專題06二次函數(shù)中的線段及周長問題(原卷版+解析)

專題06二次函數(shù)中的線段及周長問題1．如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；2．如圖，拋物線經(jīng)過和兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的點(diǎn)，使線段的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；3．拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．4．如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)．(1)___________，__________；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)P做直線平行于y軸交直線于點(diǎn)M，求的最大值(4)直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．5．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，C，已知，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PD的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)E，使的周長最小，求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；7．如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BCF周長最小，若存在求點(diǎn)F坐標(biāo)，并求周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由8．已知拋物線具有如下性質(zhì)：給拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到x軸的距離相等，如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則(1)當(dāng)面積為4時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求周長的最小值．9．如圖，拋物線與x軸交兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式;(3)若P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段長度的最大值．10．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)表達(dá)式；(2)直接寫出直線的解析式；(3)P為第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過P作，交直線于點(diǎn)Q，作軸交于M．求線段的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．如圖，已知拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，求線段的最大值；(3)在和中，當(dāng)其中一個(gè)三角形的面積是另一個(gè)三角形面積的倍時(shí)，求相應(yīng)的值．12．如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于和(1)直接寫出兩個(gè)函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)為直線下方拋物線線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸與交于點(diǎn)，當(dāng)為最大值時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．專題06二次函數(shù)中的線段及周長問題1．如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；（2）延長交x軸于點(diǎn)F，證明，通過相似三角形周長比等于相似比，即可得出周長的表達(dá)式，再將其改寫為頂點(diǎn)式即可求出最值．【詳解】（1）設(shè)，把代入得：，解得：，∴；（2）解：如圖，延長交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，的周長是l，∵，∴，∵，∴的周長是12，設(shè)直線BC的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，∴，∴，∵，∴，

∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，l有最大值，最大值為，即周長的最大值為，當(dāng)時(shí)，，∴．綜上：周長的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法，通過相似三角形的周長比等于相似比得出周長的表達(dá)式．2．如圖，拋物線經(jīng)過和兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的點(diǎn)，使線段的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）先求得直線的解析式為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P得坐標(biāo)為，則C點(diǎn)得坐標(biāo)為，進(jìn)而表示出的長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可求解．【詳解】（1）解：∵、在拋物線上，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為：，∵、在直線上，∴，解得，∴直線AB的解析式為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P得坐標(biāo)為，則C點(diǎn)得坐標(biāo)為，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為，線段PC有最大且為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，線段問題，待定系數(shù)法求解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的解析式；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，應(yīng)用二次函數(shù)最值可得線段的最大值，證明是等腰直角三角形，可得出，即可求得答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，，解得：，二次函數(shù)的解析式為；（2）二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，最大，最大值是．，，，，軸，，，是等腰直角三角形，，，的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等，關(guān)鍵是二次函數(shù)性質(zhì)的掌握．4．如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)．(1)___________，__________；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)P做直線平行于y軸交直線于點(diǎn)M，求的最大值(4)直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）將分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，解一元二次方程即可；（3）設(shè)利用，得到一個(gè)二次函數(shù)，求最值即可；（4）根據(jù)圖象，找到拋物線在直線上方時(shí)，的取值范圍即可．【詳解】（1）解：將代入：得：，解得：；將代入：得：，解得：；故答案為：；（2）解：由（1）得：拋物線的解析式為：，一次函數(shù)的解析式為：；則：，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：設(shè)，∵P在直線上方，∴，∵軸，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最大值為：；（4）解：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，拋物線在直線的上方，∴時(shí)：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．5．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，C，已知，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PD的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，線段的最大值為【分析】（1）把已知A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解b，c的值，求函數(shù)解析式；（2）求直線得解析式，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則，化成頂點(diǎn)式求最值．【詳解】（1）解：經(jīng)過點(diǎn)C，則，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：存在，理由：令，得：，解得：或，故點(diǎn)，設(shè)直線為，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：．∴直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，∵，，∴當(dāng)x時(shí)，線段最大值為：；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的解析式和圖像上的動(dòng)點(diǎn)問題、坐標(biāo)與圖形，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．6．如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)E，使的周長最小，求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線解析式可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)為最小，且為的長，即此時(shí)的周長最?。蓲佄锞€的解析式可求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，從而即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，∴令，則；令，則，∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：，故該拋物線的解析式：；（2）解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)為最小，且為的長，即此時(shí)的周長最?。畬?duì)于，令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為，將、D的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BCF周長最小，若存在求點(diǎn)F坐標(biāo)，并求周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)存在，；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，即可得出，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周長．【詳解】（1）將，，代入得:,解得:所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式：（2）存在；∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對(duì)稱軸，，∴，設(shè)直線的解析式為：，∵，∴解得，∴

直線的解析式為：，把代入直線的解析式，得，∴；∴∴【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式是解題的關(guān)鍵，利用對(duì)稱軸求出坐標(biāo)是解（2）題的關(guān)鍵．8．已知拋物線具有如下性質(zhì)：給拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到x軸的距離相等，如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則(1)當(dāng)面積為4時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求周長的最小值．【答案】(1)或(2)5【分析】（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)面積為4求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入解析式得到對(duì)應(yīng)y值，即可求解；（2）過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)，由點(diǎn)在拋物線上可得出，結(jié)合點(diǎn)到直線之間垂線段最短及為定值，即可得出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，周長取最小值，由此可解．【詳解】（1）解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，當(dāng)?shù)拿娣e為4時(shí)，，解得：，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．（2）解：過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)．拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到x軸的距離相等，，又為定值，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，周長取最小值，,，，，，周長的最小值為5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線之間垂線段最短找出周長取最小值時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．9．如圖，拋物線與x軸交兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式;(3)若P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段長度的最大值．【答案】(1)，(2)(3)的長度最大值為【分析】（1）令可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為代入二次函數(shù)解析式可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（3）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，表示出的長度表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：令，即，解得：，∴點(diǎn)，∵C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將代入，得，∴；（2）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，∴，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）如圖：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∵在線段上拋物線始終在一次函數(shù)的上方，∴，∴當(dāng)時(shí)，的長度最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與軸交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)最大值，熟練掌握二次函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)表達(dá)式；(2)直接寫出直線的解析式；(3)P為第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過P作，交直線于點(diǎn)Q，作軸交于M．求線段的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)線段的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得：，即可求解；（2）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（3）根據(jù)軸，可得，從而得到，進(jìn)而得到，可得到當(dāng)最大時(shí)，最大，然后設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為4，此時(shí)最大，∴線段的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．11．如圖，已知拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，求線段的最大值；(3)在和中，當(dāng)其中一個(gè)三角形的面積是另一個(gè)三角