導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第16講 同構(gòu)法巧證不等式（含答案及解析）

第16講同構(gòu)法巧證不等式【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．例2．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，，證明：當(dāng)時(shí)，例3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．例4．已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（3）若，且，求證：．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)且時(shí)，試比較與的大小．4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式．5．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式6．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，．7．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）8．已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．

第16講同構(gòu)法巧證不等式【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，證明（2）設(shè)，則，由（1）可得在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，．例2．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，，證明：當(dāng)時(shí)，【解析】（1）解：，①時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，若，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，若，，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增（2）證明：時(shí)，，要證，即證，即證，令，上面不等式等價(jià)于，要證明對(duì)于任意，都成立，即證單調(diào)遞增，又，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，即恒成立，故當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上可得，又恒成立，故單調(diào)遞增，得證．例3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，△，解得或，若，此時(shí)△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述：若，在單調(diào)遞增；若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（1），所以在上恒成立．（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2，設(shè)，，設(shè)，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，．法二：，即，令，則原不等式等價(jià)于，，令，則，遞減，故，，遞減，又，故，原結(jié)論成立．例4．已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（3）若，且，求證：．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，且，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2），，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．（3），，，即．由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且（1），則，要證，即證，即證，即證，即證，由于，，即證．令，，，恒成立，在遞增，（e）在恒成立，原不等式成立．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．【解析】（1）解：由函數(shù)的解析式可得，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）證明：由，得，即，由（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以（1），且（e），令，，則，為的兩根，其中．不妨令，，則，先證，即證，即證，令，則在單調(diào)遞減，所以（1），故函數(shù)在單調(diào)遞增，（1）．，，得證．同理，要證，（法一）即證，根據(jù)（1）中單調(diào)性，即證，令，，則，令，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得證，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，單調(diào)遞增，所以（e），即，所以，得證，則．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：．【解析】（1）解：函數(shù)定義域?yàn)?，則，故在，遞增，當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，（1），由函數(shù)零點(diǎn)存在定理得在區(qū)間，內(nèi)有唯一零點(diǎn)，綜上可得，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．（2）證明：法一：要證，即證，令，定義域?yàn)椋瑒t，由（1）知，在區(qū)間，內(nèi)有唯一零點(diǎn)，設(shè)其為，則①，因，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，，單調(diào)遞增；所以，由式①可得，，所以，又時(shí)，恒成立，所以，得證．法二：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為證明，令，易知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立）又，則，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立）．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）解：，得，得，在上遞減，在上遞增．（2）解：函數(shù)在處取得極值，，，令，則，由得，，由得，，在，上遞減，在，上遞增，，即．（3）證明：，即證，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．，即，在上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，有．3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)且時(shí)，試比較與的大?。窘馕觥拷猓海?）函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)在處取得極值，，，，移項(xiàng)，將分離得出，，令，則令，可知在上，在，上，在處取得極小值，也就是最小值．此時(shí)，所以．（1）由（1）在上為減函數(shù)．且時(shí)，有，，整理得①當(dāng)時(shí)，，由①得，當(dāng)時(shí)，，由①得．4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式．【解析】解：（1）．當(dāng)時(shí)，，從而，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而，若，則，從而，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（4分）（2）根據(jù)（1）函數(shù)的極值點(diǎn)是，若，則，，即，，即，令，則，得：是函數(shù)在內(nèi)的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故，故；（3）由即，構(gòu)造函數(shù)，則，，，即在遞增，，，．5．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式【解析】解：（1），，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，得，得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)．（2）函數(shù)在處取得極值，根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，，即，兩邊都除以正數(shù)，得，令，則，由得，，在上遞減，由得，，在，上遞增，，可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．（3）令，其中可得再設(shè)，可得在上恒成立是上的增函數(shù)，可得因此，在上恒成立，可得是上的增函數(shù)．，，可得且，不等式兩邊都乘以，可得．即對(duì)任意，都有不等式成立．6．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則．，，，，則，從而在，上單調(diào)遞減，，即．（3）證明：方法一：當(dāng)時(shí)，．由（1）知，（1），，即．當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，，即．方法二：當(dāng)時(shí)，要證，只需證即證，令，易證，故，所以當(dāng)時(shí)，．7．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，（1），即在定義域上恒成立，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，要證，即證，只需證，設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，（1），，即得證．8．已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上