河南省許昌某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)檢測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題(共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)

1.記S,為等差數(shù)列｛%｝的前，項(xiàng)和，若生+佝=14,%%=63,則S?=()

A.21B.19C.12D.42

2.命題,、九X2+2+Q4X)—m7(,x一+2)--1在x/e(-I2,2]上為減函數(shù)，命題4：/g(、x)=ax』+4在/。,+、向?yàn)樵龊?/p>

數(shù)，則命題P是命題4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個(gè)氟原子處于頂點(diǎn)位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個(gè)

頂點(diǎn)看作正方體各個(gè)面的中心點(diǎn).若正八面體的表面積為12道，則正八面體外接球的體積為()

C.12兀D.36兀

4.將95,96,97,98,99這5個(gè)數(shù)據(jù)作為總體，從這5個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，則該樣本的平均數(shù)與

總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過1的概率為()

5.已知關(guān)于X的不等式以2+-+。＞03仇C￡R)的解集為(―4,1),則二^的取值范圍為()

a+b

A.[-6,+oo)B.(-oo,6)C.(-6,+oo)D.(-00,-6]

22

6.已知4,8是雙曲線二-與=1(。＞6＞0)的左、右焦點(diǎn)，以F?為圓心，”為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于

ab

AB兩點(diǎn)，若31ABl＞|耳耳I，則雙曲線的離心率的取值范圍是()

7.已知正實(shí)數(shù)無(wú)，＞滿足x+y=l,貝ij()

A.Y+y的最小值為3:B.1一+4一的最小值為8

4xy

C.6+4的最小值為亞D.log^+logc沒有最大值

8.已知定義在R上的函數(shù)〃尤）在區(qū)間[0』上單調(diào)遞減，且滿足〃2+》）+〃同=2〃-1）,函數(shù)y=〃x-l）的對(duì)

稱中心為（2,0）,則（）（注：ln3Q1.099,In2no.693）

A./（2024）=0B./（0.5）+/（1.6）>0

C./（1.5）>/（log248）D./（2sinl）>/^ln^

多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部

分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。）

22

9.已知小尸2分別是橢圓C：會(huì)+方=1（。>"0）的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓C上一點(diǎn)，貝|（）

A.當(dāng)“=回時(shí)，滿足//尸乙=90。的點(diǎn)P有2個(gè)

B.P耳心的周長(zhǎng)一定小于4a

2

C.的面積可以大于幺

一2

D.若|尸耳歸助恒成立，則C的離心率的取值范圍是（。,|

10.己知a,b,ceR,則下列結(jié)論正確的是（）

bh+c

A.若a>b>0,貝—<----B.若ac2>be2,貝

aa+c

...a+b2a2+3

C-右a〉?！?。,D-E的取小值為20

x+1?

-----,x<0

11.函數(shù)〃尤）=x,關(guān)于尤的方程/⑺-時(shí)〃x）|=0（meR）,則下列正確的是（）

—,x20

A.函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽

B.函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（9,0）,[1,田）

C.當(dāng)根=1時(shí)，則方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

D.若方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是1j,+sj

三.填空題（共3小題，每題5分，共15分。）

b,a<人

'-,設(shè)函/（x）=-%+6,g（x）=logx,則函數(shù)/7（x）=max{/（x）,g（x）}

{a,a〉。2

的最小值是.

13.甲、乙玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為L(zhǎng)2,3,4,5,6的6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先

從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1

分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.

22

14.過雙曲線與-==1（。>0,6>0）的上焦點(diǎn)與，作其中一條漸近線的垂線，垂足為a,直線與雙曲線的上、

ab

下兩支分別交于若NH=3HM,則雙曲線的離心率e=.

四.解答題（共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

（14分）15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，”eN*,%=5,an+i-an=2.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列也｝滿足bn=,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

an'an+l

（14分）16.如圖，在四棱柱ABC。-A瓦G2中，A4,_L平面ABCZ）,底面ABCD為梯形，AD//BC,BC=4,

AB=AD=DC=AAl=2,Q為的中點(diǎn).

（1）在AR上是否存在點(diǎn)尸，使直線C。〃平面ACT，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若不存在，請(qǐng)說明

理由；

（2）若（1）中點(diǎn)P存在，求平面AC/與平面ABqa所成的銳二面角的余弦值.

（15分）17.函數(shù)“X）的定義域?yàn)椤?卜,#0｝,且滿足對(duì)于任意可，無(wú)26,有〃牛馬）=〃為）+/優(yōu)），當(dāng)

x>1時(shí)，f（x）>0.

⑴證明：/（元）在（0,+8）上是增函數(shù)；

（2）證明：f（x）是偶函數(shù)；

⑶如果7（4）=1,解不等式〃尤-1）<3.

（16分）18.2021屆高考體檢工作即將開展，為了了解高三學(xué)生的視力情況，某校醫(yī)務(wù)室提前對(duì)本校的高三學(xué)生

視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)，并得到如下圖的頻率分布直方

圖.

年級(jí)名次

1-100101?1000

是否近視

近視4030

不近視1020

(1)若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)高三學(xué)生視力的中位數(shù)(精確到0.01)；

(2)該校醫(yī)務(wù)室發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)抽

取的100名學(xué)生名次在1~100名和101~1000名的學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，

能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系？

(3)在(2)中調(diào)查的不近視的學(xué)生中按照分層抽樣抽取了6人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，求在這6人中

任取2人，至少有1人的年級(jí)名次在1~100名的概率.

P(K2>k]0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

-2n[ad-be)-,

Kr=--------------------------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(18分)19.在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線/的距離之和相等，則稱,為

22

多邊形的一條“等線”，已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線E:十方=1(八0,"0)的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥,E的離心率

為2,點(diǎn)尸為E右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線機(jī)與曲線E相切于點(diǎn)尸，且與E的漸近線交于A8兩點(diǎn)，當(dāng)尸軸時(shí)，直線

y=i為「片工的等線.

⑴求E的方程；

⑵若y=缶是四邊形A月8月的等線，求四邊形AFtBF2的面積；

(3)設(shè)OG=g。尸，點(diǎn)G的軌跡為曲線「，證明:「在點(diǎn)G處的切線"為耳耳的等線

數(shù)學(xué)答案

1.A【詳解】｛凡｝是等差數(shù)列，，/+%=2%=14,即％=7,所以%=3=9,

a6

6x7

故公差d=ay-a6=2,/.ax=a6-5d=-3fS7=7x(-3)H———x2=21,

2.A【詳解】〃力要在1?-2,2］上單調(diào)遞減，

則j〃+4<0,解得一5Ka<-4,

-a-l>l-2a-7

g：g(x)="+4=1)+4+"=〃+^^￡在(],+8)為增函數(shù),則4+QV。,

x—\x—1x—\

解得a<—4,

因?yàn)?5Wa<T是a<T的真子集，故命題P是命題4的充分不必要條件.

3.B【詳解】如圖正八面體，連接AC和8。交于點(diǎn)。，

因?yàn)镋4=EC,ED=EB,

所以EOLAC,EOLBD,又AC和3D為平面ABC。內(nèi)相交直線，

所以EOL平面AB8,所以。為正八面體的中心，

設(shè)正八面體的外接球的半徑為R,因?yàn)檎嗣骟w的表面積為8x獨(dú)力爐=12次，所以正八面體的棱長(zhǎng)為",

4

所以EB=EC=BC=V6,OB=0C=V3,EO=y/EB2-OB2=V3)

則R=W=%R3=最3日4俗1.

4.D【詳解】依題意可知，總體平均數(shù)為97,

從這5個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，情況如下：

選到95,96,則樣本平均數(shù)為95.5,所以|95.5-97|=1.5,

選到95,97,則樣本平均數(shù)為96,所以|96-97|=1,

選到95,98,則樣本平均數(shù)為96.5,所以|96.5-97|=0.5,

選到95,99,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,

選到96,97,則樣本平均數(shù)為96.5,所以196.5-97|=0.5,

選到96,98,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,

選到96,99,則樣本平均數(shù)為97.5,所以|97.5-97|=0.5,

選到97,98,則樣本平均數(shù)為97.5,所以197.5-97|=0.5,

選到97,99,則樣本平均數(shù)為98,所以|98-97|=1,

選到98,99,則樣本平均數(shù)為98.5,所以|98.5-97|=1.5,

所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過1的概率為］8=:4

5.D【詳解】由不等式以2+樂+。>0（〃,"CER）的解集為（-4」），

可知1和T是方程/+法+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a<0,

-4+1=--

由韋達(dá)定理可得“，即可得〃=3〃,c=T〃，

-4xl=-

,a

g、i'+9(-4域+916/+9/9(A9L。匚一(9},

所以-----=--------=-------=4a-\---=--4a+----<-2-4ax-----=-6.

a+ba+3a4。4。1-4。J\\-4。)

當(dāng)且僅當(dāng)-4〃二一9一時(shí)，即。=一3一時(shí)等號(hào)成立；

-4a4

即可得'匯￡(-8,-6].

a+b

6.B【詳解】設(shè)以鳥（G。）為圓心，。為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線云-歿=。交于A3兩點(diǎn)，則F?到漸近線

bx-ay=0的距離d=,=b,所以卜回=2\ja2-b2,

因?yàn)?1ABi>|耳青，所以3*2”^>20，可得9a2-泌2>，="+凡

BP4a2>5b2=5c2-5a2,可得5c2<94，

所以《<2，所以e<35,

a255

又e>l,所以雙曲線的離心率的取值范圍是,手］

7.A【詳解】對(duì)于A中，由正實(shí)數(shù)為y滿足x+y=l,可得0<x<l,0<y<l,且y=l-尤，

1313

則f+y=Y-x+l=（x-R2+當(dāng)x=5時(shí)，f+y取得最小值為?，所以A正確；

對(duì)于B中，由』+3=.+?。ü?±）=5+/+”上5+211,把=9,

xyxyxyxy

y4Y1O114.

當(dāng)且僅當(dāng)上=一時(shí)，即％=：,y=：時(shí)，等號(hào)成立，所以一+一的最小值為9,所以B不正確;

xy33xy

對(duì)于C中，由（?+/）=x+y+2y［xy<2（x+y）=2,

當(dāng)且僅當(dāng)元=y=g時(shí)，等號(hào)成立，所以&+6的最大值為0,所以C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D中，log2x+log4y=log4x+log4y=log4,

因?yàn)閤2y=x2(l-x)=-x3+x2,設(shè)m(x)=-x3+x2,0<x<l,

可得加(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),

97

當(dāng)xe(O,§)時(shí)，〃/(x)>0,在(0,?上單調(diào)遞增；

當(dāng)工￡(§,1)時(shí)，mr(x)<0,用(%)在(§/)上單調(diào)遞減，

74

所以，當(dāng)X=：時(shí)，函數(shù)相(X)取得最大值，最大值為最，

4

則log?x+log4y的最大值為log,藥，所以D不正確.

8.C【詳解】/(2+%)+/(%)=2/(-1),故〃4+x)+〃2+x)=2〃-l),

所以/(x)=/(x+4),

函數(shù)y=〃xT)的對(duì)稱中心為(2,0),

函數(shù)y=〃xT)往左平移I個(gè)單位得到函數(shù)y=〃x),

故函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱中心為(1,。)，

/(2+x)+/(x)=2/(-1),令，=-1得,/(1)+/(-1)=2/(-1),

故〃T)=/⑴=。，BP/(2+x)+/(x)=0,

且〃力的對(duì)稱中心為(1,0),故/(2+x)+/(-尤)=0,

故〃-尤)=/(%),即f(x)的對(duì)稱軸為x=0.

對(duì)于A,〃x)在區(qū)間［0』上單調(diào)遞減，故/(。)>〃1)=0,

且/(x)=/(x+4),

所以〃2024)=〃0)>0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,“X)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，對(duì)稱中心為(1,0),

故f(0.5)+/(1.5)=0,且〃尤)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

則”1.5)>”1.6),

.?./(0.5)+/(1.6)<0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,5<log248<6,1<log248-4=log23<2,

且log,3=：=wM>L5,結(jié)合〃x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

In20.693

故f(log248)=/(log248-4)=/(log23)</(1.5),故C正確;

對(duì)于D,ln|=-ln3?-1.099,故/卜，=/(一1113卜/(-1.099)=/(1.099),

且2sin：<2sinl<2sin^,/.V2<2sinl〈6,即1<1.099<2sinl<2,

結(jié)合在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，故"2sinl)<dlnj,故D錯(cuò)誤.

9.ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0/)或(0,-6)時(shí)，居最大，此時(shí)，若。

貝i]b=c,所以/百尸瑪=90。，A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：P耳工的周長(zhǎng)為2a+2c<4〃，故B正確；

1A2_i_2〃2

對(duì)于選項(xiàng)C：刊怩的面積為J耳國(guó)IMCcV與土r=5,故C錯(cuò)誤；

故于選項(xiàng)D：因?yàn)閍—c?|P4|?a+c,所以a+cW2Z?,可得5c?+2ac-3〃<0,

得5e2+2e-3W0,得又ee(0,l),所以ee/],故D正確.

hh+c

10.BC【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=0時(shí)？=故A錯(cuò)誤；

aa+c

對(duì)于B,若ac1>be1,則/wo,即。2>0,所以故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;b>0,所以〃+2b22缶當(dāng)且僅當(dāng)Q=2b時(shí)取等號(hào)，

所以2。+2Z?2Q+2y］2ab，顯然a+2y)2ab>0，

a+b1

所以-當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D，因?yàn)楸坷?變?nèi)齘=2^/^11+^^，

+1J/+1'(J2+T

令f=^/7W，則此1,令/⑺=2r+；(此1),

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)〃f)=2f+：=2f+彳在[1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/。).=/(1)=3,

所以2內(nèi)+^^3,

當(dāng)且僅當(dāng)。=0時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.

y_|_1I

11.BD【詳解】①當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=-=1+-,

XX

則/(X)在(-8,0)單調(diào)遞減，且漸近線為y軸和y=i,恒有/(尤)<1.

xx

②當(dāng)xZO時(shí)，/(x)=|f./'(x)3e-3xe_3(l-x)

e

當(dāng)0<x<1,/(x)>0,/(x)在(0,1)單調(diào)遞增；當(dāng)無(wú)>1,/(x)<0,/(x)在(1,+8)單調(diào)遞減,

33

故了（元）4〃1）=—,且恒有/。）＞0,綜上①②可知，/（x）=-,

、/e、，maaxxe

綜上，作出函數(shù)/（X）大致圖象，如下圖：

對(duì)于A,由上可知函數(shù)“X）的值域?yàn)椋瑧?yīng):，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,函數(shù)“X）的單調(diào)減區(qū)間為（-8,0）,（1,+8）,故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)機(jī)=g時(shí)，則方程產(chǎn)⑺一J〃x）|=O（meR）,解得|〃刈=0或|/（刈=；,

由|〃到=0,得x=0或尸-1,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

由圖象可知，由,（x）|=g得此時(shí)有4不相等的實(shí)數(shù)根，且均不為0,也不為-1,

所以當(dāng)加=g時(shí)，則方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若關(guān)于x的方程r=0（meR）有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

即方程|/（無(wú)）|=0與方程/（可|=加共有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

又因?yàn)閨/（無(wú)）|=0已有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根0,-1,

則方程|/（x）卜力有且僅有1個(gè)根，且不為。,-1.

所以y=I"無(wú)）|與廣機(jī)有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，

由圖象可知相＞：,滿足題意，即加的取值范圍是故D正確.

12.2

【詳解】由題意得xe(0,+oo),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=-x+6在x6(0,+8)上單調(diào)遞減,

函數(shù)g(x)=log2X在x€(0,+8)上單調(diào)遞增,

X/(4)=^+6=2,g(4)=log24=2,

所以點(diǎn)(4,2)是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，

所以當(dāng)x“時(shí)，/(%)<g(x),可得/?(x)=g(x),

當(dāng)0<x<4時(shí)，/(%)>§(%),可得=

可得八。)的大致圖象，如下圖，

8

【詳解】將問題轉(zhuǎn)化為：在三個(gè)盒子中各放入2個(gè)編號(hào)不同的小球，甲從每個(gè)盒子中各取一個(gè)小球，求甲取到每個(gè)

盒子中編號(hào)較大小球的概率.

甲從三個(gè)盒子中各取一球，共有23=8種取法，三個(gè)都是編號(hào)較大小球只有一種取法，

所以，甲獲得3分的概率為上

O

14.45

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為尸2，由題片(O,c),雙曲線的一條漸近線方程為y=即依+勿=0,

b

\bc\..

過該漸近線作垂線，則由題|可耳==忑=人,I。耳|=c,

^\HM\=t,則由題|NH|=3t,帆閭|耳N=H3r,

所以內(nèi)=/?+3%-2々，\F2M\=b-t+2a,

\FMI2+忸&\2-\FMI2（b—?）2+（2c）2—（b—t+2a^

在乙中,cosZOEM=1{----J一n——JO——

2忸叫任四2（&-f）（2c）

忻N『『一|《N『伍+3/）2+（2c）2-0+3f-2a）2

在△￡可"中,cosZOfJM=

2|耳N|M同2（Z7+3r）（2c）

22

（b-t）+（2c）-（b-t+2afb化簡(jiǎn)解得r=4,

由①②得

-2（b-）（2c）a+b

bab

由①③得化簡(jiǎn)解得"E，

2（Z>+3/）（2c）c

abab

所以=>/?=2a,

a+b3（。-

故雙曲線的離心率e=￡=/丁=『+中）2=不

\n

（〃wN*）（2）北=6〃+9

【詳解】（1）由。向-?！?2可知數(shù)列｛即｝是以公差1=2的等差數(shù)歹U,

又〃5=5得%=4+（5—l）xd,

解得q=-3,

故q=-3+2（幾-1）,

即q=2〃-5（〃wN*）.

（2）因?yàn)閍=------

_（2n_-5）1-（2n-3）2⑵-_5_2〃q-3）

______i二幾

2132n-3J64〃-6-6n+9

16.（1）存在，尸是AR中點(diǎn)，證明見解析；（2）晅.

31

【詳解】（1）存在，證明如下：

在四棱柱ABCD-AlBlClDi中，因?yàn)槠矫鍭BCD//平面AiBlClDl,

所以可在平面AqGA內(nèi)作q尸〃c。，

由平面幾何知識(shí)可證△GRP咨△CDQ,所以。/=。。，可知P是A2中點(diǎn),

因?yàn)镃/U平面AC7,所以CQ〃平面AGP.

即存在線段AR的中點(diǎn)，滿足題設(shè)條件.

滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，證明如下：

當(dāng)CQ〃平面AC|尸時(shí)，因?yàn)镃Q〃平面4BCQ,

所以過。作平行于CQ的直線既在平面ACT內(nèi)，也在平面A4C2內(nèi)，

而在平面A4G，內(nèi)過G只能作一條直線6P〃CQ,

故滿足條件的點(diǎn)尸只有唯一一個(gè).

所以，有且只有AA的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)尸，使直線CQ〃平面&GP.

(2)過點(diǎn)。作。尸±BC,垂足為舊又因?yàn)?。AJ■平面ABC。，

B

所以D4,DF,。9兩兩互相垂直,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DF,所在直線為了軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系。-舊,

則2(2,0,0),P(l,0,2),C,(-1,^,2),A(2。2),網(wǎng)3,g,0),

PA=(1,0,-2),PC)=(-2,A/3,0),AB=(1,A/3,0),例=(0,0,2)

設(shè)平面尸AG的法向量為元=(%y,z),

nePA=0,[x—2z=0,

則有即c/7.

幾PC1=0,[-2x+y/3y=0.

令X=2K，得y=4,z=6,所以"=QG,4,有).

設(shè)平面ABB^的法向量為枕=(x,y,z).

ABm=0,x+y/3y=0,

則有《即

AAjm=0,2z=0.

令x=6,得y=—i，z=o,所以根=(指i,。).

n-，mm6-4+0^31

所以cos=-j-；_j-=---.—=----

\n\\m\2531

故平面AQP與平面ABB^所成的銳二面角的余弦值為鼻.

17.(1)證明見解析(2)證明見解析(3)(-63,1)U(1,65)

【詳解】(1)設(shè)0<玉<3，則/(玉)-/。2)=/(占)-/(再、三)=/(占)-"(占)+/(上)]=-/(三)，

玉xlx1

由于0<占<尤2,所以三>1，所以/(上)>0,

石xl

所以/。)一/(尤2)<°，所以/(為)</(々)，

所以了(元)在(0,+力)上是增函數(shù);

(2)因?qū)Χx域內(nèi)的任意尤jX2ED,有/(%?9)=/(%)+/(馬)，

令%=x,%=-1,則有f(-x)=f(x)+f(-l),

又令無(wú)i=%=T,得2/(-1)=f(l),

再令玉=々=1,得〃1)=0,從而"-1)=0,

于是有/(-尤)=/(尤)，所以Ax)是偶函數(shù).

(3)由于"4)=1,所以3=l+l+l=/(4)+y(4)+/(4)=/(4x4x4)=/(64),

于是不等式/(x-1)<3可化為f(x-1)</(64),

由(2)可知函數(shù)"X)是偶函數(shù)，則不等式可化為加工-是</(64),

[x—1<64

又由(1)可知了⑺在(0,+")上是增函數(shù)，所以可得_1n,

|-63<x<65二

解得E,所以不等式〃1)<3的解集為(3D(1,65).

3

18.(1)4.74；(2)能；(3)

【詳解】(1)由圖可知，第三組和第六組的頻數(shù)為100x0.8x0.2=16人

第五組的頻數(shù)為100x1.2x0.2=24人

所以前四組的頻數(shù)和為100-(24+16)=60人

而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列

故第一組的頻數(shù)為4人，第二組的頻數(shù)為8人，第四組的頻數(shù)為32人

所以中位數(shù)落在第四組，設(shè)為X,

因止匕有二50—(；8+16)(或1.6(尤_4.6)=0.22)

解得X=4.7375

所以中位數(shù)是4.74

100x(40x20-30x10)2

(2)因?yàn)槠?

50x50x70x30

所以片=——?4.762

21

所