第十二章全等三角形單元過關(guān)檢測(cè)02

2022—2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一單元過關(guān)檢測(cè)（2）一、選擇題（本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)涂黑）1．（4分）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）A． B． C． D．【分析】由全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案．【解答】解：根據(jù)全等圖形的定義可得C是全等圖形，故選：C．2．（4分）下列說法正確的是（）A．面積相等的兩個(gè)圖形是全等圖形 B．全等三角形的周長相等 C．所有正方形都是全等圖形 D．全等三角形的邊相等【分析】全等圖形指的是完全重合的圖形，包括邊長、角度、面積、周長等，但面積、周長相等的圖形不一定全等，要具體進(jìn)行驗(yàn)證分析．【解答】解：A、面積相等，但圖形不一定能完全重合，錯(cuò)不符合題意；B、全等三角形的周長相等，正確符合題意；C、正方形的面積不相等，也不是全等形，錯(cuò)不符合題意；D、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，錯(cuò)不符合題意．故選：B．3．（4分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，△ABC≌△DEF，BC＝8，BF＝11.5，則EC的長為（）A．5 B．4.5 C．4 D．3.5【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出EF，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵BC＝8，BF＝11.5，∴CF＝BF﹣BC＝3.5，∵△ABC≌△DEF，BC＝8，∴EF＝BC＝8，∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3.5＝4.5，故選：B．4．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝32°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．32° D．38°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角定理可得∠BAC的度數(shù)，進(jìn)一步可得∠BAD的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EAC＝∠BAD，即可確定∠EAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝70°，∵∠DAC＝32°，∴∠BAD＝38°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠EAC＝∠BAD＝38°，故選：D．5．（4分）如圖，已知線段AB＝40米，MA⊥AB于點(diǎn)A，MA＝20米，射線BD⊥AB于B，P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走1米，Q點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走3米，P、Q同時(shí)從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點(diǎn)C，使△CAP與△PBQ全等，則x的值為（）A．8 B．8或10 C．10 D．6或10【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)△APC≌△BQP時(shí)與當(dāng)△APC≌△BPQ時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可確定出時(shí)間．【解答】解：當(dāng)△APC≌△BQP時(shí)，AP＝BQ，即40﹣x＝3x，解得：x＝10；當(dāng)△APC≌△BPQ時(shí)，AP＝BP＝AB＝20米，此時(shí)所用時(shí)間x為20，AC＝BQ＝60米，不合題意，舍去；綜上，出發(fā)20后，在線段MA上有一點(diǎn)C，使△CAP與△PBQ全等．故選：C．6．（4分）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個(gè)角．如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別在取OC＝OD，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C、D重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)M的射線OM就是∠AOB的平分線，這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【分析】根據(jù)題目中的條件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根據(jù)OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并寫出依據(jù)即可．【解答】解：由題意可得，OC＝OD，MC＝MD，又∵OM＝OM，∴△OMC≌△OMD（SSS），故選：A．7．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，則下列結(jié)論正確的是（）A．2α+∠A＝180° B．α+∠A＝90° C．2α+∠A＝90° D．α+∠A＝180°【分析】先證明△BDF≌△CED，得∠BFD＝∠CDE，即可推導(dǎo)出α＝∠B＝∠C，由三角形內(nèi)角和定理得∠B+∠C+∠A＝180°，所以2α+∠A＝180°，可判斷A正確；由2α+∠A＝180°可推出α+∠A＝90°，得α+∠A≠90°，可判斷B錯(cuò)誤；由2α+∠A＝180°可得2α+∠A≠90°，可判斷C錯(cuò)誤；若α+∠A＝180°，則∠C+∠B+∠A＞180°，與三角形的內(nèi)角和等于180°相矛盾，可見α+∠A≠180°，可判斷D錯(cuò)誤．【解答】解：在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∴α＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝∠B＝∠C，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∴2α+∠A＝180°，故A正確；由2α+∠A＝180°得α+∠A＝90°，∴α+∠A≠90°，故B錯(cuò)誤；∵2α+∠A＝180°，∴2α+∠A≠90°，故C錯(cuò)誤；若α+∠A＝180°，由∠B+∠A＝180°，∴∠C+∠B+∠A＞180°，與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，α+∠A≠180°，故D錯(cuò)誤，故選：A．8．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分線交于點(diǎn)O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面積為18cm2，則△BOC的面積為（）cm2．A．27 B．54 C． D．108【分析】過O點(diǎn)作OD⊥AB于D點(diǎn)，OE⊥BC于E點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD＝OE，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△BOC：S△AOB＝BC：AB．【解答】解：過O點(diǎn)作OD⊥AB于D點(diǎn)，OE⊥BC于E點(diǎn)，如圖，∵OB平分∠ABC，∴OD＝OE，∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，∴S△BOC＝×18＝27（cm2）．故選：A．9．（4分）如圖：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中點(diǎn)D、C、E在同一條直線上，以下結(jié)論：錯(cuò)誤的是（）A．∠DCP＝65° B．∠BDC＝40° C．∠DBE＝85° D．∠E＝50°【分析】利用鄰補(bǔ)角的定義得到∠ACP＝130°，則根據(jù)角平分線的定義得到∠DCP＝65°，則可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝25°，然后利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠BDC＝40°，則可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；先利用鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義得到∠CBE＝65°，于是可計(jì)算出∠DBE＝90°，則可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠E的度數(shù)，從而可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝130°，∵CD平分∠ACP，∴∠DCP＝∠ACP＝×130°＝65°，所以A選項(xiàng)不符合題意；∵∠ABC＝50°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝×50°＝25°，∵∠DCP＝∠BDC+∠DBC，∴∠BDC＝∠DCP﹣∠DBC＝65°﹣25°＝40°，所以B選項(xiàng)不符合題意；∵∠CBM+∠ABC＝180°，∴∠CBM＝180°﹣50°＝130°，∵BE平分∠MBC，∴∠CBE＝∠CBM＝65°，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝25°+65°＝90°，所以C選項(xiàng)符合題意；∵∠BCE＝∠DCP＝65°，∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．10．（4分）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)全等三角形的定義畫出圖形，即可判斷．【解答】解：如圖，觀察圖象可知滿足條件的三角形有4個(gè)．故選：A．11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時(shí)，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．12．（4分）已知：如圖，△ABC中，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BDC＝∠AED；③AE＝AD＝EC；④S四邊形ABCE＝BF×EF．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)由SAS可證△ABD≌△EBC，可判斷①選項(xiàng)；由三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義可判斷②選項(xiàng)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷③選項(xiàng)；通過證明Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），可得S△BEF＝S△BEG，S△AEF＝S△CEG，可判斷④選項(xiàng)．【解答】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），故①選項(xiàng)正確；②∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABE），∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD），∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBD，∴∠BDC＝BEA，即∠BDC＝∠AED，故②選項(xiàng)正確；③∵∠BDC＝∠AED，∠BDC＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AE＝AD＝EC，故③選項(xiàng)正確；④過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，如圖所示：∵E是∠ABC的角平分線BD上的點(diǎn)，EF⊥AB，∴EF＝EG，∵∠BFE＝∠BGE＝90°，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，S△BEF＝S△BEG，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴S△AEF＝S△CEG，∴S四邊形ABCE＝2S△BEF＝2×BF×EF＝BF×EF，故④選項(xiàng)正確，綜上所述，正確的選項(xiàng)有4個(gè)，故選：D．二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，答題請(qǐng)用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上）13．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝2，AB＝5，則△ABD的面積為．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC＝2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本作圖可知，AP平分∠CAB，∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面積＝×AB×DE＝×5×2＝5，故答案為：5．14．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【分析】過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△ODA≌△EAB（AAS），可得OA＝BE＝1，OD＝AE，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，∵B的坐標(biāo)為（3，1），∴OE＝3，BE＝1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠BEA＝90°．∵OA⊥OD，∴∠AOD＝∠BEA＝90°．∠DAO+∠ODA＝∠BAE+∠DAO＝90°，∴∠ODA＝∠BAE，在△ODA和△EAB中，，∴△ODA≌△EAB（AAS），∴OA＝BE＝1，OD＝AE，∴OD＝AE＝OE﹣OA＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．故答案為：（0，2）．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝110°，延長BC至點(diǎn)D使CD＝AB，過點(diǎn)C作CE∥AB且使CE＝BC，連接DE并延長DE交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)H．若∠D＝20°，則∠CFE的度數(shù)為度．【分析】證明△ABC≌△DCE，可得∠A＝∠D＝20°，然后利用三角形內(nèi)角和可得∠DEC＝∠ACB＝50°，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC與△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝20°，∵∠B＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，∴∠DEC＝∠ACB＝50°，∵CE∥AB，∴∠BHF＝∠DEC＝50°，∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．故答案為：30．16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，D為△ABC邊AC上一點(diǎn)，BC＝CD，點(diǎn)M在BC的延長線上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．連接BE交AC于F，G為邊CE上一點(diǎn)，滿足CG＝CF，連接DG交BE于H．以下結(jié)論：①△ABC≌△EDC；②∠DHF＝60°；③若∠A＝60°，則AB∥CE；④若BE平分∠ABC中，則EB平分∠DEC．正確的有．（只填序號(hào)）【分析】利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的判定定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠MCE＝∠ACM＝60°，∴∠ACB＝∠ACE．在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．∴①的結(jié)論正確；在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS）．∴∠CBF＝∠CDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∴∠CDG+∠CEB＝60°．∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°，∠DCE＝60°，∴∠CDE+∠CED＝120°，∴∠HDE+∠HED＝60°，∴∠DHF＝∠HDE+∠HED＝60°．∴②的結(jié)論正確；∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，∴∠A＝∠ACE，∴AB∥CE，∴③的結(jié)論正確；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵△BCF≌△DCG，∴∠CBE＝∠CDG．∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．∵△ABC≌△EDC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG+∠DEB＝60°，∴∠CBF+∠BEC＝∠EDG+∠DEB，∴∠BEC＝∠DEB．即EB平分∠DEC．∴④的結(jié)論正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②③④，故答案為：①②③④．三、解答題（本題共8個(gè)小題，共86分，答題請(qǐng)用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明步驟或演算步驟.）17．（8分）如圖，C、E分別在AB、DF上，O是CF的中點(diǎn)，EO＝BO，求證：∠ACE+∠DEC＝180°．證明：∵O是CF的中點(diǎn)，∴＝，在△COB和△FOE中，．∴△COB≌△FOE（），∴∠＝∠，（）．∴AB∥DF，（）．∴∠ACE+∠DEC＝180°．（）．【分析】先通過證明△COB≌△FOE，利用全等三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OEF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出AB∥DF，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．【解答】證明：∵O是CF的中點(diǎn)，∴CO＝FO，在△COB和△FOE中，，∴△COB≌△FOE（SAS），∴∠OBC＝∠OEF（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∴AB∥DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠ACE+∠DEC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：CO；FO；SAS；OBC；OEF；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．18．（8分）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)不同單元樓，他們想要測(cè)量小明家所在單元樓AB的高度，首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)E，然后小華在自己家陽臺(tái)C處測(cè)得E處的俯角為∠1，小明站在E處測(cè)得眼睛F到AB樓端點(diǎn)A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，試求單元樓AB的高．【分析】過F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：過F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，在△AFG與△ECD中，，∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：單元樓AB的高為39米．19．（10分）如圖所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上且BE＝CF．（1）求證：∠E＝∠F；（2）若PO平分∠EPF，則PO與線段BC有什么關(guān)系？為什么？【分析】（1）根據(jù)已知條件證明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF為等腰三角形，又因?yàn)镻O平分∠EPF，根據(jù)三線合一可知PO垂直平分EF，從而得出PO垂直平分BC．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，BC＝CB，∴BF＝CE，在Rt△ABF與Rt△DCE中，∵，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴∠E＝∠F；（2）解：PO垂直平分BC，∵Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠E＝∠F，∴△PEF為等腰三角形，又∵PO平分∠EPF，∴PO⊥BC（三線合一），EO＝FO（三線合一），又∵EB＝FC，∴BO＝CO，∴PO垂直平分BC．20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在AC上，且DF＝BD．（1）求證：BE＝CF；（2）若AB＝20，AF＝8，求BE的長．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出DC＝DE，再由HL證明Rt△DCF≌Rt△DEB即可得證；（2）由HL證明Rt△ADC≌Rt△ADE，得出AC＝AE，結(jié)合（1）中CF＝BE進(jìn)而得出AB＝AF+BE+BE，即可求解．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，∴DC＝DE，又∵DF＝BD，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），∴BE＝CF；（2）解：在Rt△ADC與Rt△ADE中，∵DE＝CD，AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∵AB＝AE+BE＝AC+BE，AC＝AF+CF，由（1）知，CF＝BE，∴AB＝AF+BE+BE，即20＝8+2BE，∴BE＝6．21．（12分）在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖①，求證：∠ABC＝∠ADE；（2）如圖②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，點(diǎn)C在線段BE上，則∠D＝度．【分析】（1）由AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”即可證明△ABC≌△ADE，則∠ABC＝∠ADE；（2）由AC＝AE，AD平分∠CAE得AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，則∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，所以∠D＝∠ABC＝30°．【解答】（1）證明：如圖①，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ABC＝∠ADE．（2）解：如圖②，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)F，∵AC＝AE，AD平分∠CAE，∴AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴∠ABC＝30°，由（1）得∠ABC＝∠D，∴∠D＝30°，故答案為：30．22．（12分）為了測(cè)量一池塘的兩端A，B之間的距離，同學(xué)們想出了如下的兩種方案：方案①如圖1，先在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點(diǎn)D，BC至點(diǎn)E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的長；方案②如圖2，過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過D作BD的垂線DE，在垂線上選一點(diǎn)E，使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，則測(cè)出DE的長即是AB的距離．問：（1）方案①是否可行？請(qǐng)說明理由；（2）方案②是否可行？請(qǐng)說明理由；（3）小明說在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，請(qǐng)把小明所說的條件補(bǔ)上．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△DCE≌△ACB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)ASA證明△ABC≌△EDC，進(jìn)一步即可得證；（3）只需要AB∥DE，此時(shí)∠ABC＝∠EDC，證明△ABC≌△EDC（ASA）即可得證．【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：在△DCE和△ACB中，，∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE＝AB，∴方案①可行；（2）方案②可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，故方案②可行；（3）只需要AB∥DE，此時(shí)∠ABC＝∠EDC，證明步驟同（2），故答案為：AB∥DE．23．（12分）問題情境：（1）如圖1，∠AOB＝90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)P作PN⊥OA于點(diǎn)N，作PM⊥OB于點(diǎn)M，請(qǐng)寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；變式拓展：（2）如圖2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE邊與OA邊相交于點(diǎn)E，PF邊與射線OB的反向延長線相交于點(diǎn)F，∠MPN＝∠EPF．試解決下列問題：①PE與PF之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？為什么？②若OP＝2OM，試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】問題情境：（1）過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結(jié)論；變式拓展：（2）①過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結(jié)論；②結(jié)論：OE﹣OF＝OP．證明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得結(jié)論．【解答】問題情境：證明：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；變式拓展：①解：結(jié)論：PE＝PF．理由：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∵∠PON＝60°，∴∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；②解：結(jié)論：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．24．（14分）如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“倍分線”．（1）如圖1，若∠AOB＝60°，射線OC繞點(diǎn)O從OB位置開始，以每秒15°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒，且0≤t≤12．①當(dāng)t＝2秒時(shí)，OC∠AOB的“倍分線”；（填“