的最大值是（）．A．5B．C．8D．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N＋)時(shí)，從“n＝k"到“n＝k＋1”,等式左邊需增添的項(xiàng)是(）．A．B．C．D．9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)42k＋1＋3k＋2變形正確的是(）．A．16(42k－1＋3k＋1）－13×3k＋1B．4×42k＋9×3kC．（42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1D．3(42k－1＋3k＋1）－13×42k－110．設(shè)函數(shù)f（n)＝(2n＋9)·3n＋1＋9，當(dāng)n∈N＋時(shí),f（n)能被m(m∈N＋）整除，猜想m的最大值為(）．A．9B．18二、填空題（每小題5分，共25分)11．設(shè)f（n）＝62n－1＋1，則f（k＋1）用含有f(k)的式子表示為________．12．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為自然數(shù)，a1＝1且它的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)所有的正整數(shù)n，有Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－Sn）2成立，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4可歸納出Sn＝__________________________．13．設(shè)a,b，c為正數(shù)，則的最小值是__________．14．在△ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中,不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立．猜想在n邊形A1A2…An中，其不等式為__________．15．三角形的三邊a，b，c對(duì)應(yīng)的高為ha，hb，hc，r為三角形內(nèi)切圓的半徑．若ha＋hb＋hc的值為9r，則此三角形為__________三角形．三、解答題（共25分)16．（10分）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＋an＝2n＋1．（1)寫出a1，a2，a3，并推測(cè)an的表達(dá)式．(2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得結(jié)論．17．(15分)設(shè)ai∈R＋（i＝1,2,…，n），a1＋a2＋…＋an＝1,求證：．

參考答案1．答案:C由柯西不等式，得．當(dāng)且僅當(dāng),即，，時(shí)等號(hào)成立．2．答案:C．所以．3．答案：B設(shè)a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3．根據(jù)排序不等式，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab．即a2（a2－bc）＋b2(b2－ac)＋c2（c2－ab)≥0．4．答案：C當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋a＋a2．5．答案：C．6．答案:A4n＝（1＋3）n．根據(jù)貝努利不等式，有（1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n＞3n，即4n＞3n．7．答案:B，∴．當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．8．答案：C由，可得到從“n＝k"到“n＝k＋1”時(shí)增添的項(xiàng)為．9．答案：A42k＋1＋3k＋2＝16×42k－1＋3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1．10．答案:D11．答案：36f(k）－35f(k)＝62k－1＋1,f（k＋1)＝62(k＋1)－1＋1＝62k－1·62＋1＝36·62k－1＋1＝36(62k－1＋1)－35＝36f（12．答案：由已知，得，∴,兩式相減,得．∴an＋1－an＝1，即{an｝為等差數(shù)列,公差d＝1．∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n．∴．13．答案：121．當(dāng)且僅當(dāng)(k為正實(shí)數(shù)）時(shí)等號(hào)成立．14．答案：15．答案：等邊記三角形的面積為S，則2S＝aha＝bhb＝chc．又因?yàn)?S＝r(a＋b＋c）,所以．由柯西不等式，得＝．所以ha＋hb＋hc≥9r,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)．故ha＋hb＋hc＝9r時(shí)，三角形為等邊三角形．16．答案：解：（1),，．猜想：．(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí),，猜想成立．②假設(shè)n＝k（k∈N＋，且k≥1)時(shí)，成立．當(dāng)n＝k＋1時(shí),a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1,且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak,∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(