專題46以幾何為背景的直角三角形的存在性問(wèn)題(原卷版+解析)

專題46以幾何為背景的直角三角形的存在性問(wèn)題【題型演練】一、解答題1．正方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)F．(1)如圖1，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連結(jié)，求證：；(2)如圖2，是由沿射線平移得到的，點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)H．①若，求的長(zhǎng)；②連結(jié)，求證：是等腰直角三角形．2．已知：和均為等腰直角三角形，，，，按圖1放置，使點(diǎn)在上，取的中點(diǎn)，連接，．我們現(xiàn)給出如下結(jié)論：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中，的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；(2)探究證明：將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，再連接，取的中點(diǎn)（如圖2），問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(3)拓展延伸：將圖1中的繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（轉(zhuǎn)動(dòng)角度在到之間），再連接，取的中點(diǎn)（如圖3），問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．3．（1）如圖1，平分，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，其他條件不變，將圖1中的繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交射線于點(diǎn)B，寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說(shuō)明理由；（3）如圖3，為等邊三角形，，P為邊的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)使射線交直線于點(diǎn)M，射線交直線于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．4．如圖，是邊長(zhǎng)是的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，方向勻速移動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，與的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)在點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否能成為等邊三角形？若能，請(qǐng)求出t，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)則當(dāng)t為何值時(shí)，是直角三角形？5．等腰，，，為的中點(diǎn)，小慧拿著含角的透明三角板，使角的頂點(diǎn)落在，三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖，當(dāng)三角板的兩邊分別交、于點(diǎn)、時(shí)，求證：；(2)操作：將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖情形時(shí)，三角板的兩邊分別交的延長(zhǎng)線、邊于點(diǎn)、，①探究：與還相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）②探究：連接，與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；③設(shè)，的面積為，試用的代數(shù)式表示（直接寫(xiě)出答案即可）6．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，過(guò)中點(diǎn)作正，過(guò)點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、、已知點(diǎn)、分別是線段、的動(dòng)點(diǎn)，且是等邊三角形．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)①求證：②試判斷的結(jié)果是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)值．(3)設(shè)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，若點(diǎn)落在的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍．7．已知為等邊三角形，點(diǎn)、分別是、上一點(diǎn)．(1)如圖1，，連接、，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，連接，若，求的面積；(2)如圖2，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、、，已知，，，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，已知，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為邊，在的下方作等邊，連，當(dāng)取最小值時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B、C在x軸上，，，．(1)如圖1，求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)D在第一象限且滿足，，線段交y軸于點(diǎn)G，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點(diǎn)E，滿足．請(qǐng)?zhí)骄?、、之間的數(shù)量關(guān)系．9．點(diǎn)P為等邊三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)如圖1，點(diǎn)P在外部，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(2)P點(diǎn)在內(nèi)部，連接．①如圖2，若，求證；②如圖3，D為邊中點(diǎn)，連接，求證：．10．如圖，為等腰三角形，．點(diǎn)、點(diǎn)分別在射線、射線上，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得點(diǎn)恰好在射線上，旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，如圖2，與交于點(diǎn)，若，求證：；(3)當(dāng)，時(shí)，如圖3，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段，連接．將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，直線與射線交于點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．11．已知：在中，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點(diǎn)E，連接，使，若，求的長(zhǎng)．12．將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中．(1)將圖1中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是與的交點(diǎn)，求證：；(2)在圖2中，若，則等于多少？(3)將圖1中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖3，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，在上取一點(diǎn)F，連接，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．13．如圖，在等邊中，點(diǎn)D是邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊，連接．(1)如圖1，若點(diǎn)E在邊上，且，垂足為E，求證：；(2)如圖1，若點(diǎn)E在邊上，且，垂足為E，求證：；(3)如圖2，若點(diǎn)E在射線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．14．如圖1，點(diǎn)E是四邊形的邊上一點(diǎn)，分別連接，，把四邊形分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，那么我們把點(diǎn)E叫做四邊形的邊上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，那么我們把點(diǎn)E叫做四邊形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．(1)任務(wù)一：如圖1，，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形的邊上的“相似點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)任務(wù)二：如圖2，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試在圖中畫(huà)出矩形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”；(3)任務(wù)三：如圖3，矩形中，，將矩形沿折疊，點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，若點(diǎn)F是四邊形的邊上“強(qiáng)相似點(diǎn)”，求．15．如圖1，在中，分別是邊上的高線，M，N分別是線段的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)連接，猜想與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若將銳角三角形變?yōu)殁g角三角形，其余條件不變，如圖2，直接寫(xiě)出與之間的關(guān)系．16．已知，和都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點(diǎn)，如圖1，D，E分別在，邊上，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖2，將固定不動(dòng)，由圖1位置繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，其他條件不變．試判斷，與的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若改變，請(qǐng)求出相關(guān)正確結(jié)論．17．等腰，，，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上．(1)如圖，求證：；(2)如圖，若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，點(diǎn)，，兩點(diǎn)均在軸上，且分別以、為腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，連接交軸于點(diǎn)，的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．18．在中，，是邊上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，若，，，求到的距離；(2)如圖2，若為中點(diǎn)，連接平分，為上一點(diǎn)，且，求證：；(3)如圖3，若，，將沿著翻折得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求周長(zhǎng)的最小值．19．[問(wèn)題情境]如圖①，在四邊形ABCD中，，求證：四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連接，取的中點(diǎn)，連接、，請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過(guò)程；[問(wèn)題解決]如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)恰好落在正方形對(duì)角線上時(shí)，線段的長(zhǎng)度為

；（2）如圖③，過(guò)點(diǎn)Р分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則的最小值為

．20．如圖直角坐標(biāo)系中直線與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，已知，，P，Q分別是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P從O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，Q從B出發(fā)以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．(1)求線段的長(zhǎng)，及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)t為何值時(shí)，的面積為；(3)若C為的中點(diǎn)，連接，以為鄰邊作平行四邊形，①t為何值時(shí)，點(diǎn)D恰好落在坐標(biāo)軸上；②是否存在時(shí)間t使x軸恰好將平行四邊形的面積分成的兩部分，若存在，直接寫(xiě)出t的值．專題46以幾何為背景的直角三角形的存在性問(wèn)題【題型演練】一、解答題1．正方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)F．(1)如圖1，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連結(jié)，求證：；(2)如圖2，是由沿射線平移得到的，點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)H．①若，求的長(zhǎng)；②連結(jié)，求證：是等腰直角三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．證明，推出，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．證明，求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，由，推出．證明，據(jù)此即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．∵四邊形正方形，∴．∵，∴．∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴是斜邊上的中線，∴；（2）①解：∵，∴．延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．∵，∴，∴，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴．②證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，由①得，∴．又∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，解題時(shí)要充分利用已知條件進(jìn)行推理，得到全等和相似三角形，從而推出角的關(guān)系以及邊的關(guān)系．2．已知：和均為等腰直角三角形，，，，按圖1放置，使點(diǎn)在上，取的中點(diǎn)，連接，．我們現(xiàn)給出如下結(jié)論：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中，的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；(2)探究證明：將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，再連接，取的中點(diǎn)（如圖2），問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(3)拓展延伸：將圖1中的繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（轉(zhuǎn)動(dòng)角度在到之間），再連接，取的中點(diǎn)（如圖3），問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】(1)，相互垂直(2)仍然成立，證明見(jiàn)解析(3)仍然成立，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知，根據(jù)，，得到，．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先證明，得到，，根據(jù)，，得到，又因?yàn)?，所以且．?）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，可證明，得到，，繼而求得，得到，，所以，可得且．【詳解】（1）解：，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，即：，．故答案為：，相互垂直；（2）解：仍然成立．證明：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，又，，，，，，，，，又，且．（3）解：仍然成立．證明：如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、、，在與中，，，，，，，，，，，，又，，在和中，，，，，為等腰直角三角形，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會(huì)靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（1）如圖1，平分，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，其他條件不變，將圖1中的繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交射線于點(diǎn)B，寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說(shuō)明理由；（3）如圖3，為等邊三角形，，P為邊的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)使射線交直線于點(diǎn)M，射線交直線于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）4；（2）見(jiàn)解析；（3）5或15【分析】（1）利用直角三角形30度角的性質(zhì)證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)C分別作的垂線，垂足分別為E、F，證明，即可解決問(wèn)題；（3）連接，在上取點(diǎn)G，使得，連接，通過(guò)證明，得，則，求出的長(zhǎng)度即可．當(dāng)點(diǎn)M在射線上時(shí)，同理可得．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：結(jié)論：，理由如下：過(guò)點(diǎn)C分別作的垂線，垂足分別為E、F，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖，連接，在取點(diǎn)G，使得，連接，∵是等邊三角形，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)P作于H，∴，∴，∴，∴，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)M在射線上時(shí)，同理可得．故答案為：5或15．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．如圖，是邊長(zhǎng)是的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，方向勻速移動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，與的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)在點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否能成為等邊三角形？若能，請(qǐng)求出t，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)則當(dāng)t為何值時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)，見(jiàn)解析；(2)能，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形．(3)或，是直角三角形．【分析】（1）先求出的長(zhǎng)，可得點(diǎn)P是的中點(diǎn)，由等邊三角形的性質(zhì)可求解；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得方程，即可求解；（3）在中，當(dāng)和時(shí)，利用角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半建立方程求解即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，與垂直，理由如下：，∴當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，，∴，∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，是等邊三角形，∴；（2）假設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，是等邊三角形．（3）假設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是直角三角形，∵，，∴，①如圖1，在中，當(dāng)時(shí)，，解得：，②如圖2，在中，當(dāng)時(shí)，，解得：，故或【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握直角三角形含度角的性質(zhì)是關(guān)鍵．5．等腰，，，為的中點(diǎn)，小慧拿著含角的透明三角板，使角的頂點(diǎn)落在，三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖，當(dāng)三角板的兩邊分別交、于點(diǎn)、時(shí)，求證：；(2)操作：將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖情形時(shí)，三角板的兩邊分別交的延長(zhǎng)線、邊于點(diǎn)、，①探究：與還相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）②探究：連接，與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；③設(shè)，的面積為，試用的代數(shù)式表示（直接寫(xiě)出答案即可）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，②相似，見(jiàn)解析，③【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用三角形內(nèi)角和及平角得到，，得出，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①同（1），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用三角形內(nèi)角和及平角證得，從而得到結(jié)論；②根據(jù)得到，由為中點(diǎn)得到，再利用相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．③求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出關(guān)系式代入即可．【詳解】（1）證明：在中，，，．，，又，且，，，（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）．（2）①結(jié)論：．理由：在中，，，．，，又，且，，，，②結(jié)論：與相似．理由：，，而，；又∵，（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似）．③由②得，．分別過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為、，則．連，在中，由，，可得．∴，則，設(shè)，的面積為，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，過(guò)中點(diǎn)作正，過(guò)點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、、已知點(diǎn)、分別是線段、的動(dòng)點(diǎn)，且是等邊三角形．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)①求證：②試判斷的結(jié)果是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)值．(3)設(shè)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，若點(diǎn)落在的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②不變，；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在的內(nèi)部【分析】（1）證明，即可得出結(jié)論；（2）①證明，即可得出結(jié)論；②，理由如下，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得出四邊形是矩形，則，在中，，勾股定理得出，在中，勾股定理得出，則，根據(jù)，即可求解；（3）分當(dāng)落在上時(shí)，當(dāng)落在上時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1），理由如下：∵四邊形是正方形，∵，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，即；（2）①如圖，連接，∵，∴，在中，，∴，∴；②，理由如下，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為,∴，又，∴四邊形是矩形，∴，∵，又，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，解得：，∵是的中點(diǎn)，則,在中，，∴，∴，則，∵，∴，又，；即，（3）當(dāng)落在上時(shí)，如圖所示，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，又∵，∴，∴，即；當(dāng)落在上時(shí)，如圖所示，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，又∵，∴，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在的內(nèi)部．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．已知為等邊三角形，點(diǎn)、分別是、上一點(diǎn)．(1)如圖1，，連接、，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，連接，若，求的面積；(2)如圖2，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、、，已知，，，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，已知，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為邊，在的下方作等邊，連，當(dāng)取最小值時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)3．【分析】（1）先證明得，再證是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求得，即可求解；（2）作交于，作交于，依次推出，，和，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）連接，證明，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短解答．【詳解】（1）解：∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，∴；

（2）解：，理由如下：如圖4，作交于，作交于，∴，，，∵，，∴，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴即∶，∴，∴，∵，∴，∴在四邊形中，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如下圖，連接，∵是等邊三角形，，∴，，∵，是等邊三角形，∴，，，在和中，，∴∴，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，故答案為∶3．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B、C在x軸上，，，．(1)如圖1，求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)D在第一象限且滿足，，線段交y軸于點(diǎn)G，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點(diǎn)E，滿足．請(qǐng)?zhí)骄?、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，，(2)(3)，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)，，在中，有：，進(jìn)而有，問(wèn)題隨之得解；（2）求出，即，可得，接著求出，證明，即有，可得，得出，進(jìn)而有，可得，即有，問(wèn)題隨之得解；（3）由（2）可知：，可得，進(jìn)而有，延長(zhǎng)至F，使，連接，過(guò)A點(diǎn)作于M點(diǎn)，根據(jù)，即有，進(jìn)一步有，即可證明，接著證明，問(wèn)題隨之得解．【詳解】（1）∵，，∴在中，有：，∴，∵，∴，∴，，；（2）∵，，∴在中，，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴在中，；（3），理由如下：由（2）可知：，∵，，∴，∴，∴，延長(zhǎng)至F，使，連接，過(guò)A點(diǎn)作于M點(diǎn)，如圖，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．9．點(diǎn)P為等邊三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)如圖1，點(diǎn)P在外部，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(2)P點(diǎn)在內(nèi)部，連接．①如圖2，若，求證；②如圖3，D為邊中點(diǎn)，連接，求證：．【答案】(1)10(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明，是等邊三角形即可．（2）①繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明是等邊三角形，是含有角的直角三角形即可．②繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明是等邊三角形，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）如圖，繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∵等邊三角形，且，∴，，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：10．（2）①如圖，繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵等邊三角形，且，，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．②繞點(diǎn)A將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵等邊三角形，且，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，，．延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的判定，三角形全等的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，為等腰三角形，．點(diǎn)、點(diǎn)分別在射線、射線上，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得點(diǎn)恰好在射線上，旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，如圖2，與交于點(diǎn)，若，求證：；(3)當(dāng)，時(shí)，如圖3，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段，連接．將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，直線與射線交于點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）作，交于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，推出是等邊三角形，進(jìn)而得到是含的直角三角形，是等腰三角形，進(jìn)行求解即可；（2）在上截取，連接，，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，進(jìn)一步得出，從而得到，進(jìn)而得證；（3）作于，作，且，連接，證明，從而得到，得到點(diǎn)在與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，作，最短，即點(diǎn)在處，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：作，交于，∴，∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴∵，，∴是等邊三角形，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴；（2）證明：在上截取，連接，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，作于，作，且，連接，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，作，最短，此時(shí)點(diǎn)在處，將沿翻折至，交射線于，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴∴，即：當(dāng)最小時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．本題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)思維能力要求較高，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加合適的輔助線，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．11．已知：在中，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點(diǎn)E，連接，使，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角先求出，再由，得到，則，即；（2）由折疊的性質(zhì)可知，利用三角形外角的性質(zhì)證明，則，即可推出，由此可證明；（3）如圖所示，分別取的中點(diǎn)，G、H連接，則是的中位線，可以得到，則根據(jù)（2）的結(jié)論求出，則，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出，再導(dǎo)角證明，即可證明，得到．【詳解】（1）證明：如圖1所示，∵，∴，∵，∴，∴，即；（2）證明：由折疊的性質(zhì)可知，由（1）得，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖所示，分別取的中點(diǎn)，G、H連接，則是的中位線，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中．(1)將圖1中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是與的交點(diǎn)，求證：；(2)在圖2中，若，則等于多少？(3)將圖1中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖3，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，在上取一點(diǎn)F，連接，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)；(3)．【分析】（1）先判斷，利用即可證明，從而得出結(jié)論．（2）作于H，在中，求出，在中求出，繼而可得出的長(zhǎng)度．（3）證明，則有，設(shè)，則，得出關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵在和中，，∴（），∴；（2）如圖，作于H，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（3）∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，∴，設(shè)，則，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2，∴，故當(dāng)時(shí)，面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及配方法求二次函數(shù)的最值．13．如圖，在等邊中，點(diǎn)D是邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊，連接．(1)如圖1，若點(diǎn)E在邊上，且，垂足為E，求證：；(2)如圖1，若點(diǎn)E在邊上，且，垂足為E，求證：；(3)如圖2，若點(diǎn)E在射線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】(1)先計(jì)算，得到．(2)根據(jù)，利用三線合一，證明直線是線段的垂直平分線即可．(3)分點(diǎn)E在上和的延長(zhǎng)線上，兩種情況證明．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴．（2）解：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴°，∴．∵是等邊三角形，∴，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∴．（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段上，結(jié)論：．理由如下：過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)M，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，結(jié)論：．理由如下：過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)M，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖1，點(diǎn)E是四邊形的邊上一點(diǎn)，分別連接，，把四邊形分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，那么我們把點(diǎn)E叫做四邊形的邊上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，那么我們把點(diǎn)E叫做四邊形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．(1)任務(wù)一：如圖1，，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形的邊上的“相似點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)任務(wù)二：如圖2，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試在圖中畫(huà)出矩形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”；(3)任務(wù)三：如圖3，矩形中，，將矩形沿折疊，點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，若點(diǎn)F是四邊形的邊上“強(qiáng)相似點(diǎn)”，求．【答案】(1)是，見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似求解；（2）取，連接，，根據(jù)勾股定理求得各線段的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用相似三角形的判定求解即可；（3）根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可得，，，由點(diǎn)是四邊形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，可得，由全等的性質(zhì)可得，由直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求得，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：點(diǎn)E是四邊形的邊上的“相似點(diǎn)”，理由：∵，∴，即：，∴，∴．∴點(diǎn)E是四邊形的邊上的“相似點(diǎn)”（2）如圖：取，連接，，∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∴，，∵，∴是直角三角形且，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，，即，∴點(diǎn)是矩形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．∴點(diǎn)即為所求．（3）∵矩形中，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，∴，，，∵點(diǎn)是四邊形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，∴，∵，∴，∴，∴．∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查作圖和折疊，考查了三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理及逆定理，直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)．理解和掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，在中，分別是邊上的高線，M，N分別是線段的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)連接，猜想與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若將銳角三角形變?yōu)殁g角三角形，其余條件不變，如圖2，直接寫(xiě)出與之間的關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算；（3）仿照（2）的計(jì)算過(guò)程解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵分別是邊上的高線，M是的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵N為中點(diǎn)，∴；（2）解：；理由如下：在中，，∵，∴，，∴，，∴，∴；（3）解：；理由如下：連接，，如圖所示：∵分別是邊上的高線，M是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，，∴，，在中，，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．16．已知，和都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點(diǎn)，如圖1，D，E分別在，邊上，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖2，將固定不動(dòng)，由圖1位置繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，其他條件不變．試判斷，與的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若改變，請(qǐng)求出相關(guān)正確結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，，理由見(jiàn)解析(3)不變，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)全等三角形的判定定理，即可證出結(jié)論；（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，即可得，，再由，即可解答；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接、，即可證得四邊形為平行四邊形，，再根據(jù)角的和差，即可證得，即可證得，，，據(jù)此即可證得結(jié)論【詳解】（1）證明：和都是等腰直角三角形，，，，在與中，；（2）解：結(jié)論：，；理由如下：，，，在，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，，，，，，；（3）解：不變；理由如下：如圖：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接、，又，四邊形為平行四邊形，，，，，在與中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．17．等腰，，，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上．(1)如圖，求證：；(2)如圖，若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，點(diǎn)，，兩點(diǎn)均在軸上，且分別以、為腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，連接交軸于點(diǎn)，的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變，長(zhǎng)度始終是，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，，得到，即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，得到，，進(jìn)而得到．點(diǎn)在第三象限，即可得到；（3）過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，先證明，得到，．根據(jù)點(diǎn)，，求出，進(jìn)入得到，再證明，得到，即可求出，從而得到的長(zhǎng)度始終是，問(wèn)題得解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，在和中，∴，，，．∵點(diǎn)在第三象限，∴；（3）答：的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，則，∵和都是等腰直角三角形，，，．又，，在和中，∴，，．，．∵點(diǎn)，，，，，．，．在和中，∴，．又，，即的長(zhǎng)度始終是．【點(diǎn)睛】本題為等腰直角三角形與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合綜合題，綜合性強(qiáng)，難度較大，考查了平面直角坐標(biāo)系，直角三角形兩銳角互余，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，理解題意，根據(jù)已知條件添加適當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．18．在中，，是邊上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，若，，，求到的距離；(2)如圖2，若為中點(diǎn)，連接平分，為上一點(diǎn)，且，求證：；(3)如圖3，若，，將沿著翻折得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，，先證明，即可證明得到，由勾股定理得，再由，得到，則點(diǎn)到的距離為；（2）如圖所示，延長(zhǎng)到使得，，連接，先證明得到，，則，證明，得到，則；（3）如圖所示，連接，延長(zhǎng)交于，作直線BE⊥BC，由翻折的性質(zhì)可知，，，，然后證明，得到，則點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上，即AF⊥BC，求出，由H是的中點(diǎn)，得到直線A關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)在直線BE上，則要使的周長(zhǎng)最小，則要最小，即最小，即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，∵，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，，∵，∴，∴點(diǎn)到的距離為；（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)到使得，，連接，∵平分，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，延長(zhǎng)交于，作直線，由翻折的性質(zhì)可知，，，，∴，又∵AB=AC，，∴，∴，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即，∴，∵H是的中點(diǎn)，∴直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，∴，∴要使C的周長(zhǎng)最小，則要最小，即最小，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，如圖所示，連接交于，交于，連接，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，，∴,∵平行線之間的間距相等，∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，在中，,在中，，∴周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱求線段和的最值問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．[問(wèn)題情境]如圖①，在四邊形ABCD中，，求證：四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連接，取的中點(diǎn)，連接、，請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過(guò)程；[問(wèn)題解決]如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)