導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第32講 導(dǎo)數(shù)中的距離問題（含答案及解析）

第32講導(dǎo)數(shù)中的距離問題【典型例題】例1．若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，例2．已知函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，例3．點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．例4．已知是曲線上的點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．例5．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．例6．已知實(shí)數(shù)，，，，滿足（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），那么的最小值為．例7．若不等式對(duì)任意的，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【同步練習(xí)】一．選擇題1．若存在，．使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，2．若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，3．設(shè)函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是A． B． C． D．14．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．1 D．25．已知，函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)取得最小值時(shí)，則A． B． C． D．4二．填空題6．設(shè)表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為．7．已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線在點(diǎn)，處的切線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為．8．已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線在點(diǎn)，處的切線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為．9．已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．10．設(shè)，，當(dāng)，變化時(shí)的最小值為．11．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值為．12．已知實(shí)數(shù)，，滿足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么的最小值為

第32講導(dǎo)數(shù)中的距離問題【典型例題】例1．若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，【解析】解：在上都是增函數(shù)，在上恒成立，，，令，則，上，，上，，時(shí)，，的最小值為，，故選：．例2．已知函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：，，又對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，在上都是增函數(shù)，在上恒成立，即在上恒成立，的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到直線，即上點(diǎn)的距離的平方，其最小值為．令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（1），則的最小值為．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．例3．點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：因曲線與關(guān)于直線對(duì)稱．所求的最小值為曲線上的點(diǎn)到直線最小距離的兩倍．對(duì)求導(dǎo)，可得，設(shè)與直線平行的切線的切點(diǎn)為，則，解得，可得切點(diǎn)，，則到直線的最小距離．可得的最小值是．故選：．例4．已知是曲線上的點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：得，，曲線是圓心為，半徑的左半圓，曲線上的點(diǎn)到直線的距離，即為的最小值，故選：．例5．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：的導(dǎo)數(shù)為，令，解得或2，可得與直線平行，且與圖象相切的直線為或，可得中點(diǎn)所在直線的方程為或，由圖象可得到直線的距離為，到直線的距離為．即有的最小值為，故選：．例6．已知實(shí)數(shù)，，，，滿足（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），那么的最小值為．【解析】解：由，得，，即點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)的軌跡方程為：，則的幾何意義為，設(shè)斜率為的直線與曲線相切且切點(diǎn)為，，由，則，解得，，由點(diǎn)到直線的距離公式得，即，故答案為：．例7．若不等式對(duì)任意的，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：設(shè)，，，在直線上．不等式左邊的幾何意義是兩點(diǎn)距離的平方．只要到的距離平方大于，即可．或分離常數(shù)可得：．在，恒成立用基本不等式解得：故答案為：．【同步練習(xí)】一．選擇題1．若存在，．使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：存在，．使得成立，設(shè)，，則．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)．由得，令得，，令，則到直線的距離就是的最小值．，，，故選：．2．若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，【解析】設(shè)，，則．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)．由得，令得令，則到直線的距離就是的最小值．，，，故選：．3．設(shè)函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是A． B． C． D．1【解析】解：函數(shù)可以看作是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由得，，解得，曲線上點(diǎn)到直線的距離，則，根據(jù)題意，要使，則，此時(shí)恰好為垂足，由，解得．故選：．4．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．1 D．2【解析】解：設(shè)，，則，令，；將直線平移到與曲線相切，由得或（舍去），所以切點(diǎn)為，由切點(diǎn)到直線的距離為，所以，又因?yàn)殛P(guān)于的不等式有解，則，此時(shí)點(diǎn)滿足，解之得，綜上可得，故選：．5．已知，函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)取得最小值時(shí)，則A． B． C． D．4【解析】解：，則函數(shù)的幾何意義是函數(shù)上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)上一點(diǎn)距離的平方，結(jié)合圖象可知，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，且點(diǎn)為為切點(diǎn)向直線所作垂線的垂足點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取到最小值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，得，所求切點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，聯(lián)立直線與直線的方程得，解得，因此，．故選：．二．填空題6．設(shè)表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為．【解析】解：，若關(guān)于的不等式有解，即為有解，由，可得函數(shù)的幾何意義為點(diǎn)和點(diǎn)的距離，由于兩點(diǎn)在曲線和直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，可得切線的斜率為，解得，則切點(diǎn)為，可得切點(diǎn)到直線的距離為，可得有解，且等號(hào)成立，由和聯(lián)立，可得交點(diǎn)為，，即有，故答案為：．7．已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線在點(diǎn)，處的切線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為．【解析】解：，可得，即有，解得，則，，則切線，的導(dǎo)數(shù)為，過的切線與切線平行時(shí)，距離最短．由，可得，即切點(diǎn)，則到切線的距離為．故答案為：．8．已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線在點(diǎn)，處的切線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為．【解析】解：，可得，即有，解得，則，，則切線，的導(dǎo)數(shù)為，過的切線與切線平行時(shí)，距離最短．由，即，由，的圖象可得，即切點(diǎn)，則到切線的距離為．故答案為：．9．已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，由的?dǎo)數(shù)為，令，可得，所以切點(diǎn)為，它到直線即的距離．即點(diǎn)到直線的距離的最小值為．故答案為：．10．設(shè)，，當(dāng)，變化時(shí)的最小值為．【解析】解：設(shè)，則表示函數(shù)上一點(diǎn)與函數(shù)上一點(diǎn)之間的距離，又函數(shù)表示焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線，由拋物線的定義可得，，的幾何意義即為，作出示意圖如下，由圖觀察可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，且垂直于過點(diǎn)的函數(shù)的切線，點(diǎn)為線段與函數(shù)的交點(diǎn)時(shí)，最小，設(shè)，，，則，解得，即，的最小值為．故答案為：．11．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值為．【解析】解：如圖：在直線的下方在拋物線上，（反之，的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不會(huì)有最小值）；直線，