高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)的概念及其表示方法

專題：函數(shù)的概念及其表示方法

【考綱解讀】

要求

備注

內(nèi)容

ABC

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域

和值域.

函數(shù)概念與基本初

2.了解映射的概念，在實際情景中會根據(jù)不同的需要

等函數(shù)I函數(shù)的概念

選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函

數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

【直擊考點】

題組一常識題

1.［教材改編］以下屬于函數(shù)的有.(填序號)

?y=+\［x；②/=x—1；③尸2+71—￡；

④2(xGN).

【答案】④

【解析】①②對于定義域內(nèi)任給的一個數(shù)X,可能有兩個不同的y值，不滿足函數(shù)的定義.③定義域是空

集，而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集.只有④表示函數(shù).

2.［教材改編］已知函數(shù)/廣二2J>0,若丹f(e)］=2a,則實數(shù)a—

(XIa,xu,

【答案】一1

【解析】因為F(e)=lne—2=-1,所以=/1(—1)=-1+己=24解得a=-L

3.［教材改編］函數(shù)f(x)=)=的定義域是______.

x十3

【答案】(一8,-3)U(-3,8］

【解析】要使函數(shù)有意義，則需8—介0且x+3W0,即啟8且左一3,所以其定義域是

(—8,-3)U(-3,8］.

題組二常錯題

4.已知集合戶={x|0WZ4},Q={y|0^j<2},下列從〃到。的各對應(yīng)關(guān)系廣不是函數(shù)的

是.

11

①x-^y=-x;②工Lp=y；

2廠

③/；x-^y=-x;@f：Xfy=7X.

【答案】③

28

【解析】③中當x=4時，y=-X4=-gfl

[(y-l-1)2丫<1

5.設(shè)函數(shù)打工)=仁；^',彳2；則使得Hx)2的自變量x的取值范圍為

【答案】辰一2或0WE10

【解析】?.其。是分段函數(shù)…應(yīng)分段求解.①當x<1時，由內(nèi)注1,得(工+1淪1,解得正-2或

必,??后一2或05r<1.

②當應(yīng)1時，由加左1,得4一斤出1,即斤1與，解得正10,

綜上所述，運-2或(feElO.

6.已知/1(、/?=矛一1,則/'(x)=.

【答案】f(㈤=/—1(10)

【解析】令力=、A，貝!1右20，x=俘，所以/1(8=淀一1(￡》0),即/1(x)=/—1(x20).

7.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，

那么函數(shù)解析式為尸N,值域為{1,4}的“同族函數(shù)”共有個.

【答案】9

【解析】設(shè)函數(shù)y=/的定義域為〃其值域為{1,4},易知〃的所有情形的個數(shù)，即是同

族函數(shù)的個數(shù).2的所有情形為{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,—2},{—1,1,2},

{—1,1,—2},{—1,2,—2},{1,2,—2},{—1,1,2,—2),共9個，故答案為9.

題組三?？碱}

8.函數(shù)/1(￡)=lg(/+x—6)的定義域是.

【答案】{引水-3或x>2}

【解析】要使函數(shù)有意義，則需/+x—6〉0,解得K—3或x>2.

9.函數(shù)“x)=''〈L則/(—6)+H2)=.

【答案】9

【解析】『（一6）=l+log3（3+6）=l+log39=l+2=3,/（2）—22+2—6,

所以f（-6）+f（2）=3+6=9.

【知識清單】

1.函數(shù)映射的概念

函數(shù)映射

兩集合

設(shè)46是兩個非空數(shù)集設(shè)4方是兩個非空集合

A,B

如果按照某個對應(yīng)關(guān)系￡對于集

對應(yīng)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系￡使對

合力中的任何一個數(shù)x,在集合B

關(guān)系于集合力中的任意一個元素X,在集合

中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之

/：AfB6中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)

對應(yīng)

稱f：4f6為從集合A到集合B的稱對應(yīng)皇上互為從集合A到集合B的

名稱

一個函數(shù)一個映射

記法y=f{x},xRA對應(yīng)f：是一個映射

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)y=f(x),xG/中，x叫做自變量，x的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域;與x的值相

對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合"(x)Ixe/｝叫做函數(shù)的值域.顯然,值域是集合6

的子集.

⑵函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)相等，這是判斷

兩函數(shù)相等的依據(jù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖像法、列表法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這

種函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的史集，其值域等于各段函數(shù)的值域的正集，

分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

【考點深度剖析】

本節(jié)是函數(shù)的起始部分，以考查函數(shù)的概念、三要素及表示法為主，同時函數(shù)的圖

像、分段函數(shù)的考查是熱點，另外，實際問題中的建模能力偶有考查.特別是函數(shù)的表達式

及圖像，仍是2018年高考考查的重要內(nèi)容.

【重點難點突破】

考點1函數(shù)與映射的概念

11-11有以下判斷：

(l)f(x)=---與g(x)=Error!表示同一個函數(shù).

x

(2)f{x)=/-2矛+1與g(8=t2—2f+l是同一函數(shù).

⑶若/V)=I*—11—iR,貝1J'di))=°-

其中正確判斷的序號是.

【答案】(2).

【解析】對于(1),函數(shù)gx)=號的定義域為{x|x€R且a0},而函數(shù)g(x)=f的定義域是R,所

x1―1x<0

以二者不是同一函額；對于(2),電聲g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)與g(t)表示同一函數(shù);

對于⑶,由于阱卜4-尚=。，

所以(0)=醺)=i

綜上可知，正確的判斷是(2).

[1-2]給出四個命題①函數(shù)是其定義域到值域的映射②/<x)="一+，^是函數(shù)③

函數(shù)尸2x(x￡N)的圖象是一條直線；④/<x)=—與g(x)=不是同一個函數(shù).其中正確的有

【答案】①

【解析】由函數(shù)的定義知①正確.②中滿足/■(x)=，^+A/^=i的x不存在，所以②不

正確.③中y=2x(xdN)的圖象是一條直線上的一群孤立的點，所以③不正確.④中￡(x)

與g(x)的定義域不同，...④也不正確.

x4

[1-3](1)(2017?南通調(diào)研)函數(shù)廣(x)=ln—7+支？的定義域為________.

X—1

fx~\~1

(2)若函數(shù)p=的定義域是[1,2017],則函數(shù)g(x)=------的定義域是

X—1

【答案】(1)(1,+8)(2){x|OW后2016,且日1}

【解析】。潼使函數(shù)加市意義，應(yīng)滿足，不『'解得Q1,故函數(shù)危)=山七+不的定義域為。，+

心0,

8).

⑵'Kx)的定義域為口2017),

―“「1WX+1W2017,

??.蜒)有意義，應(yīng)滿足

Lx-17=0-

..0WxW2016,且寸1.

因此颯的定義域為{x|0WxW2016,且李I(lǐng)，.

規(guī)律方法

【思想方法】

一、①判斷一個對應(yīng)是否為映射，關(guān)鍵看是否滿足“集合/中元素的任意性，集合6中元

素的唯一性”.

②判斷一個對應(yīng)公是否為函數(shù)，一看是否為映射；二看46是否為非空數(shù)集.若是

函數(shù)，則4是定義域，而值域是8的子集.

③函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同.因此判斷兩個函數(shù)是否相

同，只需判斷定義域、對應(yīng)關(guān)系是否分別相同.

二、求函數(shù)定義域的類型及求法

(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.

⑶若已知f(x)的定義域為[a,b],則f(g(x))的定義域可由aWg(x)Wb求出；若已知

f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在xG[a,b]時的值域.

【溫馨提醒】不要混淆“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，

從4到6的一個映射，/、6若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù).

考點2求函數(shù)的解析式

[2-1]已知/<x)是二次函數(shù)，且/<0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,求f(x).

11

【答案】.

【解析】設(shè)/1(x)=a/+6x+c(aN0),

由f(0)=0,知c=0,f(x)—ajfi+bx,

又由f(x+l)=f(x)+x+l,

得d(x+l)2+b(x+l)=a/+Z?x+x+l,

即(2a+6)x~\-a~\-b=a^~\~(6+1)x+1,

所以Error!

1

解得a=b=-,

一11

所以f^x)=-^+-x(x^R).

[2-2]已知/1(、〃+1)=萬+2、次，求_f(x)的解析式.

【答案】廣5)=/—1(x21).

【解析】法一：設(shè)勺4+1,

則X=(Liy@i)；

代入原式有犬。=(￡-iy+2(/-1)=2-21+1+2t~2=0-1.

故網(wǎng)="一儂1).

法二：「x+zgui亞y+2g+1-i=(g+ip-1,

:9+1)=(3+以-i(3+i>i),

即大冷二/一1(@1).

[2-3]定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)『(的滿足2/(x)—f(—x)=lg(x+l),求函數(shù)ftx)的解析

式.

21

【答案】/1(X)=§lg(x+l)+§lg(l—X),xd(—1,1).

【解析】當xd(—1,1)時，有

2r(x)—/1(—x)=lg(x+l).①

以一X代X,得

2f(—X)—f(x)=lg(—x+1).②

由①②消去F(一X)，得

21

/(X)=§lg(x+l)+-lg(l—,xd(―1,1).

【思想方法】

1.求函數(shù)解析式的四種常用方法

⑴配湊法由已知條件F(g(x))=6(X),可將戶(X)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以￡替

代g(x)，便得F(x)的表達式；

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；

(3)換元法：已知復合函數(shù)/<g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍;

(4)解方程組法：已知關(guān)于/'(x)與)或『(一x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出

另外一個等式組成方程組，通過解方程求出/<x).

2.分段函數(shù)“兩種”題型的求解策略

(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值

首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.

(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍

應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自

變量的取值范圍.

【溫馨提醒】解決函數(shù)的一些問題時，要注意“定義域優(yōu)先”的原則.當分段函數(shù)的自變量

范圍不確定時，應(yīng)分類討論.

考點三分段函數(shù)

[3—1]設(shè)函數(shù)f(x)=Error!則/'(—2)+f(log212)=.

【答案】9

【解析】根據(jù)分段函數(shù)的意義，A-2)=l+log2(2+2)=l+2=3.Xlog212>l

.,./(log212)=2(1%12-1)=23產(chǎn)=6,

因此f(-2)+f(log212)=3+6=9.

[3—2](1)設(shè)函數(shù)f(x)=Error!若=4,則6=.

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=Error!則使得/'(x)W2成立的x的取值范圍是.

1

【答案】(D-(2)(—8,8]

【解析】。痣)=3x^—A=|一瓦

若|一火1,即

則碗卜痣")=3(1-b)-b=4f

解之得力=%不合題意舍去.

若搭一至1,即國，則2堂一'=4,解得力=/

(2)當次1時，產(chǎn)1芻，解得這1+in2,

所以x<L

I

當這1時，道勺，解得挺8,所以1女總

綜上可知X的取值范圍是(-8,8].

【思想方