福建省漳州第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析_第1頁
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福建省漳州第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線C:(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,的C的離心率為()A. B.C.2 D.2.若將雙曲線繞其對(duì)稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象,且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,則雙曲線C的離心率為()A. B.C.2 D.3.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B.C. D.4.已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(2)=2,,則f(x)>x的解集是()A. B.C. D.5.直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn),若點(diǎn)為弦的中點(diǎn),設(shè)為直線的斜率,為直線的斜率,則的值為()A. B.C. D.6.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行,若數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的值為()A. B.C. D.7.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是,,直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,在軸上的投影恰好是,則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.8.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A. B.C. D.9.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,則A.-6 B.-4C.-2 D.210.已知直線過點(diǎn),且與直線垂直,則直線的方程是()A. B.C. D.11.為調(diào)查學(xué)生的課外閱讀情況,學(xué)校從高二年級(jí)四個(gè)班的182人中隨機(jī)抽取30人了解情況,若用系統(tǒng)抽樣的方法,則抽樣的間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)數(shù)分別為()A.6,2 B.2,3C.2,60 D.60,212.已知△的頂點(diǎn)B,C在橢圓上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△的周長(zhǎng)是()A. B.C.8 D.16二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年—325年),大約100年后,阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線,并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),比如:從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后,反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸:反之,平行于拋物線對(duì)稱軸的光線,經(jīng)拋物線反射后,反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線,經(jīng)過點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線,經(jīng)C上點(diǎn)P反射后交C于點(diǎn)Q,則PQ的長(zhǎng)度為______.14.已知,求_____________.15.橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為,,P為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),、的中點(diǎn)分別為M、N,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4,則的周長(zhǎng)是_____16.若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直,則實(shí)數(shù)m的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),橢圓C的離心率為.(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P,若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A,B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸,且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為,求直線AP的方程.18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}的前4項(xiàng)和為15,且.(1)求{}的通項(xiàng)公式;(2)若,記數(shù)列{}前n項(xiàng)和為,求.19.(12分)已知拋物線C:,過點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線C相交于P,Q兩點(diǎn).(1)設(shè)點(diǎn)B在x軸上,分別記直線PB,QB的斜率為.若,求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M,N兩點(diǎn),求的值.20.(12分)求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1),焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)焦點(diǎn)在軸上,且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程21.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系上,已知圓的直徑,定直線到圓心的距離為,且直線垂直于直線,點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn),直線、分別交與、兩點(diǎn)(1)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程;(2)若,求以為直徑的圓方程;(3)當(dāng)點(diǎn)變化時(shí),以為直徑的圓是否過圓內(nèi)的一定點(diǎn),若過定點(diǎn),請(qǐng)求出定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由22.(10分)已知雙曲線:的兩條漸近線所成的銳角為且點(diǎn)是上一點(diǎn)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過點(diǎn)的直線與交于,兩點(diǎn),點(diǎn)能否為線段的中點(diǎn)?并說明理由

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程,根據(jù)直線和圓相交弦長(zhǎng)可得圓心到直線的距離,進(jìn)而可得,結(jié)合,可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為,即,被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,所以圓心到直線的距離為,,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點(diǎn)到直線距離等基本知識(shí),考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于一般題目.2、C【解析】由題意,可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°,再確定參數(shù)的正負(fù)即可求解.【詳解】雙曲線,令,則,顯然,則一條漸近線方程為,繞其對(duì)稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象,則漸近線就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標(biāo)軸重合,故漸近線方程的傾斜角為120°,即,該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,可知,所以,所以.故選:C3、B【解析】對(duì)A,根據(jù)當(dāng)時(shí),的值即可判斷;對(duì)B,根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷;對(duì)C,根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷;對(duì)D,根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對(duì)A,當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,的定義域?yàn)?,且,故為奇函?shù);,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,即,又,,故存在,故在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,故B正確;對(duì)C,為奇函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)D,函數(shù)在上不單調(diào),故D錯(cuò)誤.故選:B.4、D【解析】構(gòu)造,結(jié)合已知有在R上遞增且,原不等式等價(jià)于,利用單調(diào)性求解集.【詳解】令,由題設(shè)知:,即在R上遞增,又,所以f(x)>x等價(jià)于,即.故選:D5、A【解析】設(shè)點(diǎn)與的坐標(biāo),進(jìn)而可表示與,再結(jié)合兩點(diǎn)在橢圓上,可得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)與,則,,所以,,又點(diǎn)與在橢圓上,所以,,作差可得,即,所以,故選:A.6、A【解析】函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行,利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出,轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)相消法求和即可【詳解】解:∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行,由求導(dǎo)得:,由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得:,可得,∴,所以,∴數(shù)列的通項(xiàng)為,所以數(shù)列的前項(xiàng)的和即為,則利用裂項(xiàng)相消法可以得到:所以數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為:.故選:A.7、D【解析】根據(jù)題意的到,,代入到雙曲線方程,解得,即,則,即,即,求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點(diǎn)為,∵直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)在軸上的投影恰好是,∴,且,∴,將代入到雙曲線方程,可得,解得,即,則,即,即,解得(舍負(fù)),故.故選:D.8、C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上,且,所以,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:C9、A【解析】由已知得解得故選A考點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式10、D【解析】由題意設(shè)直線方程為,然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,從而可求出直線方程【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直,所以設(shè)直線方程為,因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以,得,所以直線方程為,故選:D11、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人,除以,商余,故抽樣的間隔為,需要隨機(jī)剔除人.故選:A.12、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長(zhǎng)是,故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、####【解析】根據(jù)題意,求得點(diǎn)以及拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo),即可求得所在直線方程,聯(lián)立其與拋物線方程,求得點(diǎn)的坐標(biāo),即可求得.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線交拋物線于點(diǎn),故對(duì),令,則可得,也即的坐標(biāo)為,又拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故可得直線方程為,聯(lián)立拋物線方程可得:,,解得或,將代入,可得,即的坐標(biāo)為,則.故答案為:.14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】,所以,故答案為:.15、【解析】先證明則四邊形OMPN是平行四邊形,進(jìn)而根據(jù)橢圓定義求出a,再求出c,最后求出答案.【詳解】因?yàn)镸,O,N分別為的中點(diǎn),所以,則四邊形OMPN是平行四邊形,所以,由四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4可知,,即,則,于是的周長(zhǎng)是.故答案為:.16、1【解析】由兩條直線垂直可知,進(jìn)而解得答案即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直,所以.故答案為:1.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程,解之即可得到結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)直線AP的斜率為k,聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo),同理可得B點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橫坐標(biāo)之差為,可得直線方程.【詳解】(Ⅰ)由拋物線方程可得焦點(diǎn)為,則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為,即.由,解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是;(Ⅱ)由題可知點(diǎn),設(shè)直線AP的斜率為k,由題意知,直線BP的斜率為,設(shè),,直線AP的方程為,即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P,A為直線AP與橢圓C的交點(diǎn),∴,即.把換成,得.∴,解得,當(dāng)時(shí),直線BP的方程為,經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切,不符合題意;當(dāng)時(shí),直線BP的方程為,符合題意.∴直線AP得方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:兩條直線關(guān)于直線對(duì)稱,兩直線的傾斜角互補(bǔ),斜率互為相反數(shù).18、(1)(2)【解析】(1)設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出方程組,求得的值,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由,結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減求和,即可求解.小問1詳解】解:設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為,顯然不為1,因?yàn)榈缺葦?shù)列前4項(xiàng)和為且,可得,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解:由,所以,可得,兩式相減得,所以.19、(1)(2)【解析】(1)直線的方程為,其中,聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件可求得點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線的方程為,利用傾斜角定義知,,聯(lián)立直線與拋物線方程,利用弦長(zhǎng)公式求得,進(jìn)而得解.小問1詳解】由題意,直線的方程為,其中.設(shè),聯(lián)立,消去得..,,即.,即.,,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】由題意,直線的方程為,其中,為傾斜角,則,設(shè).聯(lián)立,消去得...20、(1);(2)或【解析】(1)設(shè)方程為(,),即得解;(2)由題得,即得解.【詳解】(1)解:由題意,設(shè)方程為(,),,,,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(2)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2,,∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或21、(1)或(2)(3)過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】(1)對(duì)所求直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,在所求直線斜率不存在時(shí),直接驗(yàn)證直線與圓相切;在所求直線斜率存在時(shí),設(shè)所求直線方程為,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式,求出的值,綜合可得出所求直線的方程;(2)分點(diǎn)在軸上方、點(diǎn)在軸下方兩種情況討論,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),可得出所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑,即可得出所求圓的方程;(3)設(shè)直線的方程為,其中,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),可求得以線段為直徑的圓的方程,并化簡(jiǎn)圓的方程,可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解:易知圓的方程為,圓心為原點(diǎn),半徑為,若所求直線的斜率不存在,則所求直線的方程為,此時(shí)直線與圓相切,合乎題意,若所求直線的斜率存在,設(shè)所求直線的方程為,即,由已知可得,解得,此時(shí)所求直線的方程為.綜上所述,過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.【小問2詳解】解:易知直線的方程為,、,若點(diǎn)在軸上方,則直線的方程為,在直線的方程中,令,可得,即點(diǎn),直線的方程為,在直線的方程中,令,可得,即點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,且,此時(shí),所求圓的方程為;若點(diǎn)在軸下方,同理可求得所求圓的方程為.綜上所述,以為直徑的圓方程為.【小問3詳解】解:不妨設(shè)直線的方程為,其中,在直線的方程中,令,可得,即點(diǎn),因?yàn)椋瑒t直線的方程為,在直線的方程中,令,可得,即點(diǎn),線段中點(diǎn)為,,所以,以線段為直徑的圓的方程為,即,由,解得,因此,當(dāng)點(diǎn)變化時(shí),以為直徑的圓是否過圓內(nèi)的定點(diǎn).22、(1);(2)點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn),理由見解析.【解析】(1)由漸近線夾角求得一個(gè)斜率,再代入點(diǎn)的坐標(biāo)

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