廣東省佛山市順德區(qū)某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末熱身考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末

熱身考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（l+i）（2-i）（其中i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.對(duì)于任意的平面向量下列說法中正確的是（）

A.若Q〃1且貝!

B.右crb=a，c，且aw0,則[6|二|c]

(a-b)*c=a(b?c)

一一一4一r曰/4日、r(CfC+b9C)C

D.Q+b在c上的投影向量為1—十小

?

3.已知sin[e+^1]=g,貝人詁[26—1]=()

A.--B.-C.--D.-

9999

4.在V/BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量e=(a,cosB),0=(cosA,-b),

若￡，瓦則V4BC一定是()

A.銳角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形等腰三角形或直角三角形

15

5.已知一組正數(shù)玉/2，工3，匕戶5的方差為/=±￡考-9,則另一組數(shù)據(jù)2%-1,2X2-1,

37=1

2X3-1,2X4-1,2X5-1的平均數(shù)為(

6.正方體N58-44GA中，￡,6分別是6口，。。的中點(diǎn)，則直線CE與直線/G所成角

的余弦值為（）

試卷第1頁，共6頁

7.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個(gè)氟原子處于頂點(diǎn)位置，而硫原子處于中心位置的正

八面體，也可將其六個(gè)頂點(diǎn)看作正方體各個(gè)面的中心點(diǎn).若正八面體的表面積為126，則

正八面體外接球的體積為（）

C.12無D.36兀

8.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，角。的終邊與單位圓交于點(diǎn)O召逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方得OE，

OE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)W得…，。匕一逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)5得。勺，則點(diǎn)月嫡的橫坐標(biāo)為（）

3-473?3+4石?4-38「4+3石

-------------D.-------------C.------------D.-------------

10101010

試卷第2頁，共6頁

二、多選題

9.在VN8C中，角4瓦C的對(duì)邊分別為瓦c,則（）

A.若4=30°/=4,a=3,則V48c恰有1解

B.若tan/tan2=l,貝！JV48c為直角三角形

C.若si/N+sinZB+cos2c<1,則V4BC為銳角三角形

D.若｛-及=bc，貝lJ/=23

10.如圖為某新能源汽車企業(yè)2015—2022年及2023年1?9月份的營業(yè)額（單位：億元）、

凈利潤（單位：億元）及2015—2022年?duì)I業(yè)額的增長率的統(tǒng)計(jì)圖.已知2023年第二、三、

四季度的凈利潤相比上季度均增長10%,則下列結(jié)論正確的是（）

45oo12oy

y

40oo10o/

35oo^

只80u

z30oo

/606

w25oo

鄰20oo406

15oo

20^/

ooou

5ooo%

o%

-20

營業(yè)額^口凈利潤營業(yè)額增長率

A.2015-2022年?duì)I業(yè)額逐年增加

B.2022年的凈利潤超過2017-2021年凈利潤的總和

C.2015-2022年?duì)I業(yè)額的增長率最大的是2022年

D.2023年第四季度的凈利潤比第一季度的凈利潤多30多億元

11.在直三棱柱NBC-44cl中，AABC=90°,KAB=BC=CC1=2,M為線段8c上的

A.AB.LA.M

試卷第3頁，共6頁

B.三棱錐的體積不變

cMM+(叫的最小值為3+石

D.當(dāng)“是8c的中點(diǎn)時(shí)，過4，M，G三點(diǎn)的平面截三棱柱/3C-4耳G外接球所得的

截面面積為胄兀

三、填空題

12.如圖所示，水平放置的A48C的斜二測直觀圖是圖中的A4B'C',已知HC'=4,B'C=6,

則AABC的面積為.

13.如圖，在Rd48C中，AB=BC=亞,。為/C的中點(diǎn).將△8C。沿翻折，使點(diǎn)C

移動(dòng)至點(diǎn)E,在翻折過程中，當(dāng)=1時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的表面積

14.在V/5C中，內(nèi)角A,8,0所對(duì)的邊分別為若1——cin=1—3A，則』?

的取值范圍是.

四、解答題

15.在/4BC中，角4民。的對(duì)邊分別為。，瓦c,已知a=6cosC+6csinB

(1)求8；

(2)若/4BC為銳角三角形，且邊c=百，求44BC面積的取值范圍.

16.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市"知識(shí)競賽，從所有答卷

試卷第4頁，共6頁

中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))

分成六段：[40,50),[50,60),…，[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(2)求樣本成績的上四分位數(shù)；

⑶已知落在[50,60)的平均成績是54,方差是7,落在[60,70)的平均成績?yōu)?6,方差是4,

求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.

17.已知向量a=(sin]),X=[c-1sin^函數(shù)/(x)=a石-m[+可+1,

XG--,WGR.

L34j

(1)當(dāng)加=0時(shí)，求的值；

(2)若/(x)的最小值為-1,求實(shí)數(shù)冽的值；

⑶是否存在實(shí)數(shù)加，使函數(shù)g(x)=〃x)+而24加2,尤e--71-71有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，

求出加的取值范圍；若不存在，說明理由.

18.如圖，四邊形ABCD與8DE尸均為菱形，AB=2,ADAB=1,FA=FC=娓,記平面

AEF與平面ABCD的交線為/.

⑴證明：BD//1；

(2)證明：平面3。￡尸_L平面/BCD；

試卷第5頁，共6頁

mcos23=sin0-tcos0

⑶記平面4EF與平面48CD夾角為e,若正實(shí)數(shù)加，〃滿足

nsin20=cos6+/sin6

0<6<1,證明：機(jī)+〃>^^tana.

22

19.定義V/3C三邊長分別為叫b,c,則稱三元無序數(shù)組(/Ac)為三角形數(shù).記。為三

角形數(shù)的全集，即(a,6,c)eZ).

⑴證明："(。ec)e。”是八)e的充分不必要條件;

⑵若銳角V48c內(nèi)接于圓。，且無+y礪+z芯=0,設(shè)/=(x,y,z)(x,y,z>0).

①若/=(3,4,5),求LOB：S“OC；

②證明：IwD.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ADCDBCBBBDBC

題號(hào)11

答案ABD

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】解：z=(l+i)(2-i)=3+i,

則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),位于第一象限.

故選：A.

2.D

【分析】選項(xiàng)A,3=0時(shí)，工)不共線時(shí)，，得不出2〃"；

選項(xiàng)B,根據(jù)條件得出|a|cos<a,b>=\c\coscos<a,c>，不能得出|B|二?；

選項(xiàng)C,根據(jù)數(shù)量積的定義判斷即可；

選項(xiàng)D,根據(jù)投影向量的定義，判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,5=0時(shí)，不共線時(shí)，滿足不能得出選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)椋凼?々?"，所以|萬\-\b\cos<a,b>=\a\-\c\coscos且同w0,

所以Wcos?=g|coscos@㈤，不能得出I昨|司，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)向量數(shù)量積的定義知，Z石與不一定相等，％與Z不一定共線，所以

(a?b)c=a(b*c)不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,市在"上的投影向量為產(chǎn).占^

選項(xiàng)D正確.

故選：D.

3.C

【分析】由sin12嗯bsin2,+*卜鼻，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和余弦倍角公式即可求解.

7171

【詳解】sin2”-=sin2(=-sin—2。+—

2212

答案第1頁，共16頁

故選：c

4.D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得6COSB=QCOSZ,再根據(jù)正弦定理邊化角以及二倍角的

正弦公式可得sin24=sin2B,根據(jù)4臺(tái)為三角形的內(nèi)角可得24=25,或24+25=%，進(jìn)

一步可得答案.

【詳解】因。_L尸，所以QCOS/—6COSB=0,

所以bcosB=〃cos/,由正弦定理可知sin5cos5=siib4cos4,所以sin2,=sin25.

又45G(0,7i),且4+B￡(0,7i),所以2/=25,或2Z+2B=?,

TT

所以Z=_S,或4+3=彳.

2

則VABC是等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，屬于

基礎(chǔ)題.

5.B

【分析】根據(jù)題意，求得最=3,結(jié)合數(shù)據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由/=:￡(%-寸=。傳了-中:算記-X—,

可得尤2=9且x>0,所以x=3,

故數(shù)據(jù)2玉一1,2X2-1,2X3-1,2X4-1,2x5—1的平均數(shù)為2x3—1=5.

故選：B.

6.C

【分析】先通過平移將異面直線的所成角轉(zhuǎn)化為相交直線的所成角，在三角形內(nèi)利用余弦定

理即可求得

【詳解】

答案第2頁，共16頁

如圖，取CD的中點(diǎn)尸，再取。尸的中點(diǎn)“，連接D\F,GH,AH,因點(diǎn)￡是GA的中點(diǎn)，易

證口2ECF,可得//EC,

又因點(diǎn)G是的中點(diǎn)，故GH//D/,則EC//G77,故直線GH與直線/G所成角即直線

CE與直線/G所成角.

不妨設(shè)正方體棱長為4,在中，

AG=722+42=275,GH=，22+F=區(qū)AH="+F=后,

由余弦定理，cosZAGH=（2―）一十（修）一［（折）-=_1=2,即直線CE與直線/G所成角的

2-2V5-V5205

2

余弦值為

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件可得外接球的半徑，進(jìn)而由球的體積公式即得體

積.

【詳解】如圖正八面體，連接/C和AD交于點(diǎn)。，

因?yàn)镋/=￡C,ED=EB,

所以EOL/C,EO1BD,又/C和AD為平面/BC。內(nèi)相交直線,

所以EO_L平面4BCD,所以。為正八面體的中心，

答案第3頁，共16頁

設(shè)正八面體的外接球的半徑為R,因?yàn)檎嗣骟w的表面積為8X農(nóng)=12療，所以正八

4

面體的棱長為灰，

所以EB=EC=BC=V6,0B=0C=V3,EO=VFF2-OB2=W，

則R=W,V==|TTX3V3=4V3H.

故選：B.

8.B

【分析】根據(jù)余弦值的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可

cosa+若,sm0+若

【詳解】由題意,6(cosa,sintz),故芻出由誘導(dǎo)公式

r202.71

且a+--------=6747r+a-----即點(diǎn)￡臉的橫坐標(biāo)為

33

(兀'71..乃31463+475

cosa——=coscrcos—+smasin—=—x-4x-=---------

(3)33525210

故選：B

9.BD

【分析】由正弦定理，求得8兩解，可判定A錯(cuò)誤；化簡得到cos(/+8)=0,可判定B正

確；由正弦定理化角為邊，再由余弦定理求得cosC<0,可判定C錯(cuò)誤；由正弦定理結(jié)合余

弦定理，求得sin(/-8)=sin8,可判定D正確.

【詳解】對(duì)A中，因?yàn)?=30。,6=4,0=3,由正弦定理號(hào)=工，可得

sinAsinB

42

sinS=—xsinSff=—,

33

因?yàn)閎>〃，所以8有兩解，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)B中，因?yàn)閠an/tanB=1,所以cos力cos8-sin4sin5=0,可得cos(力+8)=0,

TT7T

因?yàn)镹+5e(0,7i),所以/+3=—,故C=二，所以B正確；

對(duì)C中，由sin24+sin?8+cos2c<1,可得sin?N+sin?8<1-cos?C，

即sinJ+sin?vsi/C,則〃+62<c2,所以cosC="一十"一廠<0,可得C為鈍角，所以

2ab

C錯(cuò)誤；

答案第4頁，共16頁

對(duì)D中，由余弦定理知/=b2+c2-2bccosA9

a2—b2=bef可得c之一2bccos/=6c,

又由正弦定理可得sinC-2sin8cos%=sin8,

因?yàn)?+3=兀一C,可得sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cos4sinB,

所以sinC—2sin5cos4=sin/cosB-cos5sin/=sin(4-B),

可得sin(4-8)=sin8,又因?yàn)椤耙?e(0,兀)，且Be]。,]],

所以/-3=8,即4=28,所以D正確.

故選：BD.

10.BC

【分析】根據(jù)圖中營業(yè)額即可判斷A；計(jì)算2017-2021年總利潤和2022凈利潤比較即可判

斷B；根據(jù)圖中增長率大小即可判斷C；根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A：2019年的營業(yè)額低于2018年，A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B：2022年的凈利潤為166.2億元，

2017-2021年的凈利潤的總和為40.7+27.8+16.1+42.3+30.5=157.4(億元)，157.4<166.2,

B正確.

選項(xiàng)C：2015-2022年?duì)I業(yè)額的增長率最大的是2022年，C正確.

選項(xiàng)D：設(shè)2023年第一季度的凈利潤為“億元，則第四季度的凈利潤為(1+10%丫“，

則。+(1+10%”+(+10%)2/="：一：；)=213.7,得1.%一。=21.37,

故2023年第四季度的凈利潤比第一季度的凈利潤多21.37億元，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.ABD

【分析】由線面垂直證明線線垂直證明選項(xiàng)A；VCt_AMBi=VA_BtCiM,由底面積和高判斷體積

驗(yàn)證選項(xiàng)B；14M+|GM|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(2亞,0)和點(diǎn)(2,2)到點(diǎn)(04的距離之和，計(jì)算驗(yàn)證選

項(xiàng)C；通過構(gòu)造直角三角形求截面半徑，計(jì)算體積驗(yàn)證選項(xiàng)D.

【詳解】連接48,如圖所示，

答案第5頁，共16頁

直三棱柱45C—451G中，AB=BC=CC】=2,

/A4圈為正方形，ABXVAXB,

AABC=90°,BC_L平面45耳4，平面/544，BC上網(wǎng),

4氏5。（=平面45。，AXB\BC=B,/B]_L平面45c,

4Mu平面45。，AB.VAXM,A選項(xiàng)正確；

1114

由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，Vc<_AMBi=VA_BiCiM=-SABICIM-AB=-x-xBlCl-CCl-AB=-,故三棱

錐￡兒囪的體積為定值，B選項(xiàng)正確；

沒BM=t,0<f<2,MC=2-1,

12222

A.M=A1A+AM=//+AB+BM=8+產(chǎn)，

12122

C.M=CXC+MC=2+（2-t）,

\AXM\+\C}M\="2后"+e+（27丫,其幾何意義是點(diǎn)（2后,0）和點(diǎn)（2,2）到點(diǎn)（0,。的

距離之和，最小值為點(diǎn)卜28,0）到點(diǎn)（2,2）的距離，為J16+80，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)W是3c的中點(diǎn)時(shí)，4M=3,4。=2&，C、M=也,

4"+4Cjc”9+8-5V2

cos/M41G=

2x3x2a-2

sinZMAtCt=乎,S.%?=34G.4”?sinZMAlCl=92私x3x舁3,

=

\CC1M=1x2xl=l,設(shè)點(diǎn)c到平面朋4G的距離為也，由Q4g^A]-CCXM，

2

得3〃，=2xl,%=—,

3

直三棱柱4BC-43cl是正方體的一半，外接球的球心為4。的中點(diǎn)o,外接球的半徑

答案第6頁，共16頁

4。=；&c=6，點(diǎn)o到平面及4G的距離為%=3=；,

則過4,M,G三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC-4用G外接球所得截面圓的半徑為

,截面面積為?兀，D選項(xiàng)正確.

3

故選：ABD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

對(duì)于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵；與球有

關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位

置，通過構(gòu)造直角三角形求半徑.

12.24

【分析】還原圖形即可求出面積.

【詳解】由已知得V/5C的原圖如下:

其中NC=8,BC=6,NACB=90°,

所以S“8c=gx6x8=24-

故答案為：24.

“4-273

13-------------71

3

【分析】設(shè)內(nèi)切球半徑為「，三棱錐430表面積為H，根據(jù)三棱錐體積/.板,=；岳廠求

出廠，然后由球的表面積公式可得.

【詳解】因?yàn)?3=3。=血，ABLBC,所以力C=2,AD=CD=BD=1,

TT

當(dāng)4Z)E=5時(shí)，ADVDE,因?yàn)锽D1DE,

所以DE_1_平面ABD,AB=BE=AE=V2，S,?F=—x^2xV2xsin—=—,

a232

答案第7頁，共16頁

q—c-v=—xlxl=—

°AABD-O.BDE-Q^EDA22

=3x1^3+百

則三棱錐E-ABD的表面積為工=3s4BD+SAABE+——=---

A222

設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則由等體積法知公」以80。￡=-=-xS1Xr=

3636

24-2石

解得『=匕8,所以內(nèi)切球的表面積$2=4w兀?

63

故答案為：上氈兀

3

14.°4

1-sinBsinA

【分析】根據(jù)二倍角公式可得即cosA=sin。=cos1-c\,根據(jù)角的范圍

cosBcosA、

7T7TV2

可得。一/=一，B=——24,0<^r故Me=「由正弦定理、同角三角函數(shù)的

2

’227

29

基本關(guān)系及二倍角公式可得=4(1+cos4)------------5—-12,換元，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的

a2+2c21+cosA

性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可得上跡l-cos242sirfAsin4

,故

cosBsin2/2sinAcosAcosA

cos4—sin5cos/=sin/cos5，

BPcos4=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=cos-C

2

因?yàn)镃e(O,7T),所以

因?yàn)?e(O,7i),所以/=]-C或-4=]一C,

即C+N=巴或C-4=巴，即2=區(qū)或C—/=巴.

2222

7Tl-sin5

若B=3,則cos5=0,則無意義’故cr?

cosB

IT7T

又/+3+。=兀，所以2/+8=—，即8=—-2A.

22

TTTTTT冗

因?yàn)橐环剿訡>5,0</<5，0<5<-,

八,兀

0<A<—

2兀J7

所以,解得0</<三，故cos/e—,1.

7142

0<><—7

2

b2sin2B

由正弦定理可得

+2c2sin2A+2sin2C

答案第8頁，共16頁

_sin?B_sin2B*

短"叫>尸,+2CK

sin274+2cos2Asin2^4+2cos2A

Ceos?/-1)2_4cos4A-4cos2A+1

1+cos2A1+cos2A

4(1+COS2^)2-12(1+COS2T4)4-9

1+cos2A

=4(1+COS2^)+————12,

'>1+cos2J

令7=1+cos?/e2],則^~-=4/1+--12.

【2)a1+2c2t

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得/⑺在11,2J上單調(diào)遞增,

所以"唱即/

故答案為：(o,￡|.

71

15.(1)B=-；(2)S=—aG

4

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡即得B的值；（2）先根據(jù)已

3

知求出不＜。＜2,再求。43c面積的取值范圍.

【詳解】解：（1）a=Z?cosC+V3csin5,即

可得sin/=sin5cosc+V5sinCsin5,

*.*sinA=sin(5+C)=sin5cosc+cos5sinC=sin5cosC+^fsinCsinB

cosBsinC=6sinCsinB

Vsin^>0

cos3=V3sin5

：.tanB=—

3

答案第9頁，共16頁

由0<3〈"，可得B=5；

0

(2)若/4BC為銳角三角形，且,=百，由余弦定理可得

b—J。2+3—2a->/3cos—=Ja。-3a+3,

由三角形/8C為銳角三角形，

可得力—3a+3+a?>3且a?_3Q+3+3>/

3

解得<。<2,

2

f/口C百.萬3(拒坐>\

可得44BC面積S=-sm7=e--，^-

264182,

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的取值范圍的求法，意

在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

16.(1)0.03

(2)84

⑶總平均數(shù)是62,總方差是37.

【分析】(1)根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；

(2)由頻率分布直方圖求第75百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解；

(3)根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】(1)?.?每組小矩形的面積之和為1,

(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)x10=1,

/.a=0.030.

(2)成績落在［40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)x10=0.65,

落在［40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)x10=0.9,

設(shè)第75百分位數(shù)為冽，

由065+0—80)x0.025=0.75,得切=84,故第75百分位數(shù)為84；

(3)由圖可知，成績?cè)冢?0,60)的市民人數(shù)為100x0.1=10,

成績?cè)冢?0,70)的市民人數(shù)為100x0.2=20,

10x54+66x20"

故彳=--------------------=62.

10+20

所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62,

答案第10頁，共16頁

222

5=iQ^2~[10x(54-62)+10x7+20x(66-62)+20x4]=37,

所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62,總方差是37.

3

17.(1)-

⑵袁

7后

(3)存在,

【分析】(1)利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)/(x)即可.

(2)求出函數(shù)/(x)的表達(dá)式,利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可.

(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

3x.3x\x.x3xx.3x.x

【詳解】(1)a-b=cos—,sm——?Jcos—,-sin—=cos—cos——sin―sin—

2?21122)2222

=cos(5+5)=cos2x,

當(dāng)加=0時(shí)，/(x)=4Z-5+l=cos2x+l,

LI//兀、Ac兀11兀13

則八%尸°S[2X7J+1=COS§+1=5；

/、兀兀

(2)xG-y,

cosx>0,

tz+ft=V2+2cos2x=V4COS2X=2COSX,

貝!Jf(x)=cos~cos-^+1=2cos2x-2mcosx,

令/=cosx,則L/Wl,

2

7先

則y=2t2-2mt,對(duì)稱軸，=彳，

①當(dāng)％<J_,即加<1時(shí)，

22

當(dāng)，=：1時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值》=萬1-冽=-1,得加二；3(舍),

②當(dāng)即1K加42時(shí)，

22

答案第11頁，共16頁

2

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值^=-匕=-1,得",=逝或一百(舍去),

22

③當(dāng)胃■＞1,即加＞2時(shí)，

3

當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值＞=2-2加=-1,得加二,(舍)，

綜上：若/(%)的最小值為-1,則實(shí)數(shù)行近.

//、人2c242c/口3m_p.4m

(3)令g%=2cosx-2mcosxH-----m=0,得cosx=——或,

―4977

:.方程cosx=￡或手在xe-襯上有四個(gè)不同的實(shí)根，

3m1772/7

V2<——<1----<m<—

763

V1

則24my7727，則逑-J,

<—<1,解得■----<m<—

3m8464

加

—4mw0

7

7r)7?

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

L64J

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)通過線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可；

(2)通過圖形關(guān)系證明NC18。，F(xiàn)O1AC,然后得到線面垂直，再證明面面垂直即可;

(3)首先通過幾何圖形關(guān)系得到/口。即為平面4EF與平面4BCD的夾角，得到角度后,

通過基本不等式或三元均值不等式轉(zhuǎn)化證明即可.

【詳解】(1)因?yàn)锳DE尸為菱形，所以BD//EF,

因?yàn)槿势矫?EF,E尸u平面4EF,所以&)//平面/EF,

又因?yàn)锳Du平面/BCO,平面/跖c平面N2CD=/,所以BD//1.

(2)連接/C交AD于點(diǎn)。，連接尸0,

因?yàn)?BCD為菱形，所以4C/BD,。為/C中點(diǎn)，

因?yàn)?=FC,所以尸0L/C,

又因?yàn)?D,尸Ou平面RDE尸，BDcFO=O,所以AC_L平面2Z歷戶，

答案第12頁，共16頁

因?yàn)閆Cu平面/BCD,所以平面平面/BCZ)

7T

(3)因?yàn)?BCZ)為麥形，AB=2,Z.BAD=—,

所以8。=2,05=1,0A=43

又因?yàn)锳D斯為菱形，所以BF=BD=2,

因?yàn)樽?=&，F(xiàn)O1AC,所以O(shè)F=NFA2-OA?=拒,

所以05+0產(chǎn)=4=2尸2,所以。尸，。8,即8。，。尸，

又因?yàn)锽D_LO4,04。bu平面尸0AC\OF=O,所以5。1平面尸。4,

又由(1)知5。///,所以/_L平面廠。力,

所以NE4O即為平面AEF與平面ABCD的夾角,

在直角AFOA中，OF-OA=,所以/-FA0=—,

7T

所以平面AEF與平面ABCD夾角的大小為二，

4

一、?冽cos?。=sin?！?cos。fmcos2OsmO=sin20-^sin0cos0

因?yàn)椋?2.，所以,22.，

“sin0=cos3+tsin3［幾sin0cos0=cos夕+，sin9cos。

兩式相加得，mcos2^sin^+nsin20cos3=1，

下面證明：cos?Osin■①；sidecos。式名」②；且等號(hào)不同時(shí)取;

99

法一：基本不等式

、1_1_Tsin20-K)OS20YTsin20-KOS20

因?yàn)?cos?Osin?！?cos?。，sin?61cos?。J〔sin?6

^tan20+1)3(tan?6+1)(tan?6+1j^an20+l^an40+2tan20+1)

tan20tan20tan26

tan60+3tan40+3tan26+1tan4分3tan2分-^-：——F3

tan26tan2<9

答案第13頁，共16頁

+4tan26?+—^+―^2J4tan26?x11127

H----=----

="吟)tan2e4\tan2044

當(dāng)且僅當(dāng)tan2e=1時(shí)取等號(hào)，所以cos26sin6W友,

29

同理sidpcosew友（當(dāng)且僅當(dāng)tan2g=2取等號(hào)）

9

所以1=MCOS2Osin0+〃sin26cos+n),BPm+n>^^~,

9v72

所以加+〃>土gtana

2

法二：三元均值不等式