第九章中心對(duì)稱圖形平行四邊形（旋轉(zhuǎn)最值動(dòng)點(diǎn)和四邊形綜合壓軸）

第九章中心對(duì)稱圖形平行四邊形（壓軸題專練）一、旋轉(zhuǎn)（幾何問(wèn)題）1．如圖與為正三角形，點(diǎn)O為射線上的動(dòng)點(diǎn)，作射線與直線相交于點(diǎn)E，將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線，射線與直線相交于點(diǎn)F．(1)如圖①，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段，上，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)O在的延長(zhǎng)線上時(shí)，E，F(xiàn)分別在線段的延長(zhǎng)線和線段的延長(zhǎng)線上，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；(3)點(diǎn)O在線段上，若，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解答(2)(3)滿足條件的的值為4或2或6【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，易得，由“”可證；（2）過(guò)點(diǎn)O作交與點(diǎn)H，可證是等邊三角形，可得，由“”可證，可得，即可得；（3）分四種情形畫(huà)出圖形分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：如圖①中，∵與為正三角形，∴，，∵將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，；（2）解：，理由如下：，如圖②，過(guò)點(diǎn)O作交與點(diǎn)H，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，；（3）解：作于H．，為正三角形，，，，如圖③中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)E在線段上時(shí)．，，，過(guò)點(diǎn)O作，交于N，是等邊三角形，，，，，，，，，，，；如圖③﹣2中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可證：，，；如圖③﹣3中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在線段上，點(diǎn)E在線段上時(shí)．同法可證：，，，；如圖③中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段上時(shí)．同法可知：，而，，；綜上所述，滿足條件的的值為4或2或6．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．2．在中，，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在射線上，．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，猜想線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【類比遷移】（2）如圖2，若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊中，點(diǎn)D，E在邊上，，，，求的面積．【答案】（1）（2）（1）中的結(jié)論成立，（3）【分析】（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使得與重合，連接，可得，由“”可證，可得，由勾股定理可求解；（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由（1）可知：，得出，則可得出結(jié)論；（3）如圖3，將沿折疊得，將沿折疊得，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，由直角三角形的性質(zhì)可求，由勾股定理可求解．【詳解】（1）．證明：如圖1，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使得與重合，連接，，在和中，在中，由勾股定理知：，（2）（1）中的結(jié)論仍成立．理由：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由（1）可知：，（3）∵，∴，將沿折疊得，將沿折疊得，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，，如圖，過(guò)A作，則的邊上的高【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題關(guān)鍵．3．知：，其中，直線交直線于點(diǎn)．

(1)圖1中，點(diǎn)在上，求證：；(2)若將圖1中的繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，圖3，你認(rèn)為（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出，與之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若，，則___________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不成立，見(jiàn)解析(3)3或13【分析】（1）連接，由，可得，，即可證明，有，從而；（2）圖2中連接，證明，得，可得；圖3中連接，證明，可得；（3）分為當(dāng)在線段上時(shí)及當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）證明：連接，

，，，，，，，，，；（2）：（1）中的結(jié)論不成立，圖2中，理由如下：連接，

，，，，，，，，，；圖3中，理由如下：連接，

，，，，，，，，，；（3）解：當(dāng)在線段上時(shí)，由（1）知，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）可知，；綜上所述，的長(zhǎng)為3或13．故答案為：3或13．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．最值問(wèn)題4．如圖，菱形中，，，點(diǎn)、、分別為線段、、上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題作圖，再利用直線外一點(diǎn)到直線的距離垂線段最短確定最短距離并計(jì)算即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)落在線段上，連接∴當(dāng)在同一直線并且時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)∴最小為故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱求最短距離以及直線外一點(diǎn)到直線的距離垂線段最短的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱確定最短路線以及菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問(wèn)題，需要通過(guò)軸對(duì)稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作交AB于點(diǎn)F，∵A與關(guān)于BC對(duì)稱，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，O，E在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)，∵正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∴，∵對(duì)稱，∴，∴，在中，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵。6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于H，Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則BP+PH+HQ的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)C是OB的中點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合矩形性質(zhì)得出，兩點(diǎn)對(duì)稱公式得出點(diǎn)；利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，則，由三點(diǎn)之間直線最短可知的值最小時(shí)，即，可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵，,為的中點(diǎn)，點(diǎn)．∴,∵四邊形AOCD為矩形,∴,PH⊥OA于H，∴，∴，∴四邊形為矩形,，，∴,∴四邊形是平行四邊形，∴,∵Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，A（﹣4，0），B（0，4），∴點(diǎn)．∴．當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，的值最小，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形中的線段最短問(wèn)題，恰當(dāng)利用四邊形（平行四邊形）的性質(zhì)定性構(gòu)造等量關(guān)系，理解并掌握三角形三邊關(guān)系定理（三點(diǎn)共線時(shí)取得最值）是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，，，點(diǎn)P為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，分別交BD、CD于點(diǎn)E、Q，則的最小值為．【答案】4【分析】在長(zhǎng)方形中，求出，，設(shè)，用勾股定理可得，可得，用勾股定理可得最小值．【詳解】解：在長(zhǎng)方形中，，，，，設(shè)，則，，在中，，，，在中，，，在中，，，如圖：設(shè)，，，，，，則，，由圖可知，當(dāng)、、共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，則四邊形是矩形，在中，，，，最小值是4，最小值是4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)，用含的代數(shù)式表示，再構(gòu)造數(shù)學(xué)模型用勾股定理即可求得答案．8．如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為16，∠DAC＝30°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是．【答案】【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接PD，DE．由四邊形ABCD是菱形，可得：，．可知AC垂直平分BD，所以．可得，即．由四邊形ABCD是菱形，,可得．由四邊形ABCD是菱形且周長(zhǎng)是16，可得．結(jié)合，可得是等邊三角形．由于點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，可得．所以．由，可得．在中，由直角三角形性質(zhì)，可求出．由勾股定理可得，可求出．所以的最小值為．【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接PD，DE四邊形ABCD是菱形，，，，AC垂直平分BD即，菱形ABCD的周長(zhǎng)為16是等邊三角形點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)在中，在中，由勾股定理得的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)點(diǎn)為：菱形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．若要最小，應(yīng)讓PE、PB，在同一直線上，所以需將其中一條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移．掌握上述知識(shí)點(diǎn)和求最值的思路，是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E在AB上，BE＝2，點(diǎn)M，N為AC上動(dòng)點(diǎn)，且，連接BN，EM，則四邊形BEMN周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】連接BD、DN，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接NF、DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行四邊形的判定可證明四邊形MEFN是平行四邊形得到ME=NF，BN=DN，利用三角形三邊關(guān)系可得ME+BN=NF+DN≥DF（當(dāng)D、N、F共線時(shí)取等號(hào)），利用勾股定理求得DF即可求解．【詳解】解：連接BD、DN，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F，則BE=BF=2，連接NF、DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，點(diǎn)F在BC上，∴EF∥AC，EF==MN，∴四邊形MEFN是平行四邊形，∴ME=NF，∴ME+BN=NF+DN≥DF（當(dāng)D、N、F共線時(shí)取等號(hào)），在Rt△DCF中，CD=8，CF=82=6，則DF==10，∴ME+BN≥10，∴MN+BE+ME+BN≥+2+10=12+，即則四邊形BEMN的周長(zhǎng)的最小值為12+，故答案為：12+．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問(wèn)題，涉及正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握正方形的對(duì)稱性質(zhì)，會(huì)利用三角形的三邊關(guān)系找的DF為最小是解答的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，若P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小值為．【答案】【分析】要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，即四邊形APQE的周長(zhǎng)最小．【詳解】在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．則四邊形APQF是平行四邊形∴PA=FQ=GQ∵E為CD邊的中點(diǎn)∴DE=EC=2∴∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴，∴四邊形APQE的周長(zhǎng)的最小值=QE+EA+PQ+AP=+EQ+2+AP=+EQ+2+QG=+EG+2=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求．（特殊）平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題10．有一邊長(zhǎng)為的正方形和等腰直角，，．點(diǎn)，，Q，在同一條直線l上，當(dāng)，Q兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰直角以秒的速度沿直線l按箭頭所示方向開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，t秒后正方形與等腰直角重合部分的面積為，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)Q在線段上時(shí)，___________；當(dāng)Q在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，___________（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)秒時(shí)，求S的值．(3)當(dāng)重合部分為四邊形時(shí)，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示S，并注明t的取值范圍．(4)當(dāng)點(diǎn)P到正方形的兩條豎直的邊的距離之比是時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)或或或13【分析】本題考查了正方形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形的面積，分類討論等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類，找出數(shù)量關(guān)系．（1）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的右側(cè)，此時(shí)的邊長(zhǎng)是3；（3）先根據(jù)臨界確定兩種情形：和，進(jìn)而確定的邊長(zhǎng)，從而求得；（4）分為點(diǎn)在的右側(cè)，在和之間及在左側(cè)，設(shè)到距離是，距離是，列出二元一次方程組求得．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線時(shí)，．（2）解：如圖1，作于，，，，，四邊形是正方形，，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)和和點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖2，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖3，，，，當(dāng)時(shí)，如圖4，此時(shí)是五邊形或三角形，；（4）解：設(shè)點(diǎn)到的距離是，到的距離是，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，，，，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在和之間時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，，，，此時(shí)，綜上所述：或或或13．11．有一邊長(zhǎng)為的正方形和等腰直角，，．點(diǎn)，，，在同一條直線上，當(dāng)，兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰直角以秒的速度沿直線按箭頭所示方向開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，秒后正方形與等腰直角重合部分的面積為，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)在線段上時(shí)，_________；當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，_________（用含的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)秒時(shí)，求的值．(3)當(dāng)重合部分為四邊形時(shí)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示，并注明的取值范圍．(4)當(dāng)點(diǎn)到正方形的兩條豎直的邊的距離之比是時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)或(2)(3)(4)或或或13【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的右側(cè)，此時(shí)的邊長(zhǎng)是3；（3）先根據(jù)臨界確定兩種情形：和，進(jìn)而確定的邊長(zhǎng)，從而求得；（4）分為點(diǎn)在的右側(cè)，在和之間及在左側(cè)，設(shè)到距離是，距離是，列出二元一次方程組求得．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線時(shí)，，故答案是或；（2）如圖1，作于，∵，，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)和和點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，如圖2，∵，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，如圖3，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，如圖4，此時(shí)是五邊形或三角形，∴；（4）設(shè)點(diǎn)到的距離是，到的距離是，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，∵，∴，∴，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在和之間時(shí)，當(dāng)時(shí)，∵，∴，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，∵，∴，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，∵，，∴，此時(shí)，綜上所述：或或或13．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，分類討論等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類，找出數(shù)量關(guān)系．12．如圖，在中，邊上的高為8．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒），連結(jié)．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的值．(2)當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．(3)當(dāng)時(shí)，求的值．(4)當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)5(2)(3)2或(4)4【分析】（1）由題意可得，即可；（2）根據(jù)題意可得，從而得到，即可；（3）分兩種情況，點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，則四邊形是矩形；點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，即可解決問(wèn)題；（4）分兩種情況，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)分別求出t的值即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，由題意得：，解得：，即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，t的值為5；（2）解：當(dāng)點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得：，∴，即的長(zhǎng)為；（3）解：①∵四邊形是平行四邊形，∴，分兩種情況：點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，則四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，解得：；②點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，∴∴，∴，同①得：，∴，解得：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，t的值為2或；（4）解：分兩種情況：點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵，∴，∵，∴四邊形是等腰梯形，如圖3，過(guò)A作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，則四邊形是矩形，∴，∴，由（3）得：，∴，解得：；當(dāng)點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵，∴，當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，如圖，過(guò)A作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，則四邊形是矩形，∴，∴，由（3）得：，∴，解得：；如圖，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，則，∴，解得：；綜上所述，當(dāng)時(shí)，t的值為4或或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰梯形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．13．如圖，是直角梯形，，，，點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始，沿邊向點(diǎn)A以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)開(kāi)始，沿DC邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、D同時(shí)出發(fā)，P、Q有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t．(1)t為時(shí)四邊形是平行四邊形；(2)t為何值時(shí)四邊形是矩形？(3)t為時(shí)四邊形是等腰梯形．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查的是等腰梯形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知一組對(duì)邊平行不相等，另一組對(duì)邊不平行但相等的四邊形是等腰直角梯形是解題的關(guān)鍵．（1）若四邊形是平行四邊形，則，即，即可得到答案；（2）若四邊形是矩形，則，即，即可得到答案；（3）分別過(guò)點(diǎn)作，由于是直角梯形，故四邊形是矩形，，若四邊形是等腰梯形，故，由此求出答案．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，即，，解得；（2）解：四邊形是矩形，，即，，解得；（3）解：分別過(guò)點(diǎn)作，是直角梯形，，，四邊形是矩形，，四邊形是等腰梯形，故，，即，．14．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，．(1)四邊形能構(gòu)成菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，四邊形能構(gòu)成菱形，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)或時(shí)，為直角三角形．理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得，，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，得到得四邊形為菱形，得，進(jìn)而求得的值；（2）分、兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出算式，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可知，，，，．，，．，，∴．，，∴四邊形為平行四邊形，∴要使平行四邊形為菱形，則需，即，解得，∴當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；（2）解：當(dāng)時(shí)，如圖①，

，，，四邊形為矩形．，即，解得，；當(dāng)時(shí)，如圖②，

，，∴．，即，解得，，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直角三角形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四邊形綜合問(wèn)題15．如圖1，已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸，y軸的平行線交x軸，y軸于點(diǎn)A、C．點(diǎn)D為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與關(guān)于直線對(duì)稱，連接．(1)請(qǐng)判斷四邊形的形狀；(2)若，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖2，若，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求的長(zhǎng)．【答案】(1)四邊形是矩形(2)18或2(3)【分析】（1）由題意可得，則四邊形是矩形；（2）當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，D、、B三點(diǎn)共線，再由，得到，則，用勾股定理求出，則；當(dāng)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，、B、D三點(diǎn)共線，再由，推導(dǎo)出，則，勾股定理求出，則；（3）連接、交于點(diǎn)G，利用折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角定理得到，再由，求出，則，可得是等腰直角三角形，等積法求出，勾股定理求出，再由是中位線，得到，即可求．【詳解】（1）解：軸，軸，，∴四邊形是矩形；（2）解：∵點(diǎn)，，，由折疊可知，，為直角三角形，，當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，，∴D、、B三點(diǎn)共線，，，，，，，；當(dāng)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，∴、B、D三點(diǎn)共線，，，，，，，，；綜上所述：的長(zhǎng)為18或2；（3）解：連接交于點(diǎn)G，由折疊可知，，，，∵點(diǎn)，，由折疊可知，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．小明在學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對(duì)特殊平行四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)【概念理解】在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是_________．(2)【性質(zhì)探究】通過(guò)探究，小明發(fā)現(xiàn)了垂美四邊形的一些性質(zhì)：垂美四邊形的面積S與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系為：_________．(3)【問(wèn)題解決】如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和．連接，已知．求證：四邊形為垂美四邊形，并求出它的面積．(4)【學(xué)以致用】請(qǐng)直接寫(xiě)出（3）中的長(zhǎng)．【答案】(1)菱形、正方形(2)(3)證明見(jiàn)解析，面積為(4)【分析】（1）由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）四邊形的面積=的面積+的面積；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得和全等，得出，由得出，再根據(jù)對(duì)頂角相等得到，于是有，從而得出，根據(jù)垂美四邊形的定義得出四邊形為垂美四邊形，根據(jù)垂美四邊形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半即可得出結(jié)果．（4）勾股定理求出，設(shè)，雙勾股定理求出的值，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，正方形，一定是垂美四邊形的是菱形，正方形，故答案為：菱形，正方形；（2）如圖1所示：

∵四邊形的面積=的面積+的面積∴；故答案為：；（3）證明：連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，

四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，即，在和中，，，，，，，，，，即，四邊形為垂美四邊形；四邊形是正方形，，，，，點(diǎn)、、在一條直線上，在中，，，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，∵，，四邊形為垂美四邊形，四邊形的面積是．（4）∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則：，∴，即：，解得：，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查的是垂美四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．【定義學(xué)習(xí)】定義：如果四邊形有一組對(duì)角為直角，那么我們稱這樣的四邊形為“對(duì)直四邊形”．【判斷嘗試】（1）在①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“對(duì)直四邊形”的是______；（填序號(hào)）（2）如圖，四邊形是對(duì)直四邊形，若，，，，則邊的長(zhǎng)是______；【操作探究】如圖，在菱形中，，，于點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶吷险乙稽c(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、組成的四邊形為“對(duì)直四邊形”，畫(huà)出示意圖，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)是______；【拓展延伸】如圖，在正方形中，，點(diǎn)、、分別從點(diǎn)、、同時(shí)出發(fā)，并分別以每秒、、個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，分別沿正方形的邊、、方向運(yùn)動(dòng)保持，再分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線交于點(diǎn)，連接、．（1）試說(shuō)明：四邊形為對(duì)直四邊形．（2）在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是______；【實(shí)踐應(yīng)用】某加工廠有一批四邊形板材，形狀如圖所示，其中米，米，，現(xiàn)根據(jù)客戶要求，需將每張四邊形板材進(jìn)一步分割成兩個(gè)等腰三角形板材和一個(gè)“對(duì)直四邊形”板材，且這兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)相等，要求材料充分利用無(wú)剩余請(qǐng)直接寫(xiě)出分割后得到的等腰三角形的腰長(zhǎng)是______．

【答案】判斷嘗試：（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：（1）見(jiàn)解析；（2）；實(shí)踐應(yīng)用：4或【分析】嘗試判斷（1）矩形和正方形的對(duì)角是直角；（2）連接，根據(jù)勾股定理求得結(jié)果；探究操作連接，則，是等邊三角形，故取的中點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果；拓展延伸（1）延長(zhǎng)，交于，可證得≌，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）求邊長(zhǎng)是的正方形的對(duì)角線即可；實(shí)踐應(yīng)用一種情形：作于，作于，可得四邊形是矩形，和是腰長(zhǎng)相等的等腰直角三角形；另一種情形：作同上可知：四邊形是“對(duì)直四邊形”，和是腰長(zhǎng)相等的等腰直角三角形．【詳解】嘗試判斷解：（1）∵矩形和正方形的四個(gè)角都