專題07直角三角形中的銳角平分線模型(原卷版+解析)

專題07直角三角形中的銳角平分線模型解題思路解題思路【模型】如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知AC=6，BC=8，AD是△ABC的角平分線，求DC的長(zhǎng).【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則△ACD≌△AED(AAS)，∴AE=AC=6.在Rt△ABC中，由勾股定理得=10易知EB=設(shè)DC=x，則DE=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，由勾股定理解得x=3，∴DC=3.【典例分析】【典例1】如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，現(xiàn)將邊AC沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使它落在AB邊上．若折痕交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，你能求出BD的長(zhǎng)嗎？請(qǐng)寫出求解過(guò)程．【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若△BDE的周長(zhǎng)是4cm，則AB的長(zhǎng)度為cm．【變式1-2】如圖，直角三角形紙片的兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm．現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．求CD的長(zhǎng)．【變式1-3】如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CD的長(zhǎng)為．【典例2】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以6cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)之間的距離；（3）當(dāng)AP＝CQ時(shí)，求t的值？【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)△ABP為直角三角時(shí)，求t的值；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，已知CE＝3，CD＝4，則AD長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．4 D．42．（2021秋?定州市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，若CD＝3，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．1 B． C．2 D．33．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC＝9，AB＝15，則CE的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．54．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD為AC邊的高線，則BD的長(zhǎng)為．5．（2021秋?陵城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于點(diǎn)E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，則△ADE的周長(zhǎng)是．6．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若BC＝BD，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，則△ADE的周長(zhǎng)是．7．（2021秋?連云港期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為F，與BC交于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)是．8．（2021秋?東?？h期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)△ABP為直角三角時(shí)，求t的值；當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．9．（2021秋?揭東區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝13，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝12，BD＝5．（1）求證：△BDC是直角三角形；（2）求AC的長(zhǎng)．【能力提升】10．（2022?渠縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC邊上，且∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F．（1）如圖1，若AB＝13，BC＝10，求AF的長(zhǎng)；（2）如圖2，若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．11．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，AF＝12，D是AB中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求BF的長(zhǎng)；（2）直接寫出DE的長(zhǎng)．專題07直角三角形中的銳角平分線模型解題思路解題思路【模型】如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知AC=6，BC=8，AD是△ABC的角平分線，求DC的長(zhǎng).【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則△ACD≌△AED(AAS)，∴AE=AC=6.在Rt△ABC中，由勾股定理得=10易知EB=設(shè)DC=x，則DE=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，由勾股定理解得x=3，∴DC=3.【典例分析】【典例1】如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，現(xiàn)將邊AC沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使它落在AB邊上．若折痕交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，你能求出BD的長(zhǎng)嗎？請(qǐng)寫出求解過(guò)程．【解答】解：能∵BC2+AC2＝225，AB2＝225∴AB2＝BC2+AC2．∴∠C＝90°∵折疊∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°∴BE＝AB﹣AE＝6cm在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2．∴BD2＝（12﹣BD）2+36∴BD＝【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若△BDE的周長(zhǎng)是4cm，則AB的長(zhǎng)度為cm．【答案】4【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴CD＝DE．又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC．又∵AC＝BC，∴AE＝BC，∴△BDE的周長(zhǎng)＝BD+DE+BE＝AE+BE＝4cm，∴AB＝4cm．故填4【變式1-2】如圖，直角三角形紙片的兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm．現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．求CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵△AED是△ACD翻折而成，∴AE＝AC＝6cm，設(shè)DE＝CD＝xcm，∠AED＝90°，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4cm，在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3．故CD的長(zhǎng)為3cm．【變式1-3】如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CD的長(zhǎng)為．【答案】cm【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE＝AB＝10，∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2，即CE的長(zhǎng)為2，設(shè)CD＝x，則BD＝6﹣x＝DE，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，解得x＝，即CD長(zhǎng)為cm．故答案為：cm．【典例2】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以6cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)之間的距離；（3）當(dāng)AP＝CQ時(shí)，求t的值？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC＝＝24cm．（2）如圖，連接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝＝13（cm）；（3）設(shè)t秒后，AP＝CQ．則t＝24﹣6t，解得t＝．答：P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒，AP＝CQ．【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)△ABP為直角三角時(shí)，求t的值；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．【解答】解：（1）當(dāng)△ABC為直角三角時(shí)，（cm），①當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝8，∴t＝8，②當(dāng)∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，解得：t＝，綜上所述，t＝8或；（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），∵△ABP為等腰三角形，當(dāng)AB＝AP時(shí)，則BP＝2BC＝16cm，即t＝16；當(dāng)BA＝BP＝10cm時(shí)，則t＝10；當(dāng)PA＝PB時(shí)，如圖：設(shè)BP＝PA＝x，則PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．綜上所述：t的值為16或10或．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，已知CE＝3，CD＝4，則AD長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．4 D．4【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，由勾股定理得：DE＝＝＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝5，∴AC＝AE+EC＝8，∴AD＝＝＝4，故選：D．2．（2021秋?定州市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，若CD＝3，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，故選：D．3．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC＝9，AB＝15，則CE的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．5【答案】B【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，∴BC＝，在Rt△ACF和Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴AC＝AG＝9，設(shè)CE＝x，則FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6，∵FG2+BG2＝BF2，即x2+62＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE＝，故選：B．4．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD為AC邊的高線，則BD的長(zhǎng)為．【答案】【解答】解：過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∴AE＝，∵，∴，∴BD＝，故答案為：．5．（2021秋?陵城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于點(diǎn)E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，則△ADE的周長(zhǎng)是．【答案】8cm【解答】解：連接BE，∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，∴∠C＝∠BDE＝90°，在Rt△BCE與Rt△BDE中，，∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），∴DE＝CE，∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，∴△ADE的周長(zhǎng)＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝8（cm），故答案為：8cm．6．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若BC＝BD，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，則△ADE的周長(zhǎng)是．【答案】6cm【解答】解：如圖，連接BE．∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠C＝90°．在Rt△BDE與Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴CE＝DE，∴△ADE的周長(zhǎng)＝AE+AD+DE＝AD+AC＝AB﹣BC+AC＝5﹣3+4＝6（cm）．故答案是：6cm．7．（2021秋?連云港期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為F，與BC交于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)是．【答案】【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴AE是CD的垂直平分線．∴CE＝DE．∴∠ADE＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝15．∴BD＝AB﹣AD＝6．∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，∴9×12＝9CE+15DE，∴DE＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，故答案為：．8．（2021秋?東?？h期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)△ABP為直角三角時(shí)，求t的值；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．【解答】解：（1）當(dāng)△ABC為直角三角時(shí)，（cm），①當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝8，∴t＝8，②當(dāng)∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，解得：t＝，綜上所述，t＝8或；（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），∵△ABP為等腰三角形，當(dāng)AB＝AP時(shí)，則BP＝2BC＝16cm，即t＝16；當(dāng)BA＝BP＝10cm時(shí)，則t＝10；當(dāng)PA＝PB時(shí)，如圖：設(shè)BP＝PA＝x，則PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．綜上所述：t的值為16或10或．9．（2021秋?揭東區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝13，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝12，BD＝5．（1）求證：△BDC是直角三角形；（2）求AC的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BDC為直角三角形；（2）設(shè)AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝16.9，∴AC＝16.9．