導數(shù)壓軸專題突破-第19講 零點問題之個數(shù)問題、范圍問題、分段零點問題、隱零點問題（含答案及解析）

第19講零點問題之個數(shù)問題、范圍問題、分段零點問題、隱零點問題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．例2．已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．例3．已知函數(shù)．（1）當時，求的最大值；（2）討論關于的方程的實根的個數(shù)．例4．已知函數(shù)（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）如果，是曲線上的任意一點，若以，為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；（3）討論關于的方程的實根的個數(shù)情況．例5．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有且僅有3個零點，求的取值范圍．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）例6．設函數(shù)，曲線在點，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．例7．已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．例8．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【同步練習】1．已知函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線方程為，且存在實數(shù)，，使得直線與曲線相切，求的值；（2）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍．2．已知函數(shù)．（1）當時，證明：在區(qū)間上不存在零點；（2）若，試討論函數(shù)的零點個數(shù)．3．已知函數(shù)，．（1）當為何值時，軸為曲線的切線．（2）設在，單調遞增，求的取值范圍．（3）用，表示，中的最小值，設函數(shù)，，討論零點的個數(shù)．4．已知函數(shù)，．當為何值時，軸為曲線的切線；用，表示，中的最小值，設函數(shù)，，討論零點的個數(shù)．5．已知函數(shù)．（1）當為何值時，軸為曲線的切線，（2）用，表示，中的最大值，設函數(shù)，，當時，討論零點的個數(shù)．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．7．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在處的切線方程；（Ⅱ）如果當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：當時，函數(shù)恰有3個零點．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．9．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．（注10．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅲ）用，表示，中的較大者，記函數(shù)，．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．11．已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．

第19講零點問題之個數(shù)問題、范圍問題、分段零點問題、隱零點問題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：由題意，的定義域為，且．（1）當時，，令，解得．當時，，單調遞減，當時，，單調遞增．在上單調遞減，在上單調遞增；（2）當時，恒成立，在上單調遞增，不合題意；當時，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增．的極小值也是最小值為．又當時，，當時，．要使有兩個零點，只要即可，則，可得．綜上，若有兩個零點，則的取值范圍是，．例2．已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）當時，，，，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減．（2），當時，，單調遞增，不合題意；當時，，，單調遞增，，，單調遞減，，令，得，，，所以當時，有兩個零點．例3．已知函數(shù)．（1）當時，求的最大值；（2）討論關于的方程的實根的個數(shù)．【解析】解：（1）時，，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減，故；（2）由，得，顯然是該方程的根，時，方程等價于，令，，則，令，則，時，單調遞減，時，（1），，單調遞減，時，（1），，單調遞增，時，，時，，時，，畫出函數(shù)的圖像，如圖示：結合圖像得：時，方程有2個實根，時，方程沒有實根，綜上：時，方程僅有1個實根，時，方程有3個實根．例4．已知函數(shù)（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）如果，是曲線上的任意一點，若以，為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；（3）討論關于的方程的實根的個數(shù)情況．【解析】解：（1）當時，，定義域為，（1分）則（2分）令，得，由，得，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．（4分）（2）由題意，，以，為切點的切線的斜率滿足，所以對恒成立．（6分）又當時，，所以的最小值為（8分）（3）由題意，方程化簡得，，令，則．當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．（10分）所以在處取得極大值，即最大值，最大值為（1）（11分）所以當時，即時，的圖象與軸恰有兩個交點，方程有兩個實根；（12分）當時，的圖象與軸恰有一個交點，方程有一個實根；（13分）當時，的圖象與軸無交點，方程無實根．（14分）例5．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有且僅有3個零點，求的取值范圍．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】解：（1）的定義域為，且，①若，則，當時，，單調遞增，時，，單調遞減，②若，當時，，當時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，③若，則，所以在上單調遞減，④若，當時，，當時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述：若，在上單調遞增，在上單調遞減，若，在和上單調遞減，在上單調遞增，若，在上單調遞減，若，在和上單調遞減，在上單調遞增．（2）令，則，所以依題意可得函數(shù)與的圖像有3個不同的交點，由（1）知必有或，①當時，在和上單調遞減，在上單調遞增，所以的極大值為（1），的極大值為（1），的極小值為（a），又（a），所以函數(shù)與的圖像至多有1個交點，不合題意，②當時，在和上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值為（1），的極大值為（a），所以必須有成立，因為，所以，所以，所以，下面求不等式的解集，令，則不等式等價于，令函數(shù)，則，令，有，函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又（2），所以，即恒成立，故函數(shù)單調遞減，又（2），所以當且僅當時，，所以不等式的解集為，即不等式的解集為．所以的取值范圍為．例6．設函數(shù)，曲線在點，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【解析】（1）解：由，得，，即；（2）證明：法一、設為的一個零點，根據(jù)題意，，且，則，且，令，，當，，時，，當，時，可知在，，上單調遞減，在，上單調遞增．又，（1），，，．設為的零點，則必有，即，，得，即．所有零點的絕對值都不大于1．法二、由（1）可得，．，可得當，，時，，當，時，，則在，，上單調遞增，在，上單調遞減．且，，，（1），若的所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或（1）．即或．當時，，，，（1），又，由零點存在性定理可知，在上存在唯一一個零點．即在上存在唯一零點，在上不存在零點．此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；當時，，，，（1），又，由零點存在性定理可知，在上存在唯一一個零點．即在上存在唯一零點，在上不存在零點．此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾．綜上，所有零點的絕對值都不大于1．例7．已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）函數(shù)，令，解得．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以函數(shù)有最小值．（2），（1）．當時，函數(shù)是增函數(shù)，有唯一的零點，與已知矛盾．當時，，令，則，所以是增函數(shù)．又，，故存在，使，即．當時，，即，單調遞減；當，時，，即，單調遞增，所以函數(shù)有最小值且．，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以（1）．當時，存在使，又（1），故有且僅有兩個不同的零點；當時，此時，有唯一的零點；當時，存在，使，又（1），故有且僅有兩個不同的零點．綜上所述，，，．例8．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），，，，令，得，所以時，，時，，所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．（2），設，所以，，，易知：，，且單調遞增，所以存在，使，即，所以，且當時，，單調遞減，當，時，，單調遞增，所以，因為當時，，當時，，要想函數(shù)有且僅有兩個零點，則只需，因為，所以，所以，令，，故單調遞減，且（1），要使，則要滿足，由單調遞增，可知，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是．【同步練習】1．已知函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線方程為，且存在實數(shù)，，使得直線與曲線相切，求的值；（2）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）由，得，，又，曲線在處的切線方程為，則，則，即．由，得，則曲線在點，處的切線方程為，即，從而，，，；（2）由題意知，，函數(shù)有零點，即有根．當時，，不符合題意；當時，函數(shù)有零點等價于有根．設，則，設，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，（1），僅有一根，且當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，（1）．若函數(shù)有零點，則，從而．2．已知函數(shù)．（1）當時，證明：在區(qū)間上不存在零點；（2）若，試討論函數(shù)的零點個數(shù)．【解析】解：（1）時，，故時，有，，從而，故在上單調遞減，當，時，有，，，故，在，單調遞減，從而在上單調遞減，且，，故函數(shù)在區(qū)間上不存在零點；（2），，故在上單調遞減，在上單調遞增，故，，故①當時，，，此時，在上僅有1個零點，②當時，，，令（a），（a），（a）在單調遞增，從而（a）（1），，從而在上存在1個零點，又，記（a），且（a），故（a）在遞減，有（a）（1），即在上也存在1個零點，綜上：當時，函數(shù)有2個零點，當時，函數(shù)只有1個零點．3．已知函數(shù)，．（1）當為何值時，軸為曲線的切線．（2）設在，單調遞增，求的取值范圍．（3）用，表示，中的最小值，設函數(shù)，，討論零點的個數(shù)．【解析】解：（1）．設曲線與軸相切于點，，則，，，解得，，因此當時，軸為曲線的切線；（2），導數(shù)為，由題意可得在，恒成立，即有的最小值，由的導數(shù)為在遞增，即有最小值為4，則，解得；（3）當時，，函數(shù)，，故在時無零點．當時，若，則（1），（1），（1）（1），故是函數(shù)的一個零點；若，則（1），（1），（1）（1），故不是函數(shù)的零點；當時，，因此只考慮在內(nèi)的零點個數(shù)即可．①當或時，在內(nèi)無零點，因此在區(qū)間內(nèi)單調，而，（1），當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點．②當時，函數(shù)在內(nèi)單調遞減，在，內(nèi)單調遞增，故當時，取得最小值．若，即，則在內(nèi)無零點．若，即，則在內(nèi)有唯一零點．若，即，由，（1），當時，在內(nèi)有兩個零點．當時，在內(nèi)有一個零點．綜上可得：當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，函數(shù)有三個零點．4．已知函數(shù)，．當為何值時，軸為曲線的切線；用，表示，中的最小值，設函數(shù)，，討論零點的個數(shù)．【解析】解：．設曲線與軸相切于點，，則，，，解得，．因此當時，軸為曲線的切線；當時，，函數(shù)，，故在時無零點．當時，若，則（1），（1），（1）（1），故是函數(shù)的一個零點；若，則（1），（1），（1）（1），故不是函數(shù)的零點；當時，，因此只考慮在內(nèi)的零點個數(shù)即可．①當或時，在內(nèi)無零點，因此在區(qū)間內(nèi)單調，而，（1），當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點．②當時，函數(shù)在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，故當時，取得最小值．若，即，則在內(nèi)無零點．若，即，則在內(nèi)有唯一零點．若，即，由，（1），當時，在內(nèi)有兩個零點．當時，在內(nèi)有一個零點．綜上可得：時，函數(shù)有一個零點．當時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，函數(shù)有三個零點．5．已知函數(shù)．（1）當為何值時，軸為曲線的切線，（2）用，表示，中的最大值，設函數(shù)，，當時，討論零點的個數(shù)．【解析】解：（1）設曲線與軸相切于點，，則，即，，當時，軸為曲線的切線．（2）令，，則，，，由，得，當時，，為增函數(shù)；當，時，為減函數(shù)，，，①當，即時，有一個零點；②當，即時，有兩個零點；③當，即時，有三個零點；④當，即時，有兩個零點；⑤當，即時，有一個零點，綜上，或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當，有三個零點．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，求導，，當時，，在上單調遞減，當時，，令，解得：，當，解得：，當，解得：，時，單調遞減，，單調遞增；綜上可知：當時，在單調減函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點，當時，，當時，，，當時，，當，，且遠遠大于和，當，，函數(shù)有兩個零點，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，，，即，設，則，，求導，由（1），，解得：，的取值范圍．方法二：（1）由，求導，，當時，，在上單調遞減，當時，，令，解得：，當，解得：，當，解得：，時，單調遞減，單調遞增；綜上可知：當時，在單調減函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點，②當時，由（1）可知：當時，取得最小值，，當，時，，故只有一個零點，當時，由，即，故沒有零點，當時，，，由，故在有一個零點，假設存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個零點．的取值范圍．7．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在處的切線方程；（Ⅱ）如果當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：當時，函數(shù)恰有3個零點．【解析】解：（Ⅰ）當時，，則，切線斜率，又，所求切線方程為；（Ⅱ）依題意，在上恒成立，設，則，①當時，，則，在上單調遞增，故滿足題意；②當時，設，因為二次函數(shù)的開口向上，，所以存在，使得，且當時，，，單調遞減，故此時，不滿足題意；綜上，實數(shù)的取值范圍為，；（Ⅲ）證明：函數(shù)的定義域為，當時，函數(shù)的零點個數(shù)等價于的零點個數(shù)，由（Ⅱ）可知，設，由二次函數(shù)在時，，，可知存在，，使得，在，，單調遞增，在，，單調遞減，又，故，，又當時，，故在，存在一個零點；當時，，故在存在一個零點；又，故當時，函數(shù)恰有3個零點．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）．，時，，在遞增，時，令，解得：或，令，解得：，在遞增，在，遞減，在，遞增，綜上，時，在遞增，時，在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）得：，，，若有三個零點，只需，解得：，故．9．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．（注【解析】解：（1）由題意可知的定義域為，，對于，△．①當△，即時，在上單調遞增；②當△，即或時，令，即，解得，令，則或；令，則；所以在上單調遞增，在，上單調遞減，在，上單調遞增．綜上，當時，在上單調遞增；當或時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）當時，等價于，設，，則，當時，，故單調遞增，且當時，；當時，，此時無論取何值，函數(shù)與的圖象都有且只有1個交點，此時方程有且只有1個解，函數(shù)有且只有1個零點；當時，，故單調遞減；當時，，故單調遞增，所以為的極小值，且當時，；當時，．若，則函數(shù)與的圖象有且只有兩個交點，此時方程有且只有2個解，函數(shù)有且只有2個零點．綜上，當時，有三個零點．10．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅲ）用，表示，中的較大者，記函數(shù)，．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個零點