新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之幾何專項(xiàng)講義：仿射變換

第28講仿射變換

一、問題綜述

X

22X

設(shè)橢圓C:\+A=l(a>b>0),作變換夕:<a得單位圓C:/+y，2=i,記點(diǎn)A5,%）,3（無2,%）在變

ab

b

換尹下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4（匯,乂）,3（男,弘），設(shè)直線AB和A3'的斜率分別為左水'（斜率存在且非零），AAOB和

AA'O?的面積分別為S,S'.

則變換9有以下性質(zhì):

性質(zhì)1：共線結(jié)合性，即AB=XACo43'=2AC'；汽//o/；///；AeCoAeC.

性質(zhì)2：=-kf^-=-.

kak'a

%f=仇%-乂)b，

證明：k==k

a

x2-x1a(%2~X)

性質(zhì)3：線段回中點(diǎn)E變成線段AB'中點(diǎn)￡.

性質(zhì)4：直線與曲線的位置關(guān)系保持不變.

性質(zhì)5：直線AB上線段成比例，則變成直線AB,上對(duì)應(yīng)的線段仍成比例.

q

性質(zhì)6：S=abS或一=ab,

S'

證明：因?yàn)镾=3忖為一12%|=="S',即證之.

性質(zhì)7：設(shè)線段鉆在伸縮變換夕下的像為顯然在伸縮變換下線段的長(zhǎng)度關(guān)系不具有確定的關(guān)系，但是

我們可以利用斜率的不變關(guān)系（性質(zhì)2）尋找|ABMA'B1的關(guān)系:

\AB\yjlk2\x-X\gyjl+k2aQl+%?

即設(shè)線段AB所在直線斜率為3則+AB

A，B

\'\伊+1?K-4|JI+的2l+（即

二、典例分析

類型1：取值范圍型

22

【例1】設(shè)直線y=1和橢圓二十二=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求人和機(jī)的取值范圍.

4m

X

X

2

解析：令,則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳?yīng)的圓。'：/+；/2=1和直線24_J￡y，-l=0,

y'=-

m

要使已知的直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，只要相應(yīng)的直線與圓相切.

由直線和圓相切的充要條件可知卜！.=1,即加=1-4廿,

yj(2k)2+m

故得Od,

即0<1-4左241,

22

【方法小結(jié)】轉(zhuǎn)化到直線與圓相切，建立參數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最值求解.

類型2：三角形面積最值型

22

【例2】若A,氏C是橢圓++==l(a>b>0)上的三點(diǎn)，求AABC面積的最大值.

ab

,_x

22X—一

解析：對(duì)橢圓J+%=l(a>b>0)做伸縮變換“，橢圓就變成圓x'2+y'2=l.

此時(shí)橢圓的內(nèi)接AABC就變成圓的內(nèi)接^A'B'C,

而圓的內(nèi)接三角形以內(nèi)接正三角形面積最大，

從而S.B,c，的最大值是苧，

還原到橢圓中，由伸縮變換對(duì)應(yīng)多邊形面積比的不變性可知，

%BC的最大值是孚必.

22

【例3】已知橢圓3+2=1(°>8>0),面積為2H的橢圓內(nèi)接四邊形有().

ab

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

22X――

解析：對(duì)橢圓1+當(dāng)=l(a>b>o)做伸縮變換“，橢圓就變成圓/+y2=i,

ab,y

此時(shí)相應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形就變成圓的內(nèi)接四邊形，

當(dāng)橢圓的內(nèi)接四邊形的面積2必時(shí)，

其對(duì)應(yīng)的圓內(nèi)接四邊形的面積就是ZHX-LUZ,

ab

由平面幾何知識(shí)知圓的內(nèi)接正方形的面積為2,

而這樣的內(nèi)接正方形有無數(shù)個(gè),

還原到橢圓可知對(duì)應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形也有無數(shù)個(gè),

故選D.

【例4】(2014年高考全國新課標(biāo)1卷理第20題)已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E：二+斗=l(a>b>0)的離心率為

ab

B,P是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為矩，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

23

(1)求后的方程；

(II)設(shè)過點(diǎn)A的直線/與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)AO尸。的面積最大時(shí)，求/的方程.

丫2

解析：(I)橢圓E的方程為L(zhǎng)+丁印.

4

2

(II)由伸縮變換9：廣一5,橢圓二+y2=i(如下圖)變成了單位圓x，2+y，2=l,

,4■

[y=y

A(0,-2)變?yōu)锳(O,-2),設(shè)直線P'Q'的方程為y'^kx'-2.

9

原點(diǎn)O'到直線P'Q'的距離為d=,

圓與直線相交，則需要滿足d<i,

從而易得左2>3,

O'P'Q'=5儼。1"

=12產(chǎn)—32

2&2-3

k2+\

_2

<2_j_

-4-2

當(dāng)且僅當(dāng)_3=.r,即％=±V7時(shí)，（SO'P'Q'）=—，

而Q\Q/max2

此時(shí)直線I的斜率為±線=土業(yè)，

a2

=abS

且(S。尸。)max()1mx=2(S"O)1mx=1?

又直線/過點(diǎn)A(0,-2),

所以直線/的方程為y=與x-2或y=-?x-2.

【方法小結(jié)】對(duì)于求三角形面積和直線方程問題，可以用性質(zhì)2和6求解.

類型3：四邊形面積型

【例51(2013年高考全國新課標(biāo)2卷理科第20題)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：三4=l(a>6>0)右

a

焦點(diǎn)的直線x+y-6=0交M于兩點(diǎn)，尸為他的中點(diǎn)，且OP的斜率為工.

2

(I)求M的方程；

(II)C,。為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDLAB,求四邊形的最大值.

，x

X=—

解析：在伸縮變換":“下，橢圓(如下圖)變成圓，

(I)由伸縮變換性質(zhì)知七B，=4%=--,k(yp.=-kop=—,

bbb2b

又在橢圓中尸為AB的中點(diǎn)，則在單位圓中P'為HE的中點(diǎn)，

2

則O'P'l.AB',故kA,B，ko，P，=一a=-1,

即a2=2b2,

又因?yàn)橹本€x+y-退=0過橢圓的右焦點(diǎn),

則c=A/3，于是a=A/6,b=A/3,

22

則橢圓M的方程為卜

(II)由CD_LAB知％8=1，則在單位圓中,

,_A/6,

?叵kep.==叵?

KA'B'=~^KAB

72-(-V2)

設(shè)AB'與C'D'間的夾角為a,貝hang==2應(yīng),

1+V2-J-72)

則sU半

又直線互變換為直線AZ',其方程為應(yīng)x'+y'-1=0,

則O'到直線AB'的距離d===立，

y/33

則|4用=241一/=半

又S.CD=JAB［依必sina=^\CD'\<苧，

當(dāng)C'D'為圓的直徑時(shí)取等號(hào)，

由伸縮變換的性質(zhì)知，

SABCD=abS^B,c'D'=^^^A'B'C'D'-j"

【方法小結(jié)】對(duì)于四邊形面積問題，在單位圓中利用三角函數(shù)的有界性和性質(zhì)6求解.

類型4：距離型

22

【例6】在橢圓亍+1=1上求一點(diǎn)，使它到直線/:3x-2y-16=0的距離最短，并求此距離.

［,x

X=一

解析：作仿射變換2，則己知橢圓和直線/變?yōu)橄鄳?yīng)的圓x'2+y'2=l和直線r：6x'-2夕｝/-16=（）,

從而所求問題變?yōu)椋涸趫A/+y，2=1上求一點(diǎn)到直線I'：6X'-277/-16=0的距離的最短問題,

由平面幾何知識(shí)可知,

過圓尤〃+/2=］的圓心。僅⑼作直線/,的垂線段，交圓于點(diǎn)p（x，,y）,

點(diǎn)P到垂足的距離最短，由直線I'的垂線OP':y=~—x'和圓x'2+y,2=l相交,

3,

解方程可求得點(diǎn)尸'為字）

則相應(yīng)橢圓所求的點(diǎn)尸為g,-,

37

3x-+2x——16廠

所求最短距離為一,4_=生竺.

13

【方法小結(jié)】距離最短，轉(zhuǎn)化為單位圓中的垂線段最短，聯(lián)立方程后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距離求解即

可.

類型5：證明型

22

【例7】如圖，橢圓C：j+斗=1(。>6>0)(其中)與過點(diǎn)4(2,0),2(0,1)的直線有只且只有1個(gè)公共點(diǎn)T,且

ab

橢圓的離心率e=皿.

2

(I)求橢圓的方程；

(II)設(shè)耳外分別為橢圓的焦點(diǎn)，”為線段人的的中點(diǎn)，求證:

ZATM=ZAFJ.

解析:

(I)如下圖

,因?yàn)榍芯€AB的方程為四+y=l,

2"

所以切線A'B'的方程為微才+by'=l,

由點(diǎn)O'到切線A'B'距離d==1,

得/+4b2=4,又e='=,解得a?=2,=L

a22

從而橢圓方程為1+2/=1.

（II）由點(diǎn)A（2,0）,B（0,l）可變換得A（夜,0）,?（0,⑹,

因?yàn)镺'A=O'B',07'_LA'B',

所以|A7[=；]A8[.

由性質(zhì)2可知卜[=曰4同=與，

在橢圓中易得1AMi=1-亭回=2+半,

從而|AT『=|A制4⑷，即|AT|_\AM\

XZTAF{=ZMAT,從而,刀地MAT,ZATM=ZAFJ.

【方法小結(jié)】用坐標(biāo)伸縮變換將橢圓問題化作圓處理，解答過程完全退去了代數(shù)運(yùn)算的成分，而是通過圖形的

幾何性質(zhì)進(jìn)行解答，化繁為簡(jiǎn)，事半功倍

類型6：相切軌跡型

22

【例8】（2014年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題）已知橢圓C:會(huì)+%=1（。>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（返,0）

離心率為冬

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（II）若動(dòng)點(diǎn)尸（與,為）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到橢圓的兩條切線互相垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

解析：

(II)如圖,

X

xr

3下的像分別為A,尸',？，可知尸’（包，區(qū)

設(shè)點(diǎn)API在伸縮變換，

f2132.

y

2

從而

339

kpA'kpB，=2kpA~kpB=~~f

直線P'A,P3與圓。相切，設(shè)過點(diǎn)P的圓的切線方程為=-蓑

即6kx—6y+3%—2kx0=0,

從而圓心O'到切線的距離為也二2"。1=i,即

嚴(yán)+36

（4%：—36）左之一12.為左+9y：—36=0,

根據(jù)韋達(dá)定理知,

9

32第I4

化簡(jiǎn)得君+M=13,

故點(diǎn)的軌跡方程為一+尸=13.

【方法小結(jié)】在單位圓中得到切線方程，用點(diǎn)到直線的距離建立二次方程，用韋達(dá)定理得到

kpwkpB，="廠兆=--，即可求得軌跡方程為x2+y2=13.

4君-364

類型7：定值型

【例9】(2011年重慶卷理科第20題)如題(20)圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O,離心率e=也，一條準(zhǔn)線的方

2

程為x=2^/2.

(I)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OM+2ON,其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與ON的斜率之積為-)，問：是

2

否存在兩個(gè)定點(diǎn)大，外，使得陀周+|尸即為定值？若存在，求耳，外的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解析:

22

(I)所求橢圓的方程為匕+匕=1

42

X

x'

(II)在伸縮變換＜的作用下(如下圖)

y_一方y(tǒng)

^OM^-ON~］變?yōu)椴访?，k(yN'=-1，

點(diǎn)、M,N,P變?yōu)辄c(diǎn)、M；N；P.

在圓中，由電以#O，M=T，知O'A/UON,

設(shè)尸'(x',yM'(cosa,sincr),N'[cos[a+耳J,sin[a+—Jj,

即N'(—sinacosi),因?yàn)镺'P=O'M'+2O'N',

“…=cosa-2sina

所以.q,

[y=sina+2cosa

兩式平方相加，得鏟+y"=5,

即點(diǎn)P'的軌跡為圓x'2+y，2=5,

由伸縮變換知，

22

在橢圓中，點(diǎn)P的軌跡為橢圓二+匕=1,

2010

所以存在兩個(gè)定點(diǎn)由-師,0),鳥(質(zhì),0),使得|尸局+|尸周=4如.

【方法小結(jié)】利用單位圓的參數(shù)方程得到點(diǎn)P'的軌跡為圓/+y'2=5,通過伸縮變換得到點(diǎn)P的軌跡為橢圓

22

L+匕=1,所以存在兩個(gè)定點(diǎn)片卜加,。),外使得|P局+|尸周=46.

三、鞏固練習(xí)

22

1.(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)如圖，設(shè)橢圓C:三+當(dāng)=1(。>6>0),動(dòng)直線/與橢圓C只有

ab

一個(gè)公共點(diǎn)尸，且點(diǎn)P在第一象限.

(I)已知直線/的斜率為左，用4力,左表示點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(II)若過原點(diǎn)O的直線4與/垂直，證明：點(diǎn)尸到直線/]距離的最大值為a-火

(第21題圖)

22

2、(2011年江蘇卷理科第18題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0y中，分別是橢圓,+'=1的頂點(diǎn)，過坐

標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn)，其中尸在第一象限，過尸作x軸的垂線，垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)

交橢圓于點(diǎn)8,設(shè)直線上4的斜率為入

(I)當(dāng)直線叢平分線段跖V時(shí)，求上的值；

(II)當(dāng)上=2時(shí)，求點(diǎn)尸到直線AB的距離d；

(III)對(duì)任意左>0,求證：PAA.PB.

3.(2013年山東高考理文科第22題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

短軸長(zhǎng)是2,離心率為在.

2

(1)求橢圓。的方程；

(IDA,3是橢圓C上滿足三角形AO3的面積為好的任意兩點(diǎn)，E為線段4?的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于

4

點(diǎn)、P.設(shè)OP=tOE,求實(shí)數(shù)f的值.

參考答案：

1.第1小題的伸縮變換解法如下：

X

X-22

解析：(