新高考數學一輪復習之幾何專項講義：仿射變換

第28講仿射變換

一、問題綜述

X

22X

設橢圓C:\+A=l(a>b>0),作變換夕:<a得單位圓C:/+y，2=i,記點A5,%）,3（無2,%）在變

ab

b

換尹下的對應點分別為4（匯,乂）,3（男,弘），設直線AB和A3'的斜率分別為左水'（斜率存在且非零），AAOB和

AA'O?的面積分別為S,S'.

則變換9有以下性質:

性質1：共線結合性，即AB=XACo43'=2AC'；汽//o/；///；AeCoAeC.

性質2：=-kf^-=-.

kak'a

%f=仇%-乂)b，

證明：k==k

a

x2-x1a(%2~X)

性質3：線段回中點E變成線段AB'中點￡.

性質4：直線與曲線的位置關系保持不變.

性質5：直線AB上線段成比例，則變成直線AB,上對應的線段仍成比例.

q

性質6：S=abS或一=ab,

S'

證明：因為S=3忖為一12%|=="S',即證之.

性質7：設線段鉆在伸縮變換夕下的像為顯然在伸縮變換下線段的長度關系不具有確定的關系，但是

我們可以利用斜率的不變關系（性質2）尋找|ABMA'B1的關系:

\AB\yjlk2\x-X\gyjl+k2aQl+%?

即設線段AB所在直線斜率為3則+AB

A，B

\'\伊+1?K-4|JI+的2l+（即

二、典例分析

類型1：取值范圍型

22

【例1】設直線y=1和橢圓二十二=1有且僅有一個公共點，求人和機的取值范圍.

4m

X

X

2

解析：令,則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳膱A。'：/+；/2=1和直線24_J￡y，-l=0,

y'=-

m

要使已知的直線與橢圓有且僅有一個公共點，只要相應的直線與圓相切.

由直線和圓相切的充要條件可知卜！.=1,即加=1-4廿,

yj(2k)2+m

故得Od,

即0<1-4左241,

22

【方法小結】轉化到直線與圓相切，建立參數關系式，利用二次函數最值求解.

類型2：三角形面積最值型

22

【例2】若A,氏C是橢圓++==l(a>b>0)上的三點，求AABC面積的最大值.

ab

,_x

22X—一

解析：對橢圓J+%=l(a>b>0)做伸縮變換“，橢圓就變成圓x'2+y'2=l.

此時橢圓的內接AABC就變成圓的內接^A'B'C,

而圓的內接三角形以內接正三角形面積最大，

從而S.B,c，的最大值是苧，

還原到橢圓中，由伸縮變換對應多邊形面積比的不變性可知，

%BC的最大值是孚必.

22

【例3】已知橢圓3+2=1(°>8>0),面積為2H的橢圓內接四邊形有().

ab

A.1個B.2個C.3個D.4個

22X――

解析：對橢圓1+當=l(a>b>o)做伸縮變換“，橢圓就變成圓/+y2=i,

ab,y

此時相應的橢圓內接四邊形就變成圓的內接四邊形，

當橢圓的內接四邊形的面積2必時，

其對應的圓內接四邊形的面積就是ZHX-LUZ,

ab

由平面幾何知識知圓的內接正方形的面積為2,

而這樣的內接正方形有無數個,

還原到橢圓可知對應的橢圓內接四邊形也有無數個,

故選D.

【例4】(2014年高考全國新課標1卷理第20題)已知點A(0,-2),橢圓E：二+斗=l(a>b>0)的離心率為

ab

B,P是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為矩，O為坐標原點.

23

(1)求后的方程；

(II)設過點A的直線/與E相交于P,Q兩點，當AO尸。的面積最大時，求/的方程.

丫2

解析：(I)橢圓E的方程為L+丁印.

4

2

(II)由伸縮變換9：廣一5,橢圓二+y2=i(如下圖)變成了單位圓x，2+y，2=l,

,4■

[y=y

A(0,-2)變?yōu)锳(O,-2),設直線P'Q'的方程為y'^kx'-2.

9

原點O'到直線P'Q'的距離為d=,

圓與直線相交，則需要滿足d<i,

從而易得左2>3,

O'P'Q'=5儼。1"

=12產—32

2&2-3

k2+\

_2

<2_j_

-4-2

當且僅當_3=.r,即％=±V7時，（SO'P'Q'）=—，

而Q\Q/max2

此時直線I的斜率為±線=土業(yè)，

a2

=abS

且(S。尸。)max()1mx=2(S"O)1mx=1?

又直線/過點A(0,-2),

所以直線/的方程為y=與x-2或y=-?x-2.

【方法小結】對于求三角形面積和直線方程問題，可以用性質2和6求解.

類型3：四邊形面積型

【例51(2013年高考全國新課標2卷理科第20題)平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：三4=l(a>6>0)右

a

焦點的直線x+y-6=0交M于兩點，尸為他的中點，且OP的斜率為工.

2

(I)求M的方程；

(II)C,。為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CDLAB,求四邊形的最大值.

，x

X=—

解析：在伸縮變換":“下，橢圓(如下圖)變成圓，

(I)由伸縮變換性質知七B，=4%=--,k(yp.=-kop=—,

bbb2b

又在橢圓中尸為AB的中點，則在單位圓中P'為HE的中點，

2

則O'P'l.AB',故kA,B，ko，P，=一a=-1,

即a2=2b2,

又因為直線x+y-退=0過橢圓的右焦點,

則c=A/3，于是a=A/6,b=A/3,

22

則橢圓M的方程為卜

(II)由CD_LAB知％8=1，則在單位圓中,

,_A/6,

?叵kep.==叵?

KA'B'=~^KAB

72-(-V2)

設AB'與C'D'間的夾角為a,貝hang==2應,

1+V2-J-72)

則sU半

又直線互變換為直線AZ',其方程為應x'+y'-1=0,

則O'到直線AB'的距離d===立，

y/33

則|4用=241一/=半

又S.CD=JAB［依必sina=^\CD'\<苧，

當C'D'為圓的直徑時取等號，

由伸縮變換的性質知，

SABCD=abS^B,c'D'=^^^A'B'C'D'-j"

【方法小結】對于四邊形面積問題，在單位圓中利用三角函數的有界性和性質6求解.

類型4：距離型

22

【例6】在橢圓亍+1=1上求一點，使它到直線/:3x-2y-16=0的距離最短，并求此距離.

［,x

X=一

解析：作仿射變換2，則己知橢圓和直線/變?yōu)橄鄳膱Ax'2+y'2=l和直線r：6x'-2夕｝/-16=（）,

從而所求問題變?yōu)椋涸趫A/+y，2=1上求一點到直線I'：6X'-277/-16=0的距離的最短問題,

由平面幾何知識可知,

過圓尤〃+/2=］的圓心。僅⑼作直線/,的垂線段，交圓于點p（x，,y）,

點P到垂足的距離最短，由直線I'的垂線OP':y=~—x'和圓x'2+y,2=l相交,

3,

解方程可求得點尸'為字）

則相應橢圓所求的點尸為g,-,

37

3x-+2x——16廠

所求最短距離為一,4_=生竺.

13

【方法小結】距離最短，轉化為單位圓中的垂線段最短，聯立方程后得到點的坐標，用點到直線的距離求解即

可.

類型5：證明型

22

【例7】如圖，橢圓C：j+斗=1(。>6>0)(其中)與過點4(2,0),2(0,1)的直線有只且只有1個公共點T,且

ab

橢圓的離心率e=皿.

2

(I)求橢圓的方程；

(II)設耳外分別為橢圓的焦點，”為線段人的的中點，求證:

ZATM=ZAFJ.

解析:

(I)如下圖

,因為切線AB的方程為四+y=l,

2"

所以切線A'B'的方程為微才+by'=l,

由點O'到切線A'B'距離d==1,

得/+4b2=4,又e='=,解得a?=2,=L

a22

從而橢圓方程為1+2/=1.

（II）由點A（2,0）,B（0,l）可變換得A（夜,0）,?（0,⑹,

因為O'A=O'B',07'_LA'B',

所以|A7[=；]A8[.

由性質2可知卜[=曰4同=與，

在橢圓中易得1AMi=1-亭回=2+半,

從而|AT『=|A制4⑷，即|AT|_\AM\

XZTAF{=ZMAT,從而,刀地MAT,ZATM=ZAFJ.

【方法小結】用坐標伸縮變換將橢圓問題化作圓處理，解答過程完全退去了代數運算的成分，而是通過圖形的

幾何性質進行解答，化繁為簡，事半功倍

類型6：相切軌跡型

22

【例8】（2014年廣東省數學高考理科試題第20題）已知橢圓C:會+%=1（。>6>0）的一個焦點為（返,0）

離心率為冬

（I）求橢圓C的標準方程;

（II）若動點尸（與,為）為橢圓C外一點，且點尸到橢圓的兩條切線互相垂直，求點P的軌跡方程.

解析：

(II)如圖,

X

xr

3下的像分別為A,尸',？，可知尸’（包，區(qū)

設點API在伸縮變換，

f2132.

y

2

從而

339

kpA'kpB，=2kpA~kpB=~~f

直線P'A,P3與圓。相切，設過點P的圓的切線方程為=-蓑

即6kx—6y+3%—2kx0=0,

從而圓心O'到切線的距離為也二2"。1=i,即

嚴+36

（4%：—36）左之一12.為左+9y：—36=0,

根據韋達定理知,

9

32第I4

化簡得君+M=13,

故點的軌跡方程為一+尸=13.

【方法小結】在單位圓中得到切線方程，用點到直線的距離建立二次方程，用韋達定理得到

kpwkpB，="廠兆=--，即可求得軌跡方程為x2+y2=13.

4君-364

類型7：定值型

【例9】(2011年重慶卷理科第20題)如題(20)圖，橢圓的中心為原點O,離心率e=也，一條準線的方

2

程為x=2^/2.

(I)求該橢圓的標準方程；

(II)設動點P滿足：OP=OM+2ON,其中是橢圓上的點，直線與ON的斜率之積為-)，問：是

2

否存在兩個定點大，外，使得陀周+|尸即為定值？若存在，求耳，外的坐標；若不存在，說明理由.

解析:

22

(I)所求橢圓的方程為匕+匕=1

42

X

x'

(II)在伸縮變換＜的作用下(如下圖)

y_一方y(tǒng)

^OM^-ON~］變?yōu)椴访?，k(yN'=-1，

點、M,N,P變?yōu)辄c、M；N；P.

在圓中，由電以#O，M=T，知O'A/UON,

設尸'(x',yM'(cosa,sincr),N'[cos[a+耳J,sin[a+—Jj,

即N'(—sinacosi),因為O'P=O'M'+2O'N',

“…=cosa-2sina

所以.q,

[y=sina+2cosa

兩式平方相加，得鏟+y"=5,

即點P'的軌跡為圓x'2+y，2=5,

由伸縮變換知，

22

在橢圓中，點P的軌跡為橢圓二+匕=1,

2010

所以存在兩個定點由-師,0),鳥(質,0),使得|尸局+|尸周=4如.

【方法小結】利用單位圓的參數方程得到點P'的軌跡為圓/+y'2=5,通過伸縮變換得到點P的軌跡為橢圓

22

L+匕=1,所以存在兩個定點片卜加,。),外使得|P局+|尸周=46.

三、鞏固練習

22

1.(2014年浙江省數學高考理科試題第21題)如圖，設橢圓C:三+當=1(。>6>0),動直線/與橢圓C只有

ab

一個公共點尸，且點P在第一象限.

(I)已知直線/的斜率為左，用4力,左表示點尸的坐標;

(II)若過原點O的直線4與/垂直，證明：點尸到直線/]距離的最大值為a-火

(第21題圖)

22

2、(2011年江蘇卷理科第18題)如圖，在平面直角坐標系X0y中，分別是橢圓,+'=1的頂點，過坐

標原點的直線交橢圓于P,A兩點，其中尸在第一象限，過尸作x軸的垂線，垂足為C,連接AC,并延長

交橢圓于點8,設直線上4的斜率為入

(I)當直線叢平分線段跖V時，求上的值；

(II)當上=2時，求點尸到直線AB的距離d；

(III)對任意左>0,求證：PAA.PB.

3.(2013年山東高考理文科第22題)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，

短軸長是2,離心率為在.

2

(1)求橢圓。的方程；

(IDA,3是橢圓C上滿足三角形AO3的面積為好的任意兩點，E為線段4?的中點，射線OE交橢圓C于

4

點、P.設OP=tOE,求實數f的值.

參考答案：

1.第1小題的伸縮變換解法如下：

X

X-22

解析：(