2025屆天津市濱海新區(qū)大港油田一中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆天津市濱海新區(qū)大港油田一中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則（）A.6 B.13C.21 D.313．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.4．如圖，已知最底層正方體的棱長為a，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.5．為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A.10種 B.12種C.16種 D.24種6．圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A. B.C. D.7．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的最大值為（）A. B.C. D.8．若數(shù)列{an}滿足……，則稱數(shù)列{an}為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增”數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn滿足，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.（-∞，1）C. D.（1，+∞）9．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.1410．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，焦距，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.11．如圖，樣本和分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）AB.C.D.12．已知平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B.C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長為6，E為棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的點(diǎn)，且，則___________.14．已知命題恒成立；，若p，均為真，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________15．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）若直線與橢圓相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．在軸是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由16．某射箭運(yùn)動(dòng)員在一次射箭訓(xùn)練中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，則命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示的四棱錐的底面是一個(gè)等腰梯形，，且，是△的中線，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)（1）證明：∥平面（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值（3）在（2）條件下，求點(diǎn)D到平面的距離18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：20．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓M：＝1的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，＝0.21．（12分）設(shè)命題方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線；命題，，若“”為假命題，“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時(shí)要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、C【解析】令即得解.【詳解】解：令得.故選：C3、B【解析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B4、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個(gè)正方體的棱長為，其體積為，上面第二個(gè)正方體的棱長為，其體積為，上面第三個(gè)正方體的棱長為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.5、A【解析】對(duì)中心組學(xué)習(xí)所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動(dòng)有2種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動(dòng)有1種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動(dòng)有1種方法，則此時(shí)共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個(gè)階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A6、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C.7、B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)8、A【解析】根據(jù),利用遞推公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.再根據(jù)新定義的意義,代入解不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)樗援?dāng)時(shí),兩式相減可得,即,所以數(shù)列是以公比的等比數(shù)列當(dāng)時(shí),所以，則由“差半遞增”數(shù)列的定義可知化簡可得解不等式可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：A.9、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點(diǎn)，得到直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點(diǎn)，可得直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.11、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.12、B【解析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出【詳解】∵，∴，又平面的一個(gè)法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故答案為：1814、【解析】根據(jù)題意得到命題為真命題，為假命題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，命題，均為真命題，可得命題為真命題，為假命題，由命題恒成立，可得，解得；又由命題為假命題，可得，解得，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.15、（1），；（2）存在定點(diǎn)，為【解析】（1）利用，，求解方程（2）設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立利用判別式等于0得，并求得切點(diǎn)坐標(biāo)及，假設(shè)存在點(diǎn)，利用化簡求值【詳解】（1）由已知得，，，，橢圓的方程為，離心率為；（2）在軸存在定點(diǎn)，為使，證明：設(shè)直線方程為代入得，化簡得由，得，，設(shè)，則，，則，設(shè)，則，則假設(shè)存在點(diǎn)解得所以在軸存在定點(diǎn)使【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查切線的應(yīng)用，利用判別式等于0得坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,是中檔題16、【解析】直接利用求平均數(shù)的公式即可求解.【詳解】由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得平面、平面，再根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)為，連接，證明出平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）利用等體積法，求D到平面的距離【小問1詳解】連接、，由、分別是棱、的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面又，且，∴且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則平面又，可得平面平面．又平面∴平面【小問2詳解】由知：，又平面平面，平面平面，平面，∴平面取的中點(diǎn)為，連接、，由且，故四邊形為平行四邊形，故，則△為等邊三角形，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易知，，所以、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得設(shè)平面的法向量為，則，令，得設(shè)平面與平面所成的銳二面角為．則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為【小問3詳解】由（2）知：平面，則是三棱錐的高且，四邊形為平行四邊形，又，即為菱形，∴，而，則，且，∴，故.又，由上易知：△為等腰三角形且，∴，則D到平面的距離.18、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.19、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)可得，從而可得；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，從而可得，又，即可證明不等式成立.【小問1詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，∴，；【小問2詳解】證明：因?yàn)椋?，∴∴，又∵，∴，所?0、（1）y2＝4x（2）m＝﹣4或m＝0【解析】（1）由橢圓的右焦點(diǎn)得出的值，進(jìn)而得出拋物線C的方程；（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積公式證明即可【小問1詳解】由題意，橢圓＝1的右焦點(diǎn)為（1，0），拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為（，0），所以，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x；【小問2詳解】因?yàn)橹本€y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，可得x2+2（m﹣2）x+m2＝0，由Δ＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝﹣2m+4，x1x2＝m2，又因?yàn)?，又＝（x1，y1），＝（x2，y2），可得x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝m2+4m＝0，解得m＝﹣4＜1或m＝0＜1，故m＝﹣4或m＝0.21、【解析】求出當(dāng)命題、分別為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，分析可知、中一真一假，分真假、假真兩種情況討論，求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則，即，解得，若為真命題，則，解得