數(shù)學(xué)互動課堂：弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。度量角的單位制：角度制、弧度制(1）角度制初中學(xué)過角度制，它是一種重要的度量角的制度.規(guī)定周角的為1度角,記作1°,用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制。（2)弧度制規(guī)定長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下，1弧度記作1rad。如圖1-1-6,的長等于半徑r,所對的圓心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.圖1-1—6（3)弧度數(shù)一般地,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是｜α|=.這里，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定。2?；￠L公式與扇形的面積公式（1)設(shè)l是以角α作為圓心角時(shí)所對的弧的長，r是圓的半徑,則有l(wèi)=｜α｜·r.其中α是角的弧度數(shù)。(2）扇形面積公式S=lr=α·r2。3。角度與弧度之間的互化（1）將角度化為弧度360°=2πrad，180°=πrad.1°=rad≈0。01745rad。（2）將弧度化為角度2πrad=360°，πrad=180°.1rad=（）°≈57.30°=57°18′.（3）弧度制與角度制的換算公式設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為α,角度數(shù)為n°,則α(rad)=()°,n°=nrad。（4)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表。度0°15°30°45°60°75°90°120°135°弧度0度150°180°210°225°240°270°300°315°360°弧度π2π5.角度制與弧度制的比較(1）弧度制是以“弧度"為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度.（2)1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角(或弧)的大小,而1°是圓的所對的圓心角（或弧）的大小.(3)不管是以“弧度”還是以“度"為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑的大小無關(guān)的定值。(4）用弧度為單位表示角的大小時(shí),“弧度”兩字可以省略不寫.如sin2是指sin(2弧度）,π=180°是指π弧度=180°;但如果以度(°)為單位表示角時(shí),度（°）就不能省去.(5）角的概念推廣以后,無論用角度制還是用弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系，每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角與它對應(yīng).活學(xué)巧用1。下列諸命題中,假命題是（）A.“度”與“弧度"是度量角的兩種不同的度量單位B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的C。根據(jù)弧度的定義，180°一定等于π弧度D。不論用角度制還是用弧度制度量角,它們與圓的半徑長短有關(guān)解析：A、B、C都正確.1弧度等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或?。┑拇笮?，而1°是圓的所對的圓心角（或弧)的大小.因此不管是以“弧度"還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑的大小無關(guān)的定值。答案：D2。圓弧長度等于其內(nèi)接正三角形邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為(）A。B.C。D。2解析：設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r,∴θ==.答案：C3。一個(gè)扇形的面積為1,周長為4,則中心角的弧度數(shù)為______________。解析：設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則2r+l=4?！鄉(xiāng)=4-2r.根據(jù)扇形面積公式S=lr得1=（4-2r）·r.∴r=1?！鄉(xiāng)=2?！鄚α｜===2?！唳?±2.答案：±24.(1）把112°30′化成弧度（精確到0。001）.（2）把112°30′化成弧度（用π表示）。(3)把—化成度.解析：（1)①n=112°30′，π=3.1416;②n=112=112。5；③a=≈0.0175；④α=na=1。96875.∴α≈1。969rad。(2)112°30′=（）°=×=.（3）—=—（×）°=—75°.答案：(1)1.969rad;（2)；（3)-75°.5.集合A={α｜α=kπ+，k∈Z｝,B=｛α｜α=2kπ±,k∈Z}的關(guān)系是(）A.A=BB.ABC。ABD.以上都不對解析：對于集合A，當(dāng)k=2n(n∈Z）時(shí),α=2nπ+,n∈Z。當(dāng)k=2n-1時(shí)，α=（2n-1)π+=2nπ—，n∈Z.∴α=2nπ±，n∈Z.∴A=B.答案:A7.下列弧度制表示的角化為2kπ+α(k∈Z，α∈［0，2π））的形式，并指出它們所在的象限。（1）-;（2);（3)-20;（4)—2。解析：對于含有π的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2kπ+α(k∈Z,|α|∈［0,2π)）的形式，再根據(jù)α角終邊所在位置進(jìn)行判斷.對于不含有π的弧度數(shù)表示的角,取π=3。14，化為k×6。28+α，k∈Z,|α｜∈［0，6.28）的形式,通過α與、π、比較,估算出角所在象限。答案：(1）—=-4π+,是第一象限角;（2）=10π+，是第二象限角；（3）-20=—3×6.28-1.16,是第四象限角；(4）—23≈-3。464，是第二象限角。8。若α是第四象限角,則π—α是（)A.第一象限角B.第二象限角