黑龍江省大慶市實驗中學2025屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題含解析

黑龍江省大慶市實驗中學2025屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B.C. D.2．已知方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.3．已知等差數(shù)列，若，，則（）A.1 B.C. D.34．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.5．直線過雙曲線：的右焦點，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點，若∠OPQ＝90°（O為坐標原點），則OPQ內切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.6．某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時，空氣質量為優(yōu)；時，空氣質量為良；時，空氣質量為輕微污染，該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.7．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.8．已知拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.9．已知，，，則點C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.10．已知橢圓的右焦點為F，短軸的一個端點為P，直線與橢圓相交于A、B兩點.若，點P到直線l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項公式是（）A. B.C. D.12．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到直線的距離為______.14．已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是______15．在單位正方體中，點E為AD的中點，過點B，E，的平面截該正方體所得的截面面積為______.16．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：（）的焦點為，點在上，點在的內側，且的最小值為（1）求的方程；（2）過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，直線，（為坐標原點）分別交直線于點，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值18．（12分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個數(shù)構成一個新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構成首項和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項和.19．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應用在手機、軍工、航天等多個領域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調研與統(tǒng)計，某公司七年時間里在芯片技術上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵科技創(chuàng)新,當研發(fā)技術投入不少于16億元時,國家給予公司補貼5億元,預測當芯片的研發(fā)投入為17億元時公司的實際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,．參考數(shù)據(jù),20．（12分）已知二次函數(shù).（1）若時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）解關于x的不等式（其中）.21．（12分）已知圓：，直線：．圓與圓關于直線對稱（1）求圓的方程；（2）點是圓上的動點，過點作圓的切線，切點分別為、．求四邊形面積的取值范圍22．（10分）已知橢圓F：經(jīng)過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標準方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標，若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由a1＝3，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項，推導出數(shù)列{an}從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2022【詳解】解：∵數(shù)列{an}滿足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，a58，4，a72，a81，a9＝3a8+1＝4，a102，a111，∴數(shù)列{an}從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4故選：A2、A【解析】根據(jù)雙曲線標準方程的性質，列出關于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質：，解的或，故選：A3、C【解析】利用等差數(shù)列的通項公式進行求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得.故選：C.4、B【解析】根據(jù)正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.5、B【解析】根據(jù)漸近線的對稱性，結合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內切圓半徑公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線標準方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因為∠OPQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設OPQ內切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點睛】關鍵點睛：利用三角形內切圓的性質是解題的關鍵.6、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率，故選：A【點睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.7、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標準方程；2．雙曲線的簡單幾何性質8、D【解析】把點代入拋物線方程求出，再化成標準方程可得解.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，方程化成標準方程為，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.9、D【解析】應用空間向量的坐標運算求在上投影長及的模長，再應用勾股定理求點C到直線AB的距離.【詳解】因為，，所以設點C到直線AB的距離為d，則故選：D10、D【解析】設橢圓的左焦點為，由題可得，由點P到直線l的距離不小于可得，進而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【詳解】設橢圓的左焦點為，P為短軸的上端點，連接，如圖所示：由橢圓的對稱性可知，A，B關于原點對稱，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點P到直線l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.11、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項公式.【詳解】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為，所以可以看成一元二次方程的兩個根，因為，所以，所以，解得，所以故選：C【點睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項公式和性質，屬于基礎題.12、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】點到直線的距離為.故答案為：.14、【解析】先求出兩函數(shù)在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結果【詳解】由，得，當時，，所以在上單調遞減，所以，即，由，得，當時，，所以在上單調遞增，所以，即，因為，，使得，所以，解得，故答案為：15、【解析】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，分析可得四邊形為平行四邊形，則要求的截面就是四邊形，進而可得為菱形，連接、，求出、的長，計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，易得，，則四邊形為平行四邊形，過點，，的截面就是，又由正方體為單位正方體，則，則為菱形，連接、，易得，，則，即要求截面的面積為，故答案為：16、【解析】先對函數(shù)求導判斷其單調性，然后利用單調性求函數(shù)的最小值【詳解】解：由，得，當且僅當時取等號，即取等號，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值0，故答案為：0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求出拋物線的準線，作于由拋物線的定義，可得，從而當且僅當，，三點共線時取得最小，得出答案.（2）設，，設：與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達定理，設出直線的方程分別與直線的方程聯(lián)立得出點的坐標，進一步得到，的表達式，由條件可得答案.【小問1詳解】的準線為：，作于，則，所以，因為點在的內側，所以當且僅當，，三點共線時取得最小值，所以，解得，所以的方程為【小問2詳解】由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結合，知記，，則直線的方程為由得易知，所以同理可得由，可得，即，化簡得，結合，解得18、（1）證明見解析；（2）2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結合“當時，”計算推理作答.(2)插入所有項構成數(shù)列，，再確定數(shù)列的前50項中含有數(shù)列和的項數(shù)計算作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數(shù)列是以2為首項，2為公式的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知，，即，插入的所有項構成數(shù)列，，數(shù)列中前插入數(shù)列的項數(shù)為：，而前插入數(shù)列的項數(shù)為45，因此，數(shù)列的前50項中包含數(shù)列前9項，數(shù)列前41項，所以.19、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計算即可(2)代入回歸直線計算即可【小問1詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因為,所以所以y關于x的線性回歸方程為【小問2詳解】當時,億元,此時公司的實際收益的預測值為億元20、（1）（2）答案見解析【解析】(1)當時將原不等式變形為，根據(jù)基本不等式計算即可；(2)將原不等式化為，求出參數(shù)a分別取值、、時的解集.【小問1詳解】不等式即為：，當時，不等式可變形為：，因為，當且僅當時取等號，所以，所以實數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】不等式，即，等價于，轉化為；當時，因為，所以不等式的解集為；當時，因為，所以不等式的解集為；當時，因為，所以不等式的解集為；綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.21、（1）（2）【解析】（1）圓關于直線對稱，半徑不變，只需求出圓心對稱的坐標即可.（2）將四邊形面積分成兩個全等的直角三角形，利用直角三角形的性質，一條直角邊不變時，斜邊與另外一條直角邊的大小成正相關，從而得到面積的最小值與最大值.【小問1詳解】由題可知的圓心為，圓的半徑與之相同，圓心與之關于對稱，設的圓心為，故可根據(jù)中點在對稱的直線上得到①，根據(jù)斜率相乘為-1得到②，聯(lián)立①②可得，所以圓心坐標為，且半徑為，故的方程為【小問2詳解】連接，將四邊形分割成兩個全等的直角三角形，所以有，四邊形面積的范圍可轉化為MP長度的范圍，在中，根據(jù)勾股定理可知，因為半徑長度不變，所以最大時最大；所以最小時最?。划嫵鋈缦聢D，當動點P移動至在時面積最小，時面積最大；設點P的坐標為，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以22、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設，，，結合條件即求；（2）由題可設直線方程，利用韋達定理法可得，再結合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的