云南省2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)春季學(xué)業(yè)水平考試試題含解析

PAGE15-云南省2024-2025學(xué)年中學(xué)數(shù)學(xué)春季學(xué)業(yè)水平考試試題（含解析）一、選擇題：本大題共19個(gè)小題，每小題3分，共57分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請?jiān)诖痤}卡相應(yīng)的位置上填涂.1.已知集合M={，0，1}，N={1，3}，則MN等于（）A.{3} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1，3}【答案】B【解析】【分析】干脆利用集合交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧螹={，0，1}，N={1，3}，所以MN等于{1}，故選：B.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(1，+∞) D.[1，+∞).【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)知即可求定義域.【詳解】由函數(shù)解析式知：，所以，即，故選：C3.一只螞蟻在如圖所示的地板磚(除顏色不同外，其余全部相同)上爬來爬去，它最終停留在黑色地板磚(陰影部分)上的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】考慮測度為面積的幾何概型.【詳解】一塊地磚的面積為，所以總面積為，黑色地磚的總面積為，設(shè)“最終停留在黑色地板磚(陰影部分)上”為事務(wù),則.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)干脆推斷.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，和是非奇非偶函數(shù)，是偶函數(shù)，故選：D5.計(jì)算等于（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】干脆利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡得解.【詳解】由題得.故選：C6.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，故選：A7.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間（）A. B. C. D.，【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可得到結(jié)論.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)單調(diào)遞增，（1），（2），在內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn)，故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在區(qū)間的推斷，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的推斷條件是解決本題的關(guān)鍵.8.在等差數(shù)列的中，若，則等于（）A.25 B.11 C.10 D.9【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)干脆求解．【詳解】因?yàn)?，，故選：D．9.在中，已知BC=4，A=45°，B=60°，則AC等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理有，結(jié)合已知即可求AC.【詳解】由正弦定理知：，又BC=4，A=45°，B=60°，∴，故選：A10.下列函數(shù)中，最小正周期為π的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用周期公式分別求出選項(xiàng)中函數(shù)的最小正周期即可得答案.【詳解】的最小正周期，A正確；的最小正周期，B不正確；的最小正周期，C不正確；的最小正周期，D不正確，故選：A11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸人x的值為1，則輸出y的值為（）A.2 B.7 C.8 D.128【答案】C【解析】【分析】讀懂程序流程圖，依據(jù)條件結(jié)構(gòu)有，執(zhí)行即可知輸出值.【詳解】輸入為，結(jié)合圖中的條件邏輯，∵，∴執(zhí)行，故輸出y的值為8.故選：C12.若直線3x-y+1=0與直線6x-ay-1=0平行，則a的值為（）A.-2 B.2 C.-18 D.18【答案】B【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：B13.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，則等于（）A.32 B.31 C.16 D.15【答案】B【解析】【分析】先求得首項(xiàng)，依據(jù)等比數(shù)列的求和公式，代入首項(xiàng)和公比的值，即可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，所以，又因?yàn)椋?故選：B.14.已知，則cos2a等于（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二倍角的余弦公式干脆計(jì)算.【詳解】，，故選：D15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.8π B.16π C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖還原直觀圖得到幾何體為高為4，底面半徑為2圓柱體的一半，即可求出體積.【詳解】由三視圖知：幾何體直觀圖為下圖圓柱體：高為h=4，底面半徑r=2圓柱體的一半，∴，故選：A16.已知a>b，則下列式子中肯定成立的是（）A. B.|a|>|b| C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特別值法以及的單調(diào)性即可推斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A，若則，故錯(cuò)誤；對于B，若則，故錯(cuò)誤；對于C，若則，故錯(cuò)誤；對于D，由上單調(diào)增，即，故正確.故選：D17.若向量與的夾角為60°，且則等于（）A.37 B.13 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，，代入可得選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，且所以所以，故選：C．18.已知變量x和y滿意關(guān)系，則下列結(jié)論中正確的是（）A.x與y線性正相關(guān)B.x與y線性負(fù)相關(guān)C.若x增加1個(gè)單位，則y也增加1個(gè)單位D.若x削減1個(gè)單位，則y也削減1個(gè)單位【答案】B【解析】【分析】由題意依據(jù)一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)可推斷得選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)樽兞縳和y滿意關(guān)系，一次項(xiàng)系數(shù)為，所以x與y線性負(fù)相關(guān)，故A不正確，B正確；若x增加1個(gè)單位，則，y也增加1個(gè)單位不正確，故C不正確；若x削減1個(gè)單位，則，y也削減1個(gè)單位不正確，故D不正確；故選：B．19.要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向左平移個(gè)單位長度C.向右平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【答案】B【解析】【分析】干脆利用三角函數(shù)的平移變換求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y＝cos，所以要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象向左平移個(gè)單位長度，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分.請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.20.某組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________.【答案】21.【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖寫出數(shù)據(jù)并排序即可知中位數(shù).【詳解】由莖葉圖知：這組數(shù)據(jù)為，∴中位數(shù)為21.故答案為：21.21.已知平面對量，則的坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得的坐標(biāo).【詳解】由，而，，∴，故答案為：.22.已知變量x，y滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為________.【答案】.【解析】【分析】由已知約束條件得到可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)過域內(nèi)的點(diǎn)有最小值，即在軸上的截距最小，即可求其最小值.【詳解】由約束條件可得如下可行域，∴平移過程中與可行域有交點(diǎn)，且保證當(dāng)時(shí)直線在軸上的截距最小即可，即當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值為，故答案為：.23.若函數(shù)的定義域?yàn)閇a，b]，值域也為[a，b](a<b)，則稱函數(shù)是定義在[a，b]上的“四維光軍”函數(shù).已知是[1，b]上的“四維光軍”函數(shù)，則常數(shù)b的值為________.【答案】2【解析】【分析】利用“四維光軍”函數(shù)的定義，建立定義域和值域之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)樵赱1，b]上是增函數(shù)，且，所以，即，解得或（不符合區(qū)間的定義，舍去）故答案為：2三、解答題:本大題共4個(gè)小題，第24題5分，第25題6分，第26題7分，第27題9分，共27分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24.在中，角所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．詳解】（1），由余弦定理可得,,（2）.【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特別角的三角函數(shù)值，嫻熟駕馭定理是解本題的關(guān)鍵．25.如圖所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，M，N分別是AC，AD的中點(diǎn).（1）求證:MN//平面BCD；（2）求證:CD⊥平面ABC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由中位線定理可得，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合，再由線面垂直的判定定理，即可得證．【詳解】（1）因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以．又平面且平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以．又，，且在平面?nèi)，所以平面．【點(diǎn)睛】證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，運(yùn)用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、找尋比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.26.某市為了推動全國文明城市的創(chuàng)建工作，隨機(jī)訪問了300名市民對社會主義核心價(jià)值觀的了解狀況，獲得了他們的現(xiàn)場測試成果，將成果依據(jù)[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成五個(gè)組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.現(xiàn)從測試成果在[80，90)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的市民中，采納分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談.（1）求這5人中測試成果在[80，90)內(nèi)的人數(shù)；（2）若再從這5人中隨機(jī)抽取2人作閱歷溝通發(fā)言，求這2人的測試成果都在[80，90)內(nèi)的概率.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖求得，測試成果在[80,90)的頻率和測試成果在[90,100]的頻率為，再求得測試成果在[80,90)內(nèi)的人數(shù)和測試成果在[90,100]內(nèi)的人數(shù)，采納分層抽樣的方法可求得這5人中測試成果在[80,90)內(nèi)的人數(shù)；(2)由(1)知,抽取的5人中,測試成果在[80,90)內(nèi)的有3人，在[90,100]內(nèi)的有2人，再運(yùn)用組合學(xué)問和古典概率公式可求得這2人的測試成果都在[80,90)內(nèi)的概率．【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，測試成果在[80,90)的頻率為，測試成果在[90,100]的頻率為，所以測試成果在[80,90)內(nèi)的人數(shù)為(人),測試成果在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為(人),所以從測試成果在[80,90)和[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的市民中,采納分層抽樣的方法抽取5人，這5人中測試成果在[80,90)內(nèi)的人數(shù)（人），(2)由(1)知,抽取的5人中,測試成果在[80,90)內(nèi)的有3人，在[90,100]內(nèi)的有2人，從這5人中隨機(jī)抽取2人共有(種)抽法，這2人的測試成果都在[80,90)內(nèi)的抽法有(種)，所以這2人的測試成果都在[80,90)內(nèi)的概率．27.已知圓C的方程為.（1）寫出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時(shí)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求三角形OAB的面積.【答案】（1）圓心坐標(biāo)是，半徑是；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，干脆寫出圓心坐標(biāo)和半徑即可．（2）設(shè)出點(diǎn)，坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓的方程，消去，確定關(guān)于的一元二