高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)模型及其應用 專項練習（學生版+解析）

第07講函數(shù)模型及其應用（核心考點精講精練）

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關聯(lián)考點

對數(shù)的運算性質的應用

2023年新I卷，第10題,5分對數(shù)函數(shù)模型的應用

由對數(shù)函數(shù)的單調性解不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結合其他函數(shù)知識點考查，需要掌握函數(shù)的圖

象與性質，難度中等偏下，分值為5分

【備考策略】1.會選擇合適的函數(shù)類型來模擬實際問題的變化規(guī)律.

2.會比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、塞函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異

3.了解函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模

型）的廣泛應用

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容通?？疾榻o定實際問題選擇用合適的函數(shù)解析式來模擬或求對應的實際應用值，是

新高考復習的重要內(nèi)容

知識講解

1.三種函數(shù)模型的性質

函數(shù)y=log。y"

性(。>1)3D(〃>0)

在（0,+8）上

單調遞增單調遞增單調遞增

的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨X的增大逐漸表隨n值變化而各有

圖象的變化

與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型兀r)=ox+Z?(〃，為常數(shù)，aWO)

1

二次函數(shù)模型J(x)=ax+bx+c(<afb,c為常數(shù)，〃W0)

fix)=%b(k,。為常數(shù)且左WO)

反比例函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型fix)=bax+c(a,b,c為常數(shù)，〃>0且〃Wl,

對數(shù)函數(shù)模型fix)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù)，Q>0且/?W0)

嘉函數(shù)模型f(x)=axa+b(a,b,a為常數(shù)，〃W0,aWO)

3.解函數(shù)模型問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型.

⑶解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論.

(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題.

以上過程用框圖表示如下：

考點一、指數(shù)函數(shù)模型

☆典例引領

1.(2023?重慶?校聯(lián)考模擬預測)生物學家為了了解抗生素對生態(tài)環(huán)境的影響，常通過檢測水中生物體內(nèi)抗

生素的殘留量來進行判斷已知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量》(單位：mg)與時間/(單位：年)近似

滿足關系式V=2(1-3%)(2*0),其中幾為抗生素的殘留系數(shù)，當7=8時，＞=|力，則2=()

【答案】D

O

【分析】根據(jù)題意得］2=彳（1-3-8。，從而可求出九

【詳解】解：因為抗生素的殘留量y（單位：mg）與時間”單位：年）近似滿足關系式>=4（1-3一"（彳/0）,

Q

當t=8時，j=-A,

O

所以，/=彳（1-3.），

9

11

所以3.=±=3-2,即_8；1=-2,解得彳=二

94

故選：D

2.（2023?福建漳州?統(tǒng)考三模）英國物理學家和數(shù)學家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.

如果物體的初始溫度是仇，環(huán)境溫度是為，則經(jīng)過fmin物體的溫度。將滿足。=4+（4-4）小，其中人是

一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有9（FC的物體，若放在1（TC的空氣中冷卻，經(jīng)過lOmin物

體的溫度為5（rc,則若使物體的溫度為2（rc,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】c

【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型和冷卻lOmin的數(shù)據(jù)可求得3再代入所求數(shù)據(jù)，解方程即可求得結果.

11

【詳解】由題意得：5O=lO+（9O-lO）e-lo\即.?"=Aln2,

/、-—In2

.?.6=4+C）e10，

由20=10+（90-10）eKn2得：e*BP-^jln2=ln1=-31n2,解得：,=30’

若使物體的溫度為2（TC,需要冷卻30min.

故選：C.

☆即時檢測

1.（2023?江西?校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調節(jié)免疫功能，增強機體免疫

力.草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到

大依次分為4個等級，其等級x（x=L2,3,4）與其對應等級的市場銷售單價y（單位：元/千克）近似滿足函

數(shù)關系式>=產(chǎn)+".若花同樣的錢買到的1級草莓比4級草莓多1倍，且1級草莓的市場銷售單價為24元/千克，

則3級草莓的市場銷售單價最接近（）（參考數(shù)據(jù)：啦。1.26,班。1.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

【答案】C

【分析】由指數(shù)運算，可得5k=/=2,求得e3"〃的值.

4a+^

【詳解】由題可知^^=03"=2,/=啦，由e"+“=24,貝u

e3a+b=e2a-ea+b=24e2a=24-^4?38.16.

故選：C.

2.（2023?山東德州?三模）2023年1月底，人工智能研究公司。M⑷發(fā)布的名為“。府6尸廠的人工智能聊

天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實

G

現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為￡=4〃^,其中乙表

示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，Go表示衰減

速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.8,衰減速度為12,且當訓練迭代輪數(shù)為12時，

學習率衰減為0.5.則學習率衰減到0.4以下（不含0.4）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：32。0.3010）

（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】C

【分析】由題意求得￡=0.8x（1,令0.8xc|六＜0.4,結合對數(shù)的運算公式，求得G＞17.7,即可得到答

案.

【詳解】由題意知，初始學習率％=0.8,衰減速度G0=12,所以乙=0.8/^，

因為當訓練迭代輪數(shù)為12時，學習率衰減為0.5,可得0.5=0.8￡＞仃12，解得。=］5，

所以L=0.8x（土產(chǎn),

8

令0.8x(|)五<0.4,可得(|產(chǎn)<g,G,5,1

貝nl1JRggVlg：；'

iZo2

⑵g;

-121g2________-12x0.3010

可得G>—

Ig5-31g2~(1-0.3010)-3x0.3010

lg8

所以至少所需的訓練迭代輪數(shù)至少為18.

故選：C.

3.（2023?江蘇鹽城?鹽城市伍佑中學?？寄M預測）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、

賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習慣與中國的文化內(nèi)涵相結合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國文化特

征.其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是空氣的

溫度是％。C,經(jīng)過f分鐘后物體的溫度為兔，滿足公式。=穌+（4-幻/矽.現(xiàn)有一壺水溫為92團的熱水用

來沏茶，由經(jīng)驗可知茶溫為52回時口感最佳，若空氣的溫度為12回，那從沏茶開始，大約需要（）分鐘飲

用口感最佳.（參考數(shù)據(jù)；ln3=L099,In2?0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

【答案】B

【分析】有題意，根據(jù)公式。=為+幽-4"""代入數(shù)據(jù)得52=12+（92-12）/6，變形、化簡即可得出答

案.

【詳解】由題意得e=%+（4-幻/矽，代入數(shù)據(jù)得52=12+（92-12）1矽，

整理得e"5，=J_,gp-0.25Z=In-=-In2?-0.693,解得年2.77；

22

所以若空氣的溫度為12回，從沏茶開始，大約需要2.77分鐘飲用口感最佳.

故選：B.

4.（2023?全國?模擬預測）保護環(huán)境功在當代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，

關系社會發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留

數(shù)量尸（單位：毫米/升）與過濾時間，（單位：小時）之間的函數(shù)關系為P=《-e'（/20）,其中％為常數(shù)，

上＞0,q為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%,那么

再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（）參考數(shù)據(jù)：0.585?

A.9%B.10%C.12%D.14%

【答案】C

￡

【分析】根據(jù)題意可得兄二"=!兄，解得e-3*=gj,從而求得關于殘留數(shù)量與過濾時間的函數(shù)關系式，

再將f=12代入即可求得答案.

【詳解】因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%,所以4-e以=g4，即e"所以=[j.

4

再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為4?3=4xG）；gx0,585xEal2%《?

故選：C.

考點二、對數(shù)函數(shù)模型

☆典例引領

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義

聲壓級4=20xlg二，其中常數(shù)％（p°>。）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為P],P2，P3,則（）.

A.A>p2B.p2>10p3

C.p3=100/70D.A<100p2

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知4?60,90]，4?50,60]，4=40,結合對數(shù)運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：LpiG[60,90],LP2G[50,60],LP3=40,

對于選項A：可得乙仍一￡“2=2°xlg且—2°xlg4=2°xlga~,

PoPoPl

因為4M02,則為-J=20xlg且30,即Ig&zo,

PlPl

所以.21且0]，P2>0,可得pgPz，故A正確；

Pl

對于選項B：可得42-乙丹=20xlgR-20xlg2~=20xlg上，

PoPoPi

因為4一4=4；-4021°,則20xlgJ10,即lg%；,

，3，3,

所以國且0,2>0,可得％2而科，

當且僅當4?=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為乙冉=20xlg凸=40,即1g上=2,

PoPo

可得星=100,即p3=100p0,故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：Ln-Lp2=20xlgA,

Pl

且y290—50=40,則20xlg且K40,

Pi

即電旦42,可得rV100,且p1,%＞。，所以RWlOOpz，故D正確;

PlP1

故選：ACD.

即時檢測

1.（2023?山西朔州?統(tǒng)考二模）2022年6月5日上午10時44分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號F

運載火箭，將神舟十四號載人飛船和3名中國航天員送入太空這標志著中國空間站任務轉入建造階段后的

首次載人飛行任務正式開啟.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強級d（x）（單位：dB）與聲

強無（單位：W/n?）滿足d（x）=101g/.若人交談時的聲強級約為50dB,且火箭發(fā)射時的聲強與人交談

時的聲強的比值約為103則火箭發(fā)射時的聲強級約為（）

A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB

【答案】B

【分析】設人交談時的聲強為4,從而得到占=10-7,求出火箭發(fā)射時的聲強為109x10-7=102,代入解析

式求出答案.

【詳解】設人交談時的聲強為4,則火箭發(fā)射時的聲強為10晨「

則50=101g木，解得:%=10一7,

則火箭發(fā)射時的聲強為109x10"=102,將其代入d（x）=ioig溫中，得：

^（102）=101g^=140dB,故火箭發(fā)射時的聲強級約為140dB.

故選：B

2.（2023?山東?煙臺二中校聯(lián)考模擬預測）地震震級是對地震本身能量大小的相對量度，用M表示，M可通

過地震面波質點運動最大值（4T）a進行測定，計算公式如下：M=lg（A/T）niax+1.661gA+3.5（其中A為

震中距）.若某地發(fā)生6.0級地震,測得（47）3=0.001,則可以判斷（）.參考數(shù)據(jù)：2°-313?1.24,50313?1.65.

A.震中距在2000?2020之間B.震中距在2040?2060之間

C.震中距在2070?2090之間D.震中距在1040?1060之間

【答案】B

【分析】代入求值，得至HgA=3.313,進而求出答案.

【詳解】依題意，6.0=lg0.001+1.661gA+3.5,

則5.5=L661gA,則IgA3.313,

1.66

^A?1O3-313=1O3X2°-313X50-313?1000xl.24xl.65=2046.

故選：B

3.（2023?吉林長春?東北師大附中?？寄M預測）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，

根據(jù)國家有關規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒

駕車.假設某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了Img/mL.如果在停止喝酒以后，他血

液中酒精含量會以每小時20%的速度減少，那他至少經(jīng)過（）小時才能駕駛.（參考數(shù)據(jù)愴2“0.301）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】由題意可得100x0.8*=20,由對數(shù)的運算性質求解即可.

【詳解】解析：設該駕駛員x小時后100mL血液中酒精含量為ymg,

則>=100（1-20%）*=100x08,

當y=20時,有100x0?=20,即08=0.2,

13A1。1。.2=匹=3=3^。30一X7.206,

08lg0.8lg8-l31g2-l3x0.301-1

故選：D.

4.（2023?山西運城?統(tǒng)考二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質，是

昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信

息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應

用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預報和防治中較多使用.研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素/秒后，在距釋放

1k

處X米的地方測得的信息素濃度y滿足111>=-已1111-：好+。，其中鼠。為非零常數(shù).已知釋放信息素1

秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為如若釋放信息素4秒后，距釋放處6米的位置，信息素濃

度為則6=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結合對數(shù)的運算，化簡求值.

〃71k

【詳解】由題意Inm=+In一=—In4—b2+a,

224

所以］口m—111胃=_4女+。_1一；1114_5b2+Q））,

即一4%+月62=0.又左片0,所以〃=16.

4

因為b>0,所以6=4.

故選：B.

5.（2023?湖北荊州?沙市中學校考模擬預測）住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣

味的氣體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時，空氣中甲醛濃度不能超過0.08mg/n?,否則，該新房

達不到安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后，通風x（x=l,2,3,…,50）周與室內(nèi)甲醛濃度y（單位：mg/m3）

之間近似滿足函數(shù)關系式丫=0.48-0.1〃龍）（工€產(chǎn)），其中〃同=0.卜（無2+2彳+1）]優(yōu)＞0"=1,2,3「..,50）,

且〃2）=2,/（8）=3,則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風（）

A.17周B.24周C.28周D.26周

【答案】D

【分析】由已知數(shù)據(jù)求得參數(shù)3然后解不等式〃尤）24即可得.

【詳解】〃尤）=log“[Mx+l）2]=log5+21og0（x+l）,由〃2）=2,*8）=3,得log5+210g“（2+1）=2,

log”左+210g“（8+1）=3,

兩式相減得log09=l,貝Ua=9,所以log5+2=3,k=9.

該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，則0.48-0.1〃x）W0.08,

則/（無）“，即l+21og9（x+l）N4,解得x226,

故至少需要通風26周.

故選：D.

考點三、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

☆典例引領

1.（2022?福建福州?統(tǒng)考模擬預測）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術.現(xiàn)有一張長10cm、寬8cm的長

方形的紙片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為岳,邑.若百：$2=1:3,

則折痕長的最大值為（）

A.?^9cmB.10cmC.2^/29cmD.2V34cm

【答案】C

【分析】由已知可確定20cm,分別在三種折疊方式下利用面積建立關于折痕的函數(shù)關系式，根據(jù)二次

函數(shù)和對勾函數(shù)的單調性可求得最值，由此可得結果.

【詳解】由題意得：長方形紙片的面積為10x8=80（cnf）,又邑=1:3,

22

/.S]=20cm,S2=60cm；

①當折痕如下圖所示時，

；孫=20

設AE=x,AF=y,貝lj<0<x<10,解得:

0<j<8

令Y=re[25,100],/(f)=f+-y^(25<r<100),

?■?/⑴在(25,40)上單調遞減，在(40,100)上單調遞增，

又〃25)=25+64=89,4100)=100+16=116,“40)=40+40=80,

/(f)e[80,116],后,2莊];

②當折痕如下圖所示時，

；(x+y)x8=20

x+y=5

設AE=x,DF=y,貝I卜0<x<10,解得:

0<x<5f

0<y<10

.-,EF2=(.r-y)2+64=(2x-5)2+64,

ag(x)=(2x-5y+64(0〈xW5),則g(x)在上單調遞減，在(g,5)上單調遞增,

5

又g(0)=25+64=89,g64,^(5)=25+64=89,/.g(x)e[64,89],

.?.EPe[8,犧];

③當折痕如下圖所示時,

1（x+j）xlO=2O

x+y=4-

設AF=x,BE=y,則<04x48,解得：

0<x<4

0<y<8

EF2=（x-?+100=（2x-4）2+100

/z（x）=（2.r-4）2+100（0<x<4）,則，z（x）在（0,2）上單調遞減，在（2,4）上單調遞增，

X^（0）=16+100=116,旗2）=100,.4）=16+100=116,/?（x）e[100,116],

.■.￡Fe[10,2729]；

綜上所述：折痕長的取值范圍為[&2月）

???折痕長的最大值為2標cm.

故選：C.

即時檢測

1.（2022?廣東?模擬預測）在流行病學中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).當基本傳染數(shù)高

于1時，每個感染者平均會感染一個以上的人，從而導致感染這種疾病的人數(shù)量指數(shù)級增長.當基本傳染數(shù)

持續(xù)低于1時，疫情才可能逐漸消散.廣泛接種疫苗可以減少疾病的基本傳染數(shù).假設某種傳染病的基本傳

染數(shù)為％,1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N人中有V個人接種過疫苗（三稱為接種率），

那么1個感染者新的傳染人數(shù)為個■（N-V）.已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)%=2.5,為了使1個感染者傳

染人數(shù)不超過1,該地疫苗的接種率至少為（）

A.40%B.50%C.60%D.70%

【答案】C

【分析】由題意列不等式2.5（：-一W1,即可求出結果.

N

（

【詳解】由題意可得：-25-N--V-^}<1=>2.5^-2.5V<2V=>—V>—15=60%

NN2.5

故選：c.

2.（2022?云南曲靖?統(tǒng)考二模）某大型家電商場，在一周內(nèi)，計劃銷售A、8兩種電器，已知這兩種電器每

臺的進價都是1萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進貨8的臺數(shù)不高于A的臺數(shù)的2倍，且進貨8至少2臺，而

銷售A、B的售價分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨A、8的總資金為6萬

元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一個周內(nèi)銷售A、5電器的總利潤（利潤=售價一進價）的最大值

為（）

A.1.2萬元B.2.8萬元C.1.6萬元D.1.4萬元

【答案】D

【分析】設賣場在一周內(nèi)進貨8的臺數(shù)為x臺，則一周內(nèi)進貨A的臺數(shù)為（6-同，根據(jù)題意可得出關于x的

不等式，解出X的取值范圍，再寫出y關于X的函數(shù)關系式，利用函數(shù)的單調性可求得y的最大值.

【詳解】設該賣場在一周內(nèi)進貨B的臺數(shù)為無臺，則一周內(nèi)進貨A的臺數(shù)為（6-力，

設該賣場在一周內(nèi)銷售A、8電器的利潤為＞萬元，

（x＞2

由題意可得「＜2（6_,，可得2WxW4,且xeN,

y=0.2（6-x）+0.25x=0.05x+1.2,

函數(shù)y=0.05x+L2隨著x的增大而增大，^ymax=0.05x4+1.2=1.4（萬元）.

故選：D.

3.（2023,浙江?統(tǒng)考二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120。的等腰

梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面

的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參

考數(shù)據(jù)：73-1.732）

【答案】B

【分析】如圖設橫截面為等腰梯形ABC。，于E,求出資金3萬元都用完時A5+BC+AD,設BC=x,

再根據(jù)梯形的面積公式結合二次函數(shù)的性質即可得解.

【詳解】如圖設橫截面為等腰梯形A3CD，BELCD于E,ZBAD=ZABC=120°,

要使水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，

貝也OOxlAB+BC+AZ^xlOOnBOOOO,解得AB+BC+AD=3米，

設BC=x,貝IAB=3—2尤,BE=且無,CE='x,故CD=3-x,且0＜x＜』，

222

X

梯形ABCD的面積c

2

當x=l時，￡ax=￥

止匕時=0.87,

2

即當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.

故選：B.

【基礎過關】

一、單選題

1.（2023?福建寧德??？寄M預測）已知一種放射性元素最初的質量是500g,按每年10%衰減，則可求得這

種元素的半衰期（質量變到原有質量一半所需的時間）為（）（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,結果精確到

0.1）

A.7.6年B.7.8年C.6.2年D.6.6年

【答案】D

【分析】按每年10%衰減，得出每年剩余90%,列出方程，根據(jù)對數(shù)運算得出結果.

【詳解】最初的質量是500g,經(jīng)過一年后，質量變?yōu)?00（1-10%）=500x0.9,

經(jīng)過2年后，質量變?yōu)?00x0.92,

經(jīng)過f年后，質量變?yōu)?00x09,

令500x0.9'=250,則09=0.5,

lnO5-lg2-0.3010

則/In0.9=ln0.5,~6.6.

In0.9-21g3-l-2x0.4771-1

則這種元素的半衰期6.6年.

故選：D.

2.（2023?安徽合肥?二模）Malthus模型是一種重要的數(shù)學模型.某研究人員在研究一種細菌繁殖數(shù)量N⑺與

46z

時間r關系時，得到的Malthus模型是N⑺=7Voe°-，其中N。是r=辦時刻的細菌數(shù)量,e為自然對數(shù)的底數(shù).若

f時刻細菌數(shù)量是％時刻細菌數(shù)量的6.3倍，則f約為（）.（ln6.3R.84）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由條件可知，N°e°*63N。,結合指對互化，即可求解.

OM,046

【詳解】當N=r時，N（f）=Noe=63N0,即e--=6.3,

貝lj0.46/=In6.3“1.84,得/”4.

故選：C

3.（2023?山東?沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）某款電子產(chǎn)品的售價，（萬元/件）與上市時間x（單位:

月）滿足函數(shù)關系y=10"+6（a,6為常數(shù)，且beN*）,若上市第2個月的售價為2.8萬元，第4個月的

售價為2.64萬元，那么在上市第1個月時，該款電子產(chǎn)品的售價約為（）（參考數(shù)據(jù)：

V3~1.732,V5?2.236,lg2?=0.3010）

A.3.016萬元B.2.894萬元C.3.048萬元D.2.948萬元

【答案】B

【分析】由已知可得104“一1。2，，+0.16=0,解得1。2。=0.2或10〃=0.8,分別求出匕的值，判斷是否滿足8eN*,

即可得。的值，從而可求得上市第1個月時，該款電子產(chǎn)品的售價.

【詳解】由題得IO?"+8=2.8,10而+6=2.64,W104fl-10^+0.16=0,MW102s=0.2^4102fl=0.8,

當1。2"=0.2時，6=2.6,不合題意舍去，

當1。2"=0.8時，b=2,則10"=血R,所以y=（而§/+2,

當x=l時，y=75^+2=2+￥^2.894,

所以在上市第1個月時，該款電子產(chǎn)品的售價約為2.894萬元.

故選：B.

4.（2023?陜西西安??？寄M預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關系，某開發(fā)商收集了一棟住

宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數(shù)x與每平米平均建筑成本了（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整

理成如圖所示的散點圖：

4每平米平均建筑成本/萬元

20-

15-

10-.

5-,

01020*3040樓層數(shù)/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用y和樓層數(shù)x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bQx

b72

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【答案】C

【分析】通過觀察散點圖并結合選項函數(shù)的類型得出結果.

【詳解】觀察散點圖，可知是一個單調遞減的曲線圖，結合選項函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類

型，故C正確.

故選：C.

5.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預測）斯特林公式（Stirling'sapproximation）是由英國數(shù)學家斯特林提出的一條用

來取〃的階乘的近似值的數(shù)學公式，即加士屈其中兀為圓周率，e為自然對數(shù)的底數(shù).一般來說，

當”很大的時候，〃的階乘的計算量十分大，所以斯特林公式十分好用.斯特林公式在理論和應用上都具有重

要的價值，對于概率論的發(fā)展也有著重大的意義.若利用斯特林公式分析100!計算結果，則該結果寫成十進

制數(shù)時的位數(shù)約為（）

（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.301,lg7i?0.497,Ige?0.434）

A.154B.158C.164D.172

【答案】B

【分析】求解Igl。。!，再根據(jù)對數(shù)公式代入數(shù)據(jù)化簡求解即可.

【詳解】由題意lglOO!Blgj27ixlOo[?]=lg10A/2^+1001g—=l+^（lg2+lg7t）+100（2-lge）

?1+1（0.301+0.497）+100（2-0.434）=1+0.399+156.6=157.999工158,

即IglOO!。158,即100!寫成十進制數(shù)時的位數(shù)約為158.

故選：B

6.（2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村振興"的目

標，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務.根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例產(chǎn)關于貸款人的年收入x（單

-0.9680+fcc

位：萬元）的Logistic,模型：P（x）=]：e?.968o+A，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為

50%.若銀行希望實際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：In3?1.0986,

ln2~0.6931）

A.4.65萬元B.5.63萬元C.6.40萬元D.10.00萬元

【答案】A

【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計算函數(shù)尸（X）中參數(shù)％的值，然后計算P（x）=40%時X的值即可.

0-0.9680+8后

【詳解】由題意尸（8）==50%=-”.968。+8人=1即—0.9680+8^=0,得無=0.121,所以

]+-0.9680+8A2

e-0.9680+0.121x

PM=]+?—S9680+Q121X

-0.9680+0.121x

令P(X)==40%=-

]+?—Q9680+0.121x5

彳日^^-0.9680+0.12lx=2C(/l1+.e0.9680+0.121%

2

得屋.9680+0.121%

3

2

得-0.9680+0.12lx=In§

In2-In3+0.9680…

得了=---------------?4.65.

0.121

故選：A.

7.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）提丟斯一波得定則，簡稱"波得定律"，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)

驗規(guī)則.它是在1766年德國的一位中學教師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成了一個

如下經(jīng)驗公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1,若某行星的編號為小則該行星到太陽的平均距離表

示為a+6x2〃T,那么編號為9的行星用該公式推得的平均距離位于（）

行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星

編號12345678

公式推得值0.711.62.85.21019.638.8

實測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06

A.（30,50）B.（50,60）C.（60,70）D.（70,80）

【答案】D

【分析】代入數(shù)據(jù)計算的值即可.

「。+6義20=0.7]。=0.4?./、

【詳解】由表格可得,,,n,na+6x29T=77.2e70,80,

[a+6x2=1[b=0.3

故選：D

8.（2023?廣東廣州,華南師大附中校考三模）在流行病學中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).

當基本傳染數(shù)高于1時，每個感染者平均會感染1個以上的人，從而導致感染這種疾病的人數(shù)呈指數(shù)級增

長.當基本傳染數(shù)持續(xù)低于1時，疫情才可能逐漸消散.接種疫苗是預防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基

本傳染數(shù)4=5,若1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N人中有V個人接種過疫苗（三V稱為

接種率），那么1個感染者新的傳染人數(shù)為為了有效控制病毒傳染（使1個感染者傳染人數(shù)不

超過1）,我國疫苗的接種率至少為（）

A.75%B.80%C.85%D.90%

【答案】B

V

【分析】根據(jù)已知條件可得出關于三的不等式，由此可得出結果.

N

V

【詳解】由題意可得5,（,"/『x。-后尸,解得無舌4，因此，

該地疫苗的接種率至少為80%.

故選：B.

9.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）“青年興則國家興，青年強則國家強"，作為當代青少年，我們要努力奮斗,

不斷進步.假設我們每天進步1%,則一年后的水平是原來的10產(chǎn)5。37.8倍，這說明每天多百分之一的努力,

一年后的水平將成倍增長.如果將我們每天的"進步"率從目前的10%提高到20%,那么大約經(jīng)過（）天后,

我們的水平是原來應達水平的1500倍.（參考數(shù)據(jù)：lg2，0.301,lg3=0.477,圖區(qū)1.041）

A.82B.84C.86D.88

【答案】B

【分析】利用對數(shù)的運算性質結合估算即可求得結果.

【詳解】設大約經(jīng)過x天后，我們的水平是原來應達水平的1500倍，

可得1.2*=Ll*xl500，兩邊取對數(shù)得xlgl.2=xlgl.l+lgl500,

x（lgl2-l）=x（lgll-l）+lgl5+2,

%=Jgl5+2

■ign-igir

又因為Igl5=lg（3x5）=lg3+lg5=lg3+l-lg2

-0.477+1-0.301=1.176,

又因為Igl2=lg3+lg4=lg3+21g2

?0.477+0.602=1.079,

g、，_/15+21.176+23.176

所以x---------------~-----------------=--------a84.

Igl2-lgll1.079-1.0410.038

故選：B.

二、多選題

10.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預測）預測人口的變化趨勢有多種方法，"直接推算法”使用的公式是

匕=4（1+幻"伏＞-1）,其中月為預測期人口數(shù)，1為初期人口數(shù)，上為預測期內(nèi)人口年增長率，〃為預測

期間隔年數(shù)，則（）

A.當則這期間人口數(shù)呈下降趨勢

B.當左則這期間人口數(shù)呈擺動變化

C.當左=^,匕22兄時，〃的最小值為3

D.當左=4時，〃的最小值為3

【答案】AC

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質確定函數(shù)的增減性可判斷A,B；分別代入左=g和左=-：，解指數(shù)不等式可判斷

C,D,

【詳解】Po>O,O<l+k<l,由指數(shù)函數(shù)的性質可知：匕=4（1+幻"（左>-1）是關于〃的單調遞減函數(shù)，

即人口數(shù)呈下降趨勢，故A正確，B不正確；

k=^,Pn=P0［^>2P0,所以所以心log/MwN）,

log,2G（2,3）；所以"的最小值為3,故C正確；

3

左=。4=片］|［交，所以I）弓，所以〃「log|；（〃eN）,

logz|=log32e（l,2）,所以〃的最小值為2,故D不正確；

故選：AC.

【能力提升】

一、單選題

1.（2023?全國?模擬預測）大西洋鞋魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速（單位：m/s）

可以表示為v=^log3備，其中Q表示鞋魚的耗氧量.則鞋魚以0.5m/s的速度游動時的耗氧量與靜止時的

耗氧量的比值為（）

A.3B.27C.300D.2700

【答案】A

【分析】根據(jù)題中函數(shù)關系式，令v=0和0.5,分別求出對應的。，即可得出結果.

【詳解】因為鞋魚的游速（單位：向$）可以表示為曠=543卷，其中。表示鞋魚的耗氧量的單位數(shù)，

當一條鞋魚靜止時，v=0,止匕時0=；1嗎懸，則熹=1，耗氧量為。=1。。；

當一條鞋魚以0.5m/s的速度游動時，v=0.5,此時0.5=glog3蓋，

所以logs焉=1,貝U磊=3,即耗氧量為。=300,

因此鞋魚以0.5m/s的速度游動時的耗氧量與靜止時的耗氧量的比值為器=3.

故選：A.

2.（2023?重慶?重慶南開中學?？寄M預測）"學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收"（明?《增

廣賢文》）是勉勵人們專心學習的.如果每天的"進步”率都是1%,那么一年后是（1+1%嚴=1.01365；如果每

天的''退步〃率都是1%,那么一年后是（1-1%產(chǎn)5=0.99365.一年后〃進步〃的是〃退步〃的

1Hi3651ni

土/=（W_）36521481倍.如果每天的"進步"率和"退步"率都是20%,那么大約經(jīng)過（）天后"進步”的是

0.993650.99

“退步”的一萬倍.（館2土0.3010,lg320.4771）

A.20B.21C.22D.23

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可列出方程10000x（1-0.2）*=1.2,，求解即可，

【詳解】設經(jīng)過x天"進步"的值是"退步"的值的10000倍，

則10000x（1-02）』鬻,

12

即（一一0000,

篇比上1g3Tg20.1761

°0.8°2

故選：D.

3.（2023?安徽滁州?安徽省定遠中學校考一模）等額分付資本回收是指起初投資P,在利率。回收周期數(shù)”

為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時，才能在第〃期期末把全部本利取出，即全部本利回收，

其計算公式為：A=尸?萼察】某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購買一大型農(nóng)機設備，期望投資收益年利率為

10%,若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（