專題10【五年中考+一年模擬】二次函數(shù)壓軸題-備戰(zhàn)2023年廣東中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題10二次函數(shù)壓軸題1．（2022?廣東）如圖，拋物線，是常數(shù)）的頂點(diǎn)為，與軸交于，兩點(diǎn)，，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2021?廣東）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與軸的正半軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為；點(diǎn)是（1）中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2020?廣東）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，，過(guò)點(diǎn)的直線與軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為，，．（1）求，的值；（2）求直線的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上且在軸下方，點(diǎn)在射線上．當(dāng)與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2019?廣東）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，交軸于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接．（1）求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形是平行四邊形；（3）如圖2，過(guò)頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，點(diǎn)為垂足，使得與△相似（不含全等）．①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②直接回答這樣的點(diǎn)共有幾個(gè)？5．（2018?廣東）如圖，已知頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，直線過(guò)頂點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2022?東莞市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖（甲．若點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）圖（乙中，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)，分別在軸和軸的正半軸上，，的長(zhǎng)分別為的兩個(gè)根，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，連接．（1）求過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，求的最大值；（3）是拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2022?東莞市一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點(diǎn)是線段（不與，重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)和相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是直線（不與，重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，將沿對(duì)折，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；9．（2022?東莞市一模）如圖，已知直線與拋物線相交于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立．（1）求該拋物線及直線的解析式；（2）點(diǎn)為該拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出滿足條件的全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并選取其中兩種情況寫出解答過(guò)程；（3）試問(wèn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積等于的面積的2倍？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2022?東莞市校級(jí)一模）函數(shù)圖象交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在左側(cè)）、交軸交于點(diǎn)．已知：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（1）求拋物線解析式；（2）拋物線上點(diǎn)在第一象限，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）拋物線上的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2022?東莞市一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，已知，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，連接，．（1）求拋物線的表達(dá)式和所在直線的表達(dá)式；（2）將沿所在直線折疊，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是否落在拋物線的對(duì)稱軸上，若點(diǎn)在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)是拋物線圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．12．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1，過(guò)原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的另一交點(diǎn)記為，在軸上有一定點(diǎn)，，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)在、之間運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，在第（2）問(wèn)的條件下，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)在、之間運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線把分割為兩部分，當(dāng)這兩部分的面積比為時(shí)，直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．13．（2022?東莞市一模）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式：（2）如圖①，是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為12時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．14．（2022?中山市一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．點(diǎn)為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在，使四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2022?中山市二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求拋物線和直線函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)是軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段且剛好落在拋物線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2022?中山市模擬）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計(jì)的一動(dòng)畫示意圖，軸上依次有，，三個(gè)點(diǎn)，且，在上方有五個(gè)臺(tái)階（各拐角均為，每個(gè)臺(tái)階的高、寬分別是1和1.5，臺(tái)階到軸距離．從點(diǎn)處向右上方沿拋物線發(fā)出一個(gè)帶光的點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且在圖中補(bǔ)畫出軸，并直接指出點(diǎn)會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；（2）當(dāng)點(diǎn)落到臺(tái)階上后立即彈起，又形成了另一條與形狀相同的拋物線，且最大高度為11，求拋物線的解析式；（3）線段與兩拋物線、的頂點(diǎn)所在的直線垂直，點(diǎn)在軸上，垂足為；若要保證（2）中沿拋物線下落的點(diǎn)能落在線段（包括端點(diǎn)）上，求線段的最小值．17．（2022?中山市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．又已知位于軸右側(cè)且垂直于軸的動(dòng)直線，沿軸正方向從運(yùn)動(dòng)到（不含點(diǎn)和點(diǎn)），且分別交拋物線、線段以及軸于點(diǎn)，，．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接，，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得和相似的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作，垂足為，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．18．（2022?中山市校級(jí)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，在軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（2022?中山市三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是的外心，作直線交拋物線于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）求點(diǎn)及點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、、重合），作直線軸于，交直線于，直線交軸于，連接，是否存在點(diǎn)，使與相似？若存在，直接寫出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2022?中山市三模）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，過(guò)的直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于，且．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．21．（2022?珠海二模）如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上時(shí)，那么我們稱拋物線與“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)，分別是拋物線，的頂點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）直接寫出，的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，分別是拋物線，上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)，的橫坐標(biāo)相同，記面積為（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)，重合時(shí)，的面積為（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)，重合時(shí)，，令，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，寫出的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)的最大值．22．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線與軸相交于不同的兩點(diǎn)、．（1）求的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)和點(diǎn)，構(gòu)成的的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對(duì)應(yīng)的值．23．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)在左邊），交軸于點(diǎn)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立．（1）拋物線解析式；（2）在上方的拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若有求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將拋物線沿軸正方向平移一個(gè)單位．把得到的圖象在軸下方的部分沿軸向上翻折，圖的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，若直線與新圖象有四個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．24．（2022?珠海一模）如圖1，拋物線，點(diǎn)對(duì)稱軸是直線．頂點(diǎn)為．拋物線與軸交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、兩點(diǎn)重合）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線將四邊形分成面積比為的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接，作矩形，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)落在軸上的同時(shí)點(diǎn)也恰好落在拋物線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）已知，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)位于第四象限時(shí)，連接，，，若，求直線的解析式；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交軸于，兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求，的值．（2）點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，的面積為．求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．（3）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，稱這樣的點(diǎn)為“美麗點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出“美麗點(diǎn)”的坐標(biāo)．27．（2022?香洲區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．若線段、、的長(zhǎng)滿足，則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線．如圖，拋物線為“黃金”拋物線，其與軸交點(diǎn)為，（其中在的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且．（1）求拋物線的解析式；（2）若為上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．①求的最大值；②連接，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．28．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，，拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．（1）請(qǐng)寫出四邊形是哪種特殊的平行四邊形；（2）求拋物線的解析式；（3）繞平面內(nèi)一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，即點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，若△恰好兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，求此時(shí)的坐標(biāo)．29．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），交軸于點(diǎn)，一次函數(shù)與拋物線交于、兩點(diǎn)，已知．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，連接．是拋物線上、兩點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、、．求四邊形面積的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)．是原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)能否構(gòu)成以為邊的菱形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求拋物線及直線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．求線段的最大值；（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專題10二次函數(shù)壓軸題1．（2022?廣東）如圖，拋物線，是常數(shù)）的頂點(diǎn)為，與軸交于，兩點(diǎn)，，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）面積的最大值為2，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為【詳解】（1）拋物線，是常數(shù)）的頂點(diǎn)為，與軸交于，兩點(diǎn)，，，，，解得，拋物線的解析式為；（2）過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，設(shè)，則，，，，，，，即，，，，當(dāng)時(shí)有最大值2，面積的最大值為2，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．2．（2021?廣東）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與軸的正半軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為；點(diǎn)是（1）中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為或或，或，【詳解】（1）不妨令，解得：，當(dāng)時(shí)，．必過(guò)，又過(guò)，，解得：，，又，，整理得：，且△，，，，，．該二次函數(shù)解析式為．（2）存在，理由如下：令中，得，則點(diǎn)坐標(biāo)為；令，得，則點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，即，解得：（舍去），，，即．②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，即，解得：（舍去），，，即．③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，即，解得：，，或，，，，．綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或，或，．3．（2020?廣東）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，，過(guò)點(diǎn)的直線與軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為，，．（1）求，的值；（2）求直線的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上且在軸下方，點(diǎn)在射線上．當(dāng)與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）直線的函數(shù)解析式為；（3）滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，【詳解】（1），點(diǎn)，點(diǎn)，拋物線解析式為：，，；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，由題意可得：，解得：，直線的函數(shù)解析式為；（3）點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，對(duì)稱軸為直線，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，，如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，如圖，設(shè)對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為，即點(diǎn)，若，，，，，當(dāng)，，，點(diǎn)，；當(dāng)，，，點(diǎn)，；若，，，當(dāng)，，，點(diǎn)，；當(dāng)，，，點(diǎn)，；綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，．4．（2019?廣東）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，交軸于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接．（1）求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形是平行四邊形；（3）如圖2，過(guò)頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，點(diǎn)為垂足，使得與△相似（不含全等）．①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②直接回答這樣的點(diǎn)共有幾個(gè)？【答案】（1），，；（2）見解析；（3）①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或；②3個(gè)【詳解】（1）令，解得，．，．由得，；（2）證明：軸于點(diǎn)，，，△，，，，，，，，，，是等邊三角形，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，四邊形是平行四邊形；（3）點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，與△相似，或，或，解得：（不合題意舍去），或（不合題意舍去）；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，與△相似，或，或，解得：（不合題意舍去），（不合題意舍去）或（不合題意舍去），（不合題意舍去）；當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，與△相似，或，或，解得：（不合題意舍去），（不合題意舍去）或（不合題意舍去），；綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或；②由①得，這樣的點(diǎn)共有3個(gè)．5．（2018?廣東）如圖，已知頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，直線過(guò)頂點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）的坐標(biāo)為，或，【詳解】（1）將代入，可得：；（2）將代入得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，將、代入中，可得：，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：；（3）存在，分以下兩種情況：①若在上方，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，，設(shè)為，代入，，可得：，聯(lián)立兩個(gè)方程可得：，解得：，所以，；②若在下方，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，，，設(shè)為，代入，可得：，聯(lián)立兩個(gè)方程可得：，解得：，所以，，綜上所述的坐標(biāo)為，或，．6．（2022?東莞市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖（甲．若點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）圖（乙中，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）時(shí)，最大，即點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)，；（3）的坐標(biāo)為：或或【詳解】（1）將的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）過(guò)作軸于，交于，過(guò)作于，如圖：在中，令得，解得或，，，是等腰直角三角形，，軸，，是等腰直角三角形，，當(dāng)最大時(shí)，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，，直線解析式為，設(shè)，，則，，，當(dāng)時(shí)，最大為，時(shí)，最大，即點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)，；（3）存在，理由如下：拋物線對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，而，，①以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，如圖：，解得，，②以、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，如圖：，解得，，③以、為對(duì)角線，則、中點(diǎn)重合，如圖：，解得，；綜上所述，的坐標(biāo)為：或或．7．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)，分別在軸和軸的正半軸上，，的長(zhǎng)分別為的兩個(gè)根，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且，連接．（1）求過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，求的最大值；（3）是拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）或【詳解】（1）由得或，又，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入中，得，解得，過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為；（2），，由題意得，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）存在，①如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，連接，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，在中，，．，，四邊形是矩形，，即，解得（舍去），，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，②如圖，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，，在中，，，，在中，，，解得（舍去），，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，存在點(diǎn)，使得，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或．8．（2022?東莞市一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點(diǎn)是線段（不與，重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)和相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是直線（不與，重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，將沿對(duì)折，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】（1）拋物線解析式為：；（2），或，；（3），或，【詳解】（1）在中，令，得：，解得：，，，，，，，，，，拋物線解析式為：；（2）設(shè)直線解析式為，，，，解得：，直線解析式為：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，軸，，，，，，，，，，，，，，若和相似，分兩種情況：①當(dāng)，，即，解得：，，；②當(dāng)，，即，解得：，，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，由（2）知，，沿對(duì)折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸上，，軸，，，，，整理得：，解得：（舍去），，當(dāng)時(shí)，，，．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，，同理可得，解得（舍去），，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．9．（2022?東莞市一模）如圖，已知直線與拋物線相交于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立．（1）求該拋物線及直線的解析式；（2）點(diǎn)為該拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出滿足條件的全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并選取其中兩種情況寫出解答過(guò)程；（3）試問(wèn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積等于的面積的2倍？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線的解析為：，直線的解析式為：；（2）見解析；（3）使得的面積等于的面積的2倍的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，【詳解】（1）由題意可知，拋物線，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，解得，拋物線的解析為：．當(dāng)，則，解得．即，令，則，解得或；，將，代入，，解得．直線的解析式為：．（2）軸，，，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，若與相似，則或，或，解得或或或．綜上，當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或或或．（3）存在，理由如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，，的面積等于的面積的2倍，過(guò)點(diǎn)作的平行線，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，，直線的解析式為：，令，解得或．，或，．作直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，則直線的解析式為：，令，無(wú)解．綜上，使得的面積等于的面積的2倍的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．10．（2022?東莞市校級(jí)一模）函數(shù)圖象交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在左側(cè)）、交軸交于點(diǎn)．已知：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（1）求拋物線解析式；（2）拋物線上點(diǎn)在第一象限，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）拋物線上的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或【詳解】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，令，則，，，點(diǎn)在左側(cè)，，，，，，將點(diǎn)代入，得，；（2）如圖1，，點(diǎn)在的角平分線上，設(shè)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，解得，，，設(shè)直線的解析式為，，，，聯(lián)立方程組，解得（舍或，，；（3）存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：設(shè)，則，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，，，，解得或（舍，，，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，①當(dāng)、為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，，；②當(dāng)、為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，，；③當(dāng)、為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，，；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．11．（2022?東莞市一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，已知，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，連接，．（1）求拋物線的表達(dá)式和所在直線的表達(dá)式；（2）將沿所在直線折疊，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是否落在拋物線的對(duì)稱軸上，若點(diǎn)在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)是拋物線圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為；（2）見解析；（3）或，【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，，解得：，拋物線的表達(dá)式為，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得：，直線的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)不在拋物線的對(duì)稱軸上，理由是：拋物線的表達(dá)式為，點(diǎn)坐標(biāo)為．，，．又，．．，．將沿所在直線折疊，點(diǎn)一定落在直線上，延長(zhǎng)至，使，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，如圖1．又，．，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線．故點(diǎn)不在拋物線的對(duì)稱軸上．（3）當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖2，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，令，得，解得：（舍去）或，；當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖2，設(shè)交軸于點(diǎn)，設(shè)，則，，由勾股定理得：，，，即，解得：，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得：，，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．12．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1，過(guò)原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的另一交點(diǎn)記為，在軸上有一定點(diǎn)，，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)在、之間運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，在第（2）問(wèn)的條件下，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)在、之間運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線把分割為兩部分，當(dāng)這兩部分的面積比為時(shí)，直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）或2【詳解】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，解得：，，故該拋物線的解析式為．（2）設(shè)直線的解析式為，把代入得：，解得：，直線的解析式為，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，直線的解析式為，由，解得：（舍去），，．（3）過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，，直線的解析式為，，，，，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖2，直線的解析式為，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，，，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線把分割為兩部分的面積比為，，，，；當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖3，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，，，，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線把分割為兩部分的面積比為，，即，，解得：或2，，；綜上所述，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為或2．13．（2022?東莞市一模）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式：（2）如圖①，是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為12時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或；（3）或【詳解】（1）將，代入，得，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）如圖1，圖2，連接，，由點(diǎn)在線段的垂直平分線上，得．設(shè)，，由勾股定理可得：．解得．滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）如圖3，設(shè)交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，于是，當(dāng)時(shí)，，，．，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．綜合以上可得，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．14．（2022?中山市一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．點(diǎn)為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在，使四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）求直線的表達(dá)式為，點(diǎn)；（2）或；（3）存在，，或，【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，解得，．點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，．，即，，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．直線過(guò)點(diǎn)，，則，解得，，當(dāng)時(shí)，，故；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，，，軸，，當(dāng)時(shí)，，，即，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，，綜上所述，或；（3）存在，理由：當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入的表達(dá)式得：，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，由直線的表達(dá)式知，，則，則，四邊形是菱形，則，即，解得（舍去）或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．15．（2022?中山市二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求拋物線和直線函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)是軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段且剛好落在拋物線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為；（2），；（3）存在，，或，【詳解】（1）將，代入，得，解得，拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，將，代入，得，解得，直線的解析式為（2）如圖1，作直線交于點(diǎn)，，，，，垂直平分，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，由解得，（不符合題意，舍去），，．（3）存在，如圖2，，該拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，，，△，，，設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)，，點(diǎn)，在拋物線上，，解得，，當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)，如圖2，則，；當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)，如圖3，則，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．16．（2022?中山市模擬）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計(jì)的一動(dòng)畫示意圖，軸上依次有，，三個(gè)點(diǎn)，且，在上方有五個(gè)臺(tái)階（各拐角均為，每個(gè)臺(tái)階的高、寬分別是1和1.5，臺(tái)階到軸距離．從點(diǎn)處向右上方沿拋物線發(fā)出一個(gè)帶光的點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且在圖中補(bǔ)畫出軸，并直接指出點(diǎn)會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；（2）當(dāng)點(diǎn)落到臺(tái)階上后立即彈起，又形成了另一條與形狀相同的拋物線，且最大高度為11，求拋物線的解析式；（3）線段與兩拋物線、的頂點(diǎn)所在的直線垂直，點(diǎn)在軸上，垂足為；若要保證（2）中沿拋物線下落的點(diǎn)能落在線段（包括端點(diǎn)）上，求線段的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）圖形如圖所示，由題意臺(tái)階左邊的端點(diǎn)坐標(biāo)，右邊的端點(diǎn)，對(duì)于拋物線，令，，解得或6，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得或5，拋物線與臺(tái)階有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，點(diǎn)會(huì)落在臺(tái)階上；（2）由題意拋物線，經(jīng)過(guò)，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11，，解得或（舍棄），拋物線的解析式為；（3）拋物線，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)，的直線解析式為，則，解得：，過(guò)點(diǎn)，的直線解析式為，設(shè)直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)，，則，，如圖所示：對(duì)于拋物線，令，得到，解得，拋物線交軸的正半軸于，，當(dāng)點(diǎn)與，重合時(shí)，線段最小，，，，，，．17．（2022?中山市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．又已知位于軸右側(cè)且垂直于軸的動(dòng)直線，沿軸正方向從運(yùn)動(dòng)到（不含點(diǎn)和點(diǎn)），且分別交拋物線、線段以及軸于點(diǎn)，，．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接，，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得和相似的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作，垂足為，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2），；（3）【詳解】（1）將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）點(diǎn)、，，，軸，，，只有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即：，，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得：或（舍去，則點(diǎn)，；（3）在中，，軸，，，，，而，，，即當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，將、坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為4，故當(dāng)時(shí)，．18．（2022?中山市校級(jí)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，在軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）或，或，或【詳解】（1）根據(jù)題意，得，解得，二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）令，得二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；由于是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接，由于，要使的周長(zhǎng)最小，只要最??；由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得的最小值為；因而與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；設(shè)直線的解析式為，根據(jù)題意可得解得所以直線的解析式為；因此直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，解得，所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）或，或，或．19．（2022?中山市三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是的外心，作直線交拋物線于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）求點(diǎn)及點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、、重合），作直線軸于，交直線于，直線交軸于，連接，是否存在點(diǎn)，使與相似？若存在，直接寫出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或，或，【詳解】（1）將，代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）由得，點(diǎn)是的外心，在的垂直平分線上，，，的橫坐標(biāo)為，設(shè)，，，解得，，設(shè)直線解析式為，將代入得：，解得，直線解析式為，解得或，；（3）存在點(diǎn)，使與相似，理由如下：由得，，設(shè)，則，，，，，，，要使與相似，只需或，即或，當(dāng)時(shí)，解得或（與重合，舍去）或（增根，舍去），；當(dāng)時(shí)，解得或（與重合，舍去）或（增根，舍去），；當(dāng)時(shí)，解得或（與重合，舍去）或（增根，舍去），，，當(dāng)時(shí)，解得或（與重合，舍去）或（增根，舍去），，，綜上所述，的坐標(biāo)為或或，或，．20．（2022?中山市三模）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，過(guò)的直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于，且．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，即，時(shí)的面積最大；（3）的最小值，此時(shí)【詳解】（1）拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，，，解得．拋物線的解析式為．（2），，，即．直線的解析式為：．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，即，時(shí)的面積最大．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)作于點(diǎn)，軸，，，，，，，的最小值為．令，解得（舍或，，，的最小值，此時(shí)．21．（2022?珠海二模）如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上時(shí)，那么我們稱拋物線與“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)，分別是拋物線，的頂點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）直接寫出，的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，分別是拋物線，上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)，的橫坐標(biāo)相同，記面積為（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)，重合時(shí)，的面積為（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)，重合時(shí)，，令，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，寫出的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)的最大值．【答案】（1），；拋物線的解析式為；（2）或；（3）見解析【詳解】由拋物線可得，將，代入得，解得，，；（2）易得直線的解析式：，①若為直角頂點(diǎn)，，，，直線解析式為聯(lián)立，解得，或，，；②若為直角頂點(diǎn)，，同理得解析式：，聯(lián)立，解得，或，，；③若為直角頂點(diǎn)，設(shè)由得，即，，，，，或，或（無(wú)解）解得或（不符合題意舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)或；（3），，設(shè)，，且，易求直線的解析式：，過(guò)作軸的平行線交于，則，設(shè)交于點(diǎn)，易知，，當(dāng)時(shí)，的最大值為16．22．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線與軸相交于不同的兩點(diǎn)、．（1）求的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)和點(diǎn)，構(gòu)成的的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對(duì)應(yīng)的值．【答案】（1）且；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）解：拋物線與軸相交于不同的兩點(diǎn)、，△，，，二次項(xiàng)系數(shù)是，，的取值范圍為且；（2）證明：拋物線，，拋物線過(guò)定點(diǎn)，過(guò)此定點(diǎn)時(shí)，與無(wú)關(guān)，顯然當(dāng)時(shí)，與無(wú)關(guān)，解得或，當(dāng)時(shí)，，定點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，定點(diǎn)坐標(biāo)為，不在坐標(biāo)軸上，；（3）解：，，，，，最大時(shí)，，解得，或（舍去），當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)的面積最大，沒有最小值，則面積最大為：．故當(dāng)時(shí)，面積取最大值為．23．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)在左邊），交軸于點(diǎn)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立．（1）拋物線解析式；（2）在上方的拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若有求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將拋物線沿軸正方向平移一個(gè)單位．把得到的圖象在軸下方的部分沿軸向上翻折，圖的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，若直線與新圖象有四個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）；（3）時(shí)，直線與新圖象有四個(gè)交點(diǎn)【詳解】（1）由題意可知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，，解得或，，，；（2）存在點(diǎn)，使得，理由如下：，拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，作的垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，，、、在以為圓心為半徑的圓上，，，，，，；（3）如圖2，平移后的拋物線解析式為，拋物線與軸對(duì)稱軸的拋物線解析式為，圖象與軸的交點(diǎn)為，，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，，當(dāng)，△時(shí)，，，時(shí)，直線與新圖象有四個(gè)交點(diǎn)．24．（2022?珠海一模）如圖1，拋物線，點(diǎn)對(duì)稱軸是直線．頂點(diǎn)為．拋物線與軸交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、兩點(diǎn)重合）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線將四邊形分成面積比為的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接，作矩形，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)落在軸上的同時(shí)點(diǎn)也恰好落在拋物線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），或，；（3）存在，【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），時(shí)，．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．，四邊形是矩形．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的函數(shù)表達(dá)式為：，直線交軸于點(diǎn)，如圖1所示：則，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為：．令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線將四邊形分成面積比為的兩部分，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)不與點(diǎn)重合．，，，，，，，．，．分兩種情況：①，即，解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；②，即，解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，；存在點(diǎn)落在軸上的同時(shí)點(diǎn)恰好落在拋物線上，理由如下：由題意得：滿足條件的矩形在直線的下方，過(guò)點(diǎn)作于，則，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，．四邊形與四邊形都是矩形，，，，．，．，．．在和中，，．．，即．，，．．．，即，整理，得，解得或0．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去，．當(dāng)點(diǎn)落在軸上的同時(shí)點(diǎn)恰好落在拋物線上，此時(shí)的長(zhǎng)為．25．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）已知，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)位于第四象限時(shí)，連接，，，若，求直線的解析式；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交軸于，兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）見解析【詳解】（1）將、、代入，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，、，，，，，，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為；（3）的值是為定值．，理由如下：設(shè)，設(shè)直線的解析式為，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，，，，，，的值是為定值．26．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求，的值．（2）點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，的面積為．求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．（3）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，稱這樣的點(diǎn)為“美麗點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出“美麗點(diǎn)”的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），；當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3），或，或，或，【詳解】（1）令，則，解得，，令，則，，將點(diǎn)，，代入，，解得；（2）由（1）可得，令，則，解得或，，，，，，，，，，，即，，，；，當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3），拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，，，①如圖1，當(dāng)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，，，，，，，，，，，；②如圖2，當(dāng)，點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，；③如圖3，當(dāng)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上是