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第32講導(dǎo)數(shù)中的距離問題【典型例題】例1.若對任意的正實數(shù),函數(shù)在上都是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.,例2.已知函數(shù),若對任意的正實數(shù),在上都是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是A., B., C., D.,例3.點是曲線上的一個動點,點是曲線上的一個動點,則的最小值為A. B. C. D.例4.已知是曲線上的點,是直線上的一點,則的最小值為A. B. C. D.例5.已知點,點在曲線上,點在直線上,為線段的中點,則的最小值為A. B. C. D.例6.已知實數(shù),,,,滿足(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),那么的最小值為.例7.若不等式對任意的,,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.【同步練習(xí)】一.選擇題1.若存在,.使得成立,則實數(shù)的取值范圍是A., B., C., D.,2.若存在,,使得成立,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.,3.設(shè)函數(shù),其中,.若存在正數(shù),使得成立,則實數(shù)的值是A. B. C. D.14.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式有解,則實數(shù)的值為A. B. C.1 D.25.已知,函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)),當取得最小值時,則A. B. C. D.4二.填空題6.設(shè)表示自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若關(guān)于的不等式有解,則實數(shù)的值為.7.已知函數(shù),點為曲線在點,處的切線上的一點,點在曲線上,則的最小值為.8.已知函數(shù),點為曲線在點,處的切線上的一點,點在曲線上,則的最小值為.9.已知是曲線上的動點,是直線上的動點,則的最小值為.10.設(shè),,當,變化時的最小值為.11.已知點是直線上的動點,點是拋物線上的動點.設(shè)點為線段的中點,為原點,則的最小值為.12.已知實數(shù),,滿足,其中是自然對數(shù)的底數(shù),那么的最小值為
第32講導(dǎo)數(shù)中的距離問題【典型例題】例1.若對任意的正實數(shù),函數(shù)在上都是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.,【解析】解:在上都是增函數(shù),在上恒成立,,,令,則,上,,上,,時,,的最小值為,,故選:.例2.已知函數(shù),若對任意的正實數(shù),在上都是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是A., B., C., D.,【解析】解:,,又對任意的正實數(shù),在上都是增函數(shù),在上恒成立,即在上恒成立,的幾何意義為動點到直線,即上點的距離的平方,其最小值為.令,,當時,,當時,,(1),則的最小值為.實數(shù)的取值范圍是.故選:.例3.點是曲線上的一個動點,點是曲線上的一個動點,則的最小值為A. B. C. D.【解析】解:因曲線與關(guān)于直線對稱.所求的最小值為曲線上的點到直線最小距離的兩倍.對求導(dǎo),可得,設(shè)與直線平行的切線的切點為,則,解得,可得切點,,則到直線的最小距離.可得的最小值是.故選:.例4.已知是曲線上的點,是直線上的一點,則的最小值為A. B. C. D.【解析】解:得,,曲線是圓心為,半徑的左半圓,曲線上的點到直線的距離,即為的最小值,故選:.例5.已知點,點在曲線上,點在直線上,為線段的中點,則的最小值為A. B. C. D.【解析】解:的導(dǎo)數(shù)為,令,解得或2,可得與直線平行,且與圖象相切的直線為或,可得中點所在直線的方程為或,由圖象可得到直線的距離為,到直線的距離為.即有的最小值為,故選:.例6.已知實數(shù),,,,滿足(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),那么的最小值為.【解析】解:由,得,,即點的軌跡方程為,點的軌跡方程為:,則的幾何意義為,設(shè)斜率為的直線與曲線相切且切點為,,由,則,解得,,由點到直線的距離公式得,即,故答案為:.例7.若不等式對任意的,,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.【解析】解:設(shè),,,在直線上.不等式左邊的幾何意義是兩點距離的平方.只要到的距離平方大于,即可.或分離常數(shù)可得:.在,恒成立用基本不等式解得:故答案為:.【同步練習(xí)】一.選擇題1.若存在,.使得成立,則實數(shù)的取值范圍是A., B., C., D.,【解析】解:存在,.使得成立,設(shè),,則.點在直線上運動,點在曲線上運動.由得,令得,,令,則到直線的距離就是的最小值.,,,故選:.2.若存在,,使得成立,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.,【解析】設(shè),,則.點在直線上運動,點在曲線上運動.由得,令得令,則到直線的距離就是的最小值.,,,故選:.3.設(shè)函數(shù),其中,.若存在正數(shù),使得成立,則實數(shù)的值是A. B. C. D.1【解析】解:函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方,動點在函數(shù)的圖象上,在直線的圖象上,問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離,由得,,解得,曲線上點到直線的距離,則,根據(jù)題意,要使,則,此時恰好為垂足,由,解得.故選:.4.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式有解,則實數(shù)的值為A. B. C.1 D.2【解析】解:設(shè),,則,令,;將直線平移到與曲線相切,由得或(舍去),所以切點為,由切點到直線的距離為,所以,又因為關(guān)于的不等式有解,則,此時點滿足,解之得,綜上可得,故選:.5.已知,函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)),當取得最小值時,則A. B. C. D.4【解析】解:,則函數(shù)的幾何意義是函數(shù)上一點到直線上一點上一點距離的平方,結(jié)合圖象可知,當曲線在點處的切線與直線平行,且點為為切點向直線所作垂線的垂足點時,函數(shù)取到最小值,對函數(shù)求導(dǎo)得,令,得,所求切點坐標為,過點且與直線垂直的直線方程為,聯(lián)立直線與直線的方程得,解得,因此,.故選:.二.填空題6.設(shè)表示自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若關(guān)于的不等式有解,則實數(shù)的值為.【解析】解:,若關(guān)于的不等式有解,即為有解,由,可得函數(shù)的幾何意義為點和點的距離,由于兩點在曲線和直線運動,當直線與曲線相切,設(shè)切點為,可得切線的斜率為,解得,則切點為,可得切點到直線的距離為,可得有解,且等號成立,由和聯(lián)立,可得交點為,,即有,故答案為:.7.已知函數(shù),點為曲線在點,處的切線上的一點,點在曲線上,則的最小值為.【解析】解:,可得,即有,解得,則,,則切線,的導(dǎo)數(shù)為,過的切線與切線平行時,距離最短.由,可得,即切點,則到切線的距離為.故答案為:.8.已知函數(shù),點為曲線在點,處的切線上的一點,點在曲線上,則的最小值為.【解析】解:,可得,即有,解得,則,,則切線,的導(dǎo)數(shù)為,過的切線與切線平行時,距離最短.由,即,由,的圖象可得,即切點,則到切線的距離為.故答案為:.9.已知是曲線上的動點,是直線上的動點,則的最小值為.【解析】解:函數(shù)的定義域為,由的導(dǎo)數(shù)為,令,可得,所以切點為,它到直線即的距離.即點到直線的距離的最小值為.故答案為:.10.設(shè),,當,變化時的最小值為.【解析】解:設(shè),則表示函數(shù)上一點與函數(shù)上一點之間的距離,又函數(shù)表示焦點為,準線為的拋物線,由拋物線的定義可得,,的幾何意義即為,作出示意圖如下,由圖觀察可知,當點運動至點,且垂直于過點的函數(shù)的切線,點為線段與函數(shù)的交點時,最小,設(shè),,,則,解得,即,的最小值為.故答案為:.11.已知點是直線上的動點,點是拋物線上的動點.設(shè)點為線段的中點,為原點,則的最小值為.【解析】解:如圖:在直線的下方在拋物線上,(反之,的中點到原點的距離不會有最小值);直線,
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