導數壓軸專題突破-第05講 放縮法妙解不等式問題（含答案及解析）

第05講放縮法妙解不等式問題【典型例題】例1．已知函數，其中且．（1）設，過點作曲線的切線（斜率存在），求切線的斜率；（2）證明：當或時，．例2．已知函數．（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．例3．已知函數，函數，，．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．（3）證明：．例4．已知函數，．（1）當時，求函數在，（1）處的切線方程；（2）當時，證明：．例5．已知函數．（1）若，恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當時，；（3）證明：當時，．例6．已知函數，．（1）設，是的極值點，求函數的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．例7．已知函數，其中為自然對數的底數．（1）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；（2）若，證明：．【同步練習】1．已知函數．（1）若．證明在上單調遞減；（2）若，證明：（其中是自然對數的底數）2．已知函數，．（1）證明：當時，；（2）若存在，使得對任意的都有成立．求的值．（其中是自然對數的底數）．3．已知函數，其中．（1）若在定義域內是單調函數，求的取值范圍；（2）當時，求證：對任意，恒有成立．4．已知函數，．（1）求在點，處的切線方程；（2）證明：對任意的實數，在，上恒成立．5．已知函數，為的導數．（1）當時，求的最小值；（2）當時，恒成立，求的取值范圍．6．已知函數，曲線在點，（1）處的切線方程為．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）證明：．7．已知函數，在點，（1）處的切線方程為．（1）求，；（2）證明：．8．已知函數．（Ⅰ）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當時，證明：．9．已知函數，．（1）若函數的最小值為0，求的值．（2）證明：．

第05講放縮法妙解不等式問題【典型例題】例1．已知函數，其中且．（1）設，過點作曲線的切線（斜率存在），求切線的斜率；（2）證明：當或時，．【解析】（1）解：由，得，因為，故點不在曲線上，設切點為，，則切線的斜率為，又，所以，整理得，將代入得，整理得，即，所以，因為，所以，所以，故切線的斜率為；（2）證明：①當時，，所以，由得，又，當且僅當時取等號，所以，即，即當且時，；②當時，令，所以，令，即，因為，所以，是，上的增函數，又，所以，故當，時，，由①知，所以，即當時，，綜上所述：當或時，．例2．已知函數．（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．【解析】（1）解：當時，，所以，討論：①當時，，有；②當時，由函數為增函數，有，有；③當時，由函數為增函數，有，有．綜上，函數的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．（2）證明：當時，有，所以，所以，令，則，令，有，令，得，分析知，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以．所以分析知，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，故當時，．例3．已知函數，函數，，．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．（3）證明：．【解析】解：（1）函數的定義域，，當，時，，則在上單調遞增；當，時，由可得，此時函數單調遞增，令可得，此時函數單調遞減，當，時，，函數在單調遞減，當，時，由可得，此時函數單調遞增，令可得，此時函數單調遞減，（2）當時，，由（1）知，（1），所以，（3）因為，所以，由（2）可得，即，又．，即．例4．已知函數，．（1）當時，求函數在，（1）處的切線方程；（2）當時，證明：．【解析】解：（1）當時，，（1），又（1），函數在，（1）處的切線方程為；證明（2），，令，，令，解得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，（1），恒成立，要證，只需證，即證，令，則，令，解得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，（1），恒成立，，故恒成立．例5．已知函數．（1）若，恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當時，；（3）證明：當時，．【解析】解：（1），恒成立，，可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，函數在時取得極小值，（3），的取值范圍是，．（2）證明：當時，要證明，即證明，令，，，可得：時，，此時函數單調遞增；時，，此時函數單調遞減．時，函數取得極大值即最大值，（3），，（3），因此，結論成立．（3）證明：由（2）可得：，令，當時，，當時，．例6．已知函數，．（1）設，是的極值點，求函數的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．【解析】解：（1），則，是的極值點，．，在上單調遞增．又（3），在上單調遞減，在上單調遞增．（2）要證，即．，則，故只需證，令，則，在上單調遞增，且（2），時，，遞減；時，，遞增．（2），即原命題得證．例7．已知函數，其中為自然對數的底數．（1）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；（2）若，證明：．【解析】解：（1）由條件得：，令，則，①當時，在，上，，單調遞增，，即，在，上是增函數，，滿足條件．②當時，令，解得，在，在，，單調遞減，當時，有，即，在上為減函數，，不合題意，綜上，實數得取值范圍為．（2）由（1）可知：當時，時，，即．要證明，只需證明，只需證明，只需證明．設，則，當時，恒成立，故在區(qū)間上單調遞增，又，恒成立，原不等式成立．【同步練習】1．已知函數．（1）若．證明在上單調遞減；（2）若，證明：（其中是自然對數的底數）【解析】解：（1）當時，函數的定義域為，，；，令，只需證：時，即可；當時，，故是上的減函數，，，函數在上單調遞減．（2）當時，原不等式可化為，，故原不等式等價于，由（1）可知當時，是上的減函數，故要求原不等式成立，只需證明：當時；令，則，故是上的減函數，，即，故原不等式成立．2．已知函數，．（1）證明：當時，；（2）若存在，使得對任意的都有成立．求的值．（其中是自然對數的底數）．【解析】解：（1）令．則．于是在單調遞增，所以（e），即．（5分）（2）．令，．當時，由（1）知．則，當時，于是，從而．故在嚴格單調遞增．其中（9分）當，時，則．（用到了在，單調遞增與于是，故在，嚴格單調遞減．（11分）綜上所述，在，嚴格單調遞減，在嚴格單調遞增．因為，所以，．所以．（12分）3．已知函數，其中．（1）若在定義域內是單調函數，求的取值范圍；（2）當時，求證：對任意，恒有成立．【解析】解：（1）因為，所以，因為在定義域內是單調遞減函數，則在上恒成立，若，則，令，得，易知（1），且函數在上單調遞減，當時，，所以在區(qū)間上，；在上，所以在上單調遞增，在上單調遞減，此時的最大值為（1），所以當時，在定義域上單調遞減；即的取值范圍是，．（2）證明：當時，，要證，即證，當時，，而，故成立，即成立，當時，令，則，設，則，，，故時，單調遞增，故，即，在單調遞增，故，即成立，綜上：對任意，恒有成立．4．已知函數，．（1）求在點，處的切線方程；（2）證明：對任意的實數，在，上恒成立．【解析】（1）解：由題意，，則，即在點，處的切線斜率為，由，可得切線方程為，即．（2）證明：設，則，則，，所以在，上單調遞增，，故在，上單調遞增，，故在，上單調遞增，所以，所以在，上恒成立，故，故只需證，即證，設，則，則在，上單調遞增，，故對任意的實數，在，上恒成立．5．已知函數，為的導數．（1）當時，求的最小值；（2）當時，恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），令，，則，當，時，為增函數，，當，時，，所以時，，為增函數，故，即的最小值為1．（2）方法一：令，，則時，恒成立，當時，若，則由（1）可知，，所以為增函數，故恒成立，即恒成立，若，，則，在，上為增函數，又，，所以存在唯一，，使得，當，，使得，為減函數，當，時，，為增函數，又，，所以存在唯一，使得，故，時，，為增函數，，時，，為減函數，又，，所以，時，，為增函數，故，即恒成立，當時，由（1）可知在，上為增函數，且，，故存在唯一，使得，則當時，，為減函數，所以，此時與恒成立矛盾，綜上所述，．方法二若，，則，，，①當時，，，，②當時，，，，，，單調遞增，，，③當時，由（1）可知在，上為增函數，且，，故存在唯一，使得，則當時，，為減函數，所以，此時與恒成立矛盾，綜上，當時，在，上恒成立．6．已知函數，曲線在點，（1）處的切線方程為．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）證明：．【解析】（Ⅰ）解：函數，求導函數可得曲線在，（1）處的切線方程為，（1），（1），，，，；（Ⅱ）證明：函數，由的導數，當時，導數，函數遞增；當時，導數，函數遞減．可得函數在處取得極小值也為最小值0，即有；由的導數為，當時，導數，函數遞減；當時，導數，函數遞增．可得函數在處取得極大值也為最大值0，即有；由于等號不同時取得，則，即有成立．7．已知函數，在點，（1）處的切線方程為．（1）求，；（2）證明：．【解析】（1）解：函數，求導函數可得．曲線在，（1）處的切線方程為，（1），（1），，；（2）證明：函數，要證，需證，即證，也就是證，令，則對于恒成立，則，，則，令，則，當時，，當，時，，在上為減函數，在，上為增函數，則的最小值為．，即，，故．8．已知函數．（Ⅰ）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當時，證明：．【解析】解：（Ⅰ）當時，，所以（1分）所以（1），（1）．（2分）所以曲線在點，（1）處的切線方程為．即．（3分）（Ⅱ）證法一：當時，．要證明，只需證明．（4分）以下給出三種思路證明．思路1：設，則．設，則，所以函數在上單調遞增．（6分）因為，（1），所以函數在上有唯一零點，且．（8分）因為時，所以，即．（9分）當時，；當，時，．所以當時，取得最小值．（10分）故．綜上可知，當時，．（12分）思路2：先證明．（5分）設，則．因為當時，，當時，，所以當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增．所以．所以（當且僅當時取等號）．（7分）所以要證明，只需證明．（8分）下面證明．設，則．當時，，當時，，所以當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增．所以（1）．所以（當且僅當時取等號）．（10分）由于取等號的條件不同，所以．綜上可知，當時，．（12分）（若考生先放縮，或、同時放縮，請參考此思路給分！思路3：先證明．因為曲線與曲線的圖象關于直線對稱，設直線與曲線，分別交于點，，點，到直線的距離分別為，，則．其中，．①設，則．因為，所以．所以在上單調遞增，則．所以．②設，則．因為當時，；當時，，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以（1）．所以．所以．綜上可知，當時，．（12分）證法二：因為，要證明，只需證明．（4分）以下給出兩種思路證明．思路1：設，則．設，則．所以函數在上單調遞增．（6分）因為，（1），所以函數在上有唯一零點，且．（8分）因為，所以，即（9分）當時，；當，時，．所以當時，取得最小值（10分）故．綜上可知，當時，．（12分）思路2：先證明，且．（5分）設，則．因為當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以當時，取得最小值．所以，即（當且僅當時取等號）．（7分）由，得（當且僅當時取等號）．