專題02二次根式的乘除(原卷版+解析)

專題02二次根式的乘除法目錄TOC\o"1-1"\h\u12556必備知識點 130951考點一二次根式的性質與化簡 223008考點二最簡二次根式 330951考點一二次根式的乘除法 523008考點二分母有理化5知識導航知識導航必備知識點1．二次根式的性質和化簡（1）二次根式的基本性質：

①≥0；a≥0（雙重非負性）．

②（）2=a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．

③（算術平方根的意義）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質進行化簡；

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．2．最簡二次根式（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．

最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．3.二次根式的乘除法（1）積的算術平方根性質：=·（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：·=（a≥0，b≥0）（3）商的算術平方根的性質：（a≥0，b>0）（4）二次根式的除法法則：（a≥0，b>0）4.分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．

一個二次根式的有理化因式不止一個．

例如：的有理化因式可以是，也可以是，這里的a可以是任意有理數(shù)．考點一二次根式的性質與化簡1．下列計算正確的是（）A． B． C． D．2．當x＞2時，＝（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）3．化簡的結果為（）A．5 B．10 C．5 D．54．若＝3﹣a，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜3 B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)＞3 D．a(chǎn)≥35．下列計算正確的是（）A． B． C． D．6．下列計算正確的是（）A． B． C． D．7．已知實數(shù)﹣1＜a＜，化簡|a+1|+＝．8．化簡+（）2＝．9．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖中的A、B兩點．（1）A點與表示﹣1點的距離是；（2）化簡．考點二最簡二次根式10．下列根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．11．下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．12．下列二次根式中，最簡二次根式有（）個．；；；；．A．1 B．2 C．3 D．413．下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．14．我們把形如a+b（a，b為有理數(shù)，為最簡二次根式）的數(shù)叫做型無理數(shù)，如2+1是型無理數(shù)，則（﹣）2屬于無理數(shù)的類型為（）A．型 B．型 C．型 D．型15．下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．16．若二次根式是最簡二次根式，則x可取的最小整數(shù)是．17．計算：（1）＝；（2）＝；（3）＝．18．將下列二次根式化成最簡二次根式，然后找出其中被開方式相同的二次根式：，，，，19．把（a﹣b）化成最簡二次根式．20．已知和是相等的最簡二次根式．（1）求a，b的值；（2）求的值．考點三二次根式的乘除法21．計算（）2的結果是（）A．5﹣2a B．﹣1 C．﹣1﹣2a D．122．下列各式中正確的是（）A． B． C． D．23．計算：．24．計算：（1）a3?a+（﹣a2）3÷a2．（2）．25．對于二次根式的性質＝中，關于a、b的取值正確的說法是（）A．a(chǎn)≥0，b≥0 B．a(chǎn)≥0，b＞0 C．a(chǎn)≤0，b≤0 D．a(chǎn)≤0，b＜0考點四分母有理化26．以下選項中，與的積為有理數(shù)的是（）A． B．3 C．2 D．27．（1）計算：2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y．（2）計算：（）﹣2+20220﹣÷．專題02二次根式的乘除法目錄TOC\o"1-1"\h\u12556必備知識點 130951考點一二次根式的性質與化簡 323008考點二最簡二次根式 630951考點一二次根式的乘除法 1123008考點二分母有理化13知識導航知識導航必備知識點1．二次根式的性質和化簡（1）二次根式的基本性質：

①≥0；a≥0（雙重非負性）．

②（）2=a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．

③（算術平方根的意義）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質進行化簡；

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．2．最簡二次根式（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．

最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．3.二次根式的乘除法（1）積的算術平方根性質：=·（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：·=（a≥0，b≥0）（3）商的算術平方根的性質：（a≥0，b>0）（4）二次根式的除法法則：（a≥0，b>0）4.分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．

一個二次根式的有理化因式不止一個．

例如：的有理化因式可以是，也可以是，這里的a可以是任意有理數(shù)．考點一二次根式的性質與化簡1．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質以及立方根的性質即可求出答案．【解答】解：A、原式＝16，故A符合題意．B、與不是同類二次根式，不能合并，故B不符合題意．C、原式＝﹣1，故C不符合題意．D、原式＝，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題考查二次根式的性質與化簡以及立方根，解題的關鍵是正確運用二次根式與立方根的性質，本題屬于基礎題型．2．當x＞2時，＝（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）【分析】根據(jù)＝|a|的進行計算即可．【解答】解：∵x＞2，∴＝|2﹣x|＝x﹣2，故選：B．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握＝|a|是解題的關鍵．3．化簡的結果為（）A．5 B．10 C．5 D．5【分析】根據(jù)積的算術平方根的性質進行解答即可．【解答】解：＝5，故選：D．【點評】本題考查的是二次根式的性質和化簡，利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來是解題的關鍵．4．若＝3﹣a，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜3 B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)＞3 D．a(chǎn)≥3【分析】根據(jù)二次根式的性質得出a﹣3≤0，求出即可．【解答】解：∵＝3﹣a，∴a﹣3≤0，解得：a≤3．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的性質的應用，注意：當a≤0時，＝﹣a，當a≥0時，＝a．5．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用算術平方根及立方根定義計算各項，即可做出判斷．【解答】解：A、原式?jīng)]有意義，錯誤；B、原式?jīng)]有意義，錯誤；C、原式＝|﹣4|＝4，錯誤；D、原式＝﹣4，正確，故選：D．【點評】此題考查了立方根，以及算術平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．6．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用算術平方根的定義對A進行判斷；利用二次根式的性質對B進行判斷；利用平方根的定義對C進行判斷；利用二次根式的定義對D進行判斷．【解答】解：A．＝2，所以A選項不符合題意；B．＝|﹣9|＝9，所以B選項符合題意；C．±＝±6，所以C選項不符合題意；D．沒有意義，所以D選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡：靈活運用二次根式的性質是解決問題的關鍵．7．已知實數(shù)﹣1＜a＜，化簡|a+1|+＝3．【分析】根據(jù)絕對值的意義及二次根式的性質進行化簡．【解答】解：∵﹣1＜a＜，∴a+1＞0，a﹣2＜0，∴原式＝a+1+2﹣a＝3，故答案為：3．【點評】本題考查絕對值及二次根式的化簡，理解絕對值的意義及二次根式的性質＝|a|是解題關鍵．8．化簡+（）2＝3x﹣10．【分析】先根據(jù)有意義，得到x，再根據(jù)+＝+2x﹣7求解即可．【解答】解：∵有意義，∴2x﹣7≥0，∴，∴＝＝x﹣3+2x﹣7＝3x﹣10，故答案為：3x﹣10．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡，完全平方公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．9．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖中的A、B兩點．（1）A點與表示﹣1點的距離是a+1；（2）化簡．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式可得答案；（2）根據(jù)數(shù)軸可知b﹣1＞0，b﹣2＜0，然后根據(jù)二次根式的性質化簡即可．【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)軸可知：A點與表示﹣1點的距離是a+1，故答案為：a+1；（2）原式＝b﹣1+＝b﹣1+2﹣b＝1．【點評】此題考查的是二次根式的性質與化簡、實數(shù)與數(shù)軸，掌握二次根式的性質是解決此題關鍵．考點二最簡二次根式10．下列根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】A：被開方數(shù)含分母；B：被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)或因式；C：符合最簡二次根式的兩個條件；D：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式【解答】解：A：原式＝，∴不符合題意；B：原式＝2，∴不符合題意；C：原式＝，∴符合題意；D：原式＝|x|，∴不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式是解題關鍵．11．下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義知道最簡二次根式（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【解答】解：A，B選項，被開方數(shù)中含有分母，故A，B選項不符合題意；C選項，＝2，故C選項不符合題意；D選項，是最簡二次根式，故D選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，掌握最簡二次根式（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關鍵．12．下列二次根式中，最簡二次根式有（）個．；；；；．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：最簡二次根式有，，，共3個，故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，滿足下列兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)和因式．13．下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：A、的被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、＝2的被開方數(shù)中含有能開得盡的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、＝2的被開方數(shù)中含有能開得盡的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、是最簡二次根式，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是最簡二次根式的定義，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．14．我們把形如a+b（a，b為有理數(shù)，為最簡二次根式）的數(shù)叫做型無理數(shù)，如2+1是型無理數(shù)，則（﹣）2屬于無理數(shù)的類型為（）A．型 B．型 C．型 D．型【分析】先根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質進行計算，再根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：（﹣）2＝6﹣2××+2＝﹣4+8，屬于型無理數(shù)，故選：B．【點評】本題考查了最簡二次根式，二次根式的性質和無理數(shù)，能根據(jù)二次根式的性質進行計算是解此題的關鍵．15．下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．＝3，被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B．的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C．是最簡二次根式，故本選項符合題意；D．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，注意：滿足下列兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．16．若二次根式是最簡二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可．【解答】解：∵二次根式是最簡二次根式，∴2x+7≥0，∴2x≥﹣7，∴x≥﹣3.5，∵x取整數(shù)值，當x＝﹣3時，二次根式為＝1，不是最簡二次根式，不合題意；當x＝﹣2時，二次根式為，是最簡二次根式，符合題意；∴若二次根式是最簡二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟記定義是解答此題的關鍵．17．計算：（1）＝3；（2）＝；（3）＝0.5．【分析】根據(jù)二次根式的性質化成最簡二次根式即可．【解答】解：（1）＝＝3；（2）＝；（3）＝0.5；故答案為：（1）3；（2）；（3）0.5．【點評】本題主要考查了最簡二次根式，熟練掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．18．將下列二次根式化成最簡二次根式，然后找出其中被開方式相同的二次根式：，，，，【分析】根據(jù)二次根式的性質把各個二次根式化簡，根據(jù)題意判斷即可．【解答】解：＝2，＝3，＝2，＝，＝，∴、、是被開方式相同的二次根式，、是被開方式相同的二次根式．【點評】本題考查的是二次根式的化簡、掌握二次根式的性質是解題的關鍵．19．把（a﹣b）化成最簡二次根式．【分析】直接利用二次根式的性質結合問題得出a﹣b的符號，進而化簡即可．【解答】解：（a﹣b）＝﹣＝﹣．【點評】此題主要考查了二次根式的化簡，正確判斷得出a﹣b的符號是解題關鍵．20．已知和是相等的最簡二次根式．（1）求a，b的值；（2）求的值．【分析】（1）根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程組求出a，b的值；（2）根據(jù)算術平方根的概念解答即可．【解答】解：（1）∵和是相等的最簡二次根式，∴．解得，，∴a的值是0，b的值是2；（2）＝＝2．【點評】本題考查的是最簡二次根式的概念、同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．考點三二次根式的乘除法21．計算（）2的結果是（）A．5﹣2a B．﹣1 C．﹣1﹣2a D．1【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a的取值范圍，進而化簡二次根式得出答案．【解答】解：∵有意義，∴2﹣a≥0，解得：a≤2，則a﹣3＜0，原式＝2﹣a+3﹣a＝5﹣2a．故選：A．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件、二次根式的性質，正確得出a的取值范圍是解題關鍵．22．下列各式中正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質分別化簡得出答案．【解答】解：A.＝2，故此選項不合題意；B.＝2，故此選項不合題意；C．（）2＝2，故此選項符合題意；D．（﹣）2＝2，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性質，正確化簡二次根式是解題關鍵．23．計算：．【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．24．計算：（1）a3?a+（﹣a2）3