數(shù)學互動課堂：向量加法運算及其幾何意義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1。向量求和的三角形法則已知向量a、b,在平面內(nèi)任取一點A，作=a，=b，則向量叫做a與b的和向量，記作a+b，即a+b=+=.這種求兩個向量和的方法，叫做向量加法的三角形法則.（如圖2-2—1所示）圖2-2-1疑難疏引①由向量求和的三角形法則可知，兩個向量的和仍為向量.②向量求和的三角形法則的本質(zhì)是兩個加數(shù)向量的首尾相接，和向量是從一個向量的起點指向另一個向量的終點.③當兩個向量共線（平行）時，向量加法的三角形法則同樣適用.2.向量加法的運算性質(zhì)（1）對于零向量與任一向量a的和有a+0=0+a=a。(2）向量加法的交換律:a+b=b+a.簡證如下：①若a、b不共線，作=a,=b,則A、B、C三點不共線，=a+b。作=b，連結(jié)DC,(如圖2—2—2），由于=，∴四邊形ABCD為平行四邊形.∴DCAB.∴｜|=｜|=|a|，又與同向，∴=，此時有b+a=+=，即有a+b=b+a.②當a與b共線且同向時,a+b及b+a都與a同向,且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=｜b｜+｜a｜.a+b與b+a同向,故有a+b=b+a。③當a與b共線且反向時,不妨設(shè)|a｜＞｜b|,a+b與a同向，且｜a+b｜=｜a|—｜b|,b+a與a同向，且｜b+a｜=|a|-｜b|。故a+b與b+a同向,因此a+b=b+a.綜合①②③知a+b=b+a.圖2—2-2圖2—2-3（3）向量加法的結(jié)合律:（a+b）+c=a+（b+c)。驗證如下：如圖2—2—3.（a+b)+c=+=,a+(b+c)=?！?a+b）+c=a+(b+c）。疑難疏引向量加法的運算律同實數(shù)加法的運算律一致,都滿足交換律與結(jié)合律。由于向量的加法具有這兩個運算律，因此,對于多個向量加法的運算就可以按照任意的次序與組合來進行了.3。向量求和的平行四邊形法則已知兩個不共線的向量a，b，作=a，=b,則A、B、D三點不共線，以、為鄰邊作平行四邊形ABCD，則對角線上的向量=a+b.這個法則叫做向量求和的平行四邊形法則.疑難疏引兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則與平行四邊形法則是一致的，當兩向量為共線向量時，三角形法則同樣適用，而平行四邊形法則就不適用了。因此在選用兩個法則進行向量求和時應熟練、靈活.4。向量加法的實際應用向量的加法在日常生產(chǎn)、生活中應用廣泛,主要體現(xiàn)在求兩個或多個向量的和向量，可選用靈活的法則解決。案例1一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，該船實際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船實際速度.【探究】本題是用向量解決物理問題，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.圖2—2—4【解】如圖2—2—4.表示水流速度，表示船垂直于對岸的方向行駛的速度，表示船實際航行的速度，∠AOC=30°,｜｜=5km/h.∵四邊形OACB為矩形，∴|｜==10?！嗨魉俣却笮閗m/h,船實際速度為10km/h，與水流速度的夾角為30°.【規(guī)律總結(jié)】用向量解決實際問題的步驟為：①用向量表示實際量；②進行向量運算；③回扣實際問題,作出回答.活學巧用1。已知a∥b，試用向量加法的三角形法則作出向量a+b.圖2—2—5解析：a∥b時,也可用向量加法的三角形法則求出其和向量.（1）作=a,=b.則a+b=+=。如圖2—2-6所示。圖2—2-6圖2-2—7(2)作=a，=b，則a+b=+=，如圖2—2-7所示.2.已知非零向量a,b，試說明|a+b｜與|a|+｜b|的大小。解析：解答本題可用向量加法的三角形法則作出圖形輔助解決,并且要注意分類討論。(1)當a，b不共線時，根據(jù)向量求和的三角形法則顯然有｜a+b｜＜|a|+｜b｜。（2）當a,b方向相同時，有｜a+b|=｜a｜+｜b|.(3)當a，b方向相反時,有｜a+b｜＜|a|+|b｜。綜上有｜a+b|≤|a|+|b|。3。在矩形ABCD中，等于(）A。+B。+C。+D.+解析：畫出圖形,幫助分析。若對向量求和的本質(zhì)理解深刻了，也可直接按照向量加法的交換律運算.顯然D選項中，+=+=。而其他的選項運算的結(jié)果不是.答案：D4。化簡下列各式.（1)++；（2）++；（3）++++。分析：根據(jù)向量加法的運算律,對于多個向量求加法時，可以按照需要將向量組合，使之構(gòu)成首尾相接，進行運算。第（1)個可以使用結(jié)合律轉(zhuǎn)化為求++的和；第（2）個則可以直接運算；第(3）個各向量首尾相接，恰好構(gòu)成一個向量鏈，因此可直接計算。解:（1）++=++=.（2)++=0。(3）++++=。5.如圖2—2-8，在ABCD中，已知有以下4個等式：①+=;②++=；③++=；④++=0，其中正確的式子有___________個。（）A。1B。2C。3解析：本題要結(jié)合圖形及向量加法的運算律對選項中的等式一一驗證.圖2-2—8①+=+=，故①正確；②++=++=≠，故②不正確;③++=+=≠，故③不正確;④++=++=+=+=0，故④正確。答案：B6。在正六邊形中,若=a,=b，試用向量a、b將、、表示出來。分析：如圖2—2-9所示,在正六邊形中，有很多菱形、三角形，這就為使用向量求和的三角形法則或平行四邊形法則創(chuàng)造了條件。圖2—2—9解:設(shè)正六邊形的中心為P，則=+=（+)+=2a+b,=+=+=2a+2b,=+=2b+a。7.輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40km到達B處，再由B處沿正北方向行駛40km到達C處，求此時輪船與A港