專項(xiàng)36銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-母子型

專項(xiàng)36銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用母子型通過(guò)在三角形外作高BC，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC為公共邊，AD+DC=AC.圖形演變及對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如下：特別提醒：”母子“型的關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形外的公共高1．（2021春?麗水月考）如圖，小夢(mèng)要測(cè)量學(xué)校旗桿的高度BD，在點(diǎn)A處測(cè)得∠BAD＝45°，在點(diǎn)C處測(cè)得∠BCD＝60°．已知AC＝8米，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，則旗桿的高度BD為（）A．（4+4）米 B．（7+7）米 C．（14+14）米 D．（4+12）米【答案】D【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°．∴BD＝AD．在Rt△CBD中，∵tan∠BCD＝＝tan60°．∴CD＝＝＝BD．∵AC＝AD﹣CD，∴BD﹣BD＝8．∴BD＝＝＝12+4．故選：D．2．（2021秋?城陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，斜坡BC的長(zhǎng)度為4米．為了安全，決定降低坡度，將點(diǎn)C沿水平距離向外移動(dòng)4米到點(diǎn)A，使得斜坡AB的長(zhǎng)度為4米，則原來(lái)斜坡的水平距離CD的長(zhǎng)度是（）米．A．2 B．4 C．2 D．6【答案】A【解答】解：設(shè)CD＝x米，BD＝y(tǒng)米，在Rt△BCD中，BD2＝BC2﹣CD2，即y2＝42﹣x2，在Rt△BAD中，BD2＝AB2﹣AD2，即y2＝（4）2﹣（x+4）2，∴42﹣x2＝（4）2﹣（x+4）2，解得：x＝2，即CD＝2米，故選：A．3．（2021春?懷化期中）如圖，樹(shù)AB垂直于地面，為測(cè)樹(shù)高，小明在C處，測(cè)得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了28米，到達(dá)D處，測(cè)得∠ADB＝30°，則樹(shù)的高度是．【答案】14米【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝28（米），又∵∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝14（米），∴樹(shù)的高度為14米．故答案為：14米．4．（2022?武昌區(qū)模擬）如圖，某河段的兩岸平行，小明在一側(cè)河岸的A點(diǎn)觀測(cè)對(duì)岸C點(diǎn)，測(cè)得∠CAD＝45°，小剛在距離A點(diǎn)80米的B點(diǎn)測(cè)得∠CBD＝30°，根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以算出河寬為米（≈1.414，≈1.732，精確到個(gè)位）．【答案】109【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，垂足為E，設(shè)CE＝x米，在Rt△CEA中，∠CAE＝45°，∴AE＝＝＝x（米），∵AB＝80米，∴BE＝AE+AB＝（x+80）米，在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x≈109，經(jīng)檢驗(yàn)：x≈109是原方程的根，∴河寬約為109米，故答案為：109．5．（2022?深圳三模）某學(xué)校安裝紅外線體溫檢測(cè)儀（如圖1），其紅外線探測(cè)點(diǎn)O可以在垂直于地面的支桿OP上自由調(diào)節(jié)（如圖2）．已知最大探測(cè)角∠OBC＝67°，最小探測(cè)角∠OAC＝37°．測(cè)溫區(qū)域AB的長(zhǎng)度為2米，則該設(shè)備的安裝高度OC應(yīng)調(diào)整為（）米．（精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7【答案】B【解答】解：設(shè)BC＝xm，∵AB＝2m，∴AC＝（x+2）m，∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°∴tan∠OBC＝tan67°≈，tan∠OAC＝tan37°≈，∵OC＝BC?tan∠OBC＝BC?tan67°≈x，OC＝AC?tan∠OAC＝AC?tan37°≈（x+2），∴x＝（x+2），解得：x＝，∴OC≈x＝≈2.2m，故選：B．6．（2022?濟(jì)南）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m【答案】C【解答】解：由題意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：該建筑物AB的高度約為37m．故選：C．7．（2022?隨州）如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平地面上，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為β，若CD＝α，則建筑物AB的高度為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)AB＝x，在Rt△ABD中，tanβ＝，∴BD＝，∴BC＝BD+CD＝a+，在Rt△ABC中，tanα＝，解得x＝．故選：D．8．（2022春?茅箭區(qū)校級(jí)月考）某人為了測(cè)量塔DE的高度，他在山下與山腳B在同一水平面的A處測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為45°，再沿AC方向前進(jìn)30米到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為60°，塔底點(diǎn)E的仰角為30°，那么塔DE的高度是（）A．（15+5）m B．（15﹣5）m C．（30+10）m D．（30﹣10）m【答案】C【解答】解：設(shè)BC＝x米，在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，∴DC＝BC?tan60°＝x（米），∵AB＝30米，∴AC＝AB+BC＝（30+x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴tanA＝＝＝1，∴x＝15+15，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝15+15是原方程的根，∴BC＝（15+15）米，DC＝x＝（45+15）米，在Rt△EBC中，∠EBC＝30°，∴EC＝BC?tan30°＝（15+15）×＝（15+5）米，∴DE＝DC﹣CE＝（30+10）米，故選：C．9．（2022?吳中區(qū)模擬）同學(xué)甲為了測(cè)量教學(xué)樓ABCD的高度CD，在水平地面點(diǎn)F處，觀察點(diǎn)D的仰角為32°，再向點(diǎn)C處前行了15米到達(dá)點(diǎn)E，即EF＝15米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則教學(xué)樓的高CD用三角函數(shù)表示為（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°【答案】C【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，sin∠CED＝，∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，故選：C．10．（2022?武漢模擬）如圖，因疫情防控工作的需要，在學(xué)校大門上方安裝了一個(gè)人體體外測(cè)溫?cái)z像頭，學(xué)校大門高M(jìn)E＝7.5米，學(xué)生身高BD＝1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)B處測(cè)得攝像頭M的仰角為30°，當(dāng)學(xué)生剛好離開(kāi)識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)A處測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，則體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)是米（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）．【答案】6.9【解答】解：由題意得EF＝BD＝1.5米，∵M(jìn)E＝7.5米，∴FM＝6米，在Rt△CFM中，∠FCM＝60°，tan60°＝，解得CF＝2，在Rt△DFM中，∠MDF＝30°，tan30°＝，解得DF＝6，∴CD＝DF﹣CF＝6﹣2≈6.9（米），∴AB＝CD＝6.9米．故答案為：6.911．（2022?西青區(qū)一模）某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量建筑物AB的高度，他們?cè)贑處仰望建筑物頂端A測(cè)得仰角為37°．再往建筑物的方向前進(jìn)9m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端A的仰角為63°，求建筑物AB的高度（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.8．sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0．【解答】解：設(shè)BD＝xm，AB＝y(tǒng)m，在Rt△ADB中，tan63°＝≈2，∴y≈2x，在Rt△ACB中，tan37°＝≈0.8，即≈0.8，∴y≈0.8（9+x），∴解得：，∴AB的高度約為12m，答：建筑物AB的高度約為12m．12．（2022?朝陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【解答】解：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，由題意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝＝x（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝4+4，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12m．13．（2022春?長(zhǎng)沙期中）長(zhǎng)沙為打造宜游環(huán)境，對(duì)某旅游道路進(jìn)行改造．如圖是風(fēng)景秀美的觀景山，從山腳B到山腰D沿斜坡已建成步行道，為方便游客登頂觀景，欲從D到A修建電動(dòng)扶梯，經(jīng)測(cè)量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，步行道BD的坡度為1：，在D處測(cè)得山頂A的仰角為45°．（1）求∠DBC的大??；（2）求電動(dòng)扶梯DA的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．【解答】解：（1）如圖，作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∵步行道BD的坡度為1：，∴tan∠DBC＝＝＝，∴∠DBC＝30°；（2）∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四邊形DECF為矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：電動(dòng)扶梯DA的長(zhǎng)為70米．14．（2022?平定縣模擬）2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會(huì)圓滿落下帷幕．北京冬奧會(huì)為綠色辦奧、科技辦奧貢獻(xiàn)了中國(guó)樣本和中國(guó)智慧，讓奧運(yùn)精神點(diǎn)亮更多人的冰雪夢(mèng)想，并以冰雪運(yùn)動(dòng)和奧林匹克精神為紐帶，凝聚更團(tuán)結(jié)的力量．圖1，圖2分別是一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過(guò)程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，G為頭部，假設(shè)G，E，D三點(diǎn)共線，若大腿彎曲處與滑雪板后端的距離EM長(zhǎng)為0.9m，該運(yùn)動(dòng)員大腿EF長(zhǎng)為0.4m，且其上半身GF長(zhǎng)為0.8m，∠EMD＝35°．（1）求此刻滑雪運(yùn)動(dòng)員的身體與大腿所成的夾角∠GFE的度數(shù)；（2）求此刻運(yùn)動(dòng)員頭部G到斜坡AB的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，）【解答】解：（1）連接GE，∵EF∥AB，ED⊥AB，G，E，D三點(diǎn)共線，∴∠GEF＝∠EDM＝90°，∵EF＝0.4m，GF＝0.8m，∴cos∠GFE＝＝，∴∠GFE＝60°；（2）由（1）得∠GFE＝60°，在Rt△GFE中，GE＝GF?sin∠GFE＝×＝≈0.69（m），在Rt△EDM中，∠EMD＝35°，EM＝0.9m，∴ED＝EM?sin∠EMD＝0.9×sin35°≈0.51（m），∴GD＝GE+ED≈0.69+0.51＝1.2（m），答：此刻運(yùn)動(dòng)員頭部G到斜坡AB的高度約為1.2m．15.（2022?河南）開(kāi)封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測(cè)角儀測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．【解答】解：延長(zhǎng)EF交DC于點(diǎn)H，由題意得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，設(shè)FH＝x米，∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴DH＝FH?tan45°＝x（米），在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan34°＝＝≈0.67，∴x≈30.5，經(jīng)檢驗(yàn)：x≈30.5是原方程的根，∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），∴拂云閣DC的高度約為32米．16．位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道MP上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)M處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，測(cè)角儀的高度為1.6m．（Ⅰ）求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m）；（Ⅱ）“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6m，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MP，交MP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC并延長(zhǎng)，交AE于點(diǎn)D．則CD⊥AE，BM＝CN＝DE＝1.6m，BC＝MN＝16m，∠ABC＝22°，∠ACD＝45°，設(shè)AD＝xm，則CD＝xm，BD＝（16+x）m，在Rt△ABD中，tan22°＝≈0.40，∴x≈10.7m，∴AE＝AD+DE＝10.7+1.6＝12.3（m）．即觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度約為12.3m．（2）12.6﹣12.3＝0.3（m）．∴本次測(cè)量結(jié)果的誤差為0.3m．17．如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過(guò)程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°．已知原傳送帶AB長(zhǎng)為4m．（1）求新傳送帶AC的長(zhǎng)度；（2）如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出5m的通道，試判斷距離B點(diǎn)4m的貨物MNQP是否需要挪走，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝4（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（m），答：新傳送帶AC的長(zhǎng)度為8m；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC?cos∠ACD＝4（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝4（m），∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），∵4＜5，∴貨物MNQP需要挪走．18．如圖，學(xué)校一幢教學(xué)樓AB的頂部豎有一塊寫有校訓(xùn)的宣傳牌AC，小同在M點(diǎn)用測(cè)傾器測(cè)得宣傳牌的底部A點(diǎn)的仰角為31°，他向教學(xué)樓前進(jìn)7米到達(dá)N點(diǎn)，測(cè)得宣傳牌頂部C點(diǎn)的仰角為45°，已知廣告牌AC的高度