福建省平潭縣新世紀(jì)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

福建省平潭縣新世紀(jì)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．直線的一個(gè)方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.6C.7 D.85．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點(diǎn)E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）A.當(dāng)x增大時(shí)，θ先增大后減小 B.當(dāng)x增大時(shí)，θ先減小后增大C.當(dāng)d增大時(shí)，θ先增大后減小 D.當(dāng)d增大時(shí)，θ先減小后增大6．已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則（）A.6 B.13C.21 D.317．若點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值 B.函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值C.函數(shù)的極大值為0，無(wú)極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無(wú)極大值10．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（）A B.C. D.11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說(shuō)閑話.”在這個(gè)問(wèn)題中，第5個(gè)孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤12．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________14．設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為______.15．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.16．方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)（1）求與所成角的大?。唬?）求與平面所成角的余弦值19．（12分）已知圓與直線（1）若，直線與圓相交與，求弦長(zhǎng)（2）若直線與圓無(wú)公共點(diǎn)求的取值范圍20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.21．（12分）已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,問(wèn)是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）已知點(diǎn)，.（1）求以為直徑的圓的方程；（2）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.2、D【解析】由題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為，求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D3、A【解析】根據(jù)的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A4、B【解析】由得出.【詳解】由可得，故選：B5、C【解析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對(duì)于C，D，當(dāng)x=0時(shí)，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，對(duì)于給定的，如圖，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，當(dāng)在下方時(shí)，，設(shè)，則對(duì)于給定的，為定值，此時(shí)設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí)，，則對(duì)于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對(duì)于給定的，隨的增大而減少，故選：C.6、C【解析】令即得解.【詳解】解：令得.故選：C7、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【詳解】因點(diǎn)在橢圓，則，解得，而橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以橢圓離心率.故選：C8、C【解析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解得，又，，故選：C.9、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的極值.【詳解】的定義域?yàn)椋?，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒(méi)有極小值.故選：A10、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項(xiàng)和為，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A12、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進(jìn)而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個(gè)數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設(shè)因?yàn)榕c軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.14、【解析】設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及求得直線的斜率.【詳解】橢圓，由于在軸上方且直線的斜率存在，所以直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，且，由，消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，，則①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直線的方程為，斜率為.故答案為：15、【解析】依題意，設(shè)所求的雙曲線的方程為.點(diǎn)為該雙曲線上的點(diǎn)，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.16、【解析】由題可得，即求.【詳解】∵方程表示雙曲線，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）令，分和去掉絕對(duì)值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，所以，所以，則.【小問(wèn)2詳解】令，解得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，.18、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可求出異面直線所成角的余弦值，進(jìn)而結(jié)合異面直線成角的范圍即可求出結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可求出求出線面角的正弦值，進(jìn)而結(jié)合線面角的范圍即可求出結(jié)果；【小問(wèn)1詳解】以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，所以，，設(shè)與EF所成角的大小為，則，因?yàn)楫惷嬷本€成角的范圍是，所以與所成角的大小為60°【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，與平面所成角為，因?yàn)?，，所以，，所以，令，得為平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)椋?，所?9、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理求弦長(zhǎng)；（2）由圓心到直線的距離大于半徑列式求解的范圍【詳解】解：（1）圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)（2）若直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑解得或20、（1）極小值為，無(wú)極大值（2）【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出，分別令、，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；(2)利用導(dǎo)數(shù)討論、0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最小值小于0，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，時(shí)，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，此時(shí)不可能有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)0時(shí).令，得，∵在上，，在上，），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.∵有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，即，∴.經(jīng)驗(yàn)證，若，則，且，又，∴有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍是.21、x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】假設(shè)存在，并設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后代入圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到根的關(guān)系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到參數(shù)b的方程求解即可試題解析：設(shè)直線l的方程為y＝x＋b①圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②聯(lián)立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有③因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直線l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0考點(diǎn)：存在性問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】存在性問(wèn)題，首先應(yīng)假設(shè)存在，然后去求解．對(duì)本題來(lái)說(shuō)具體是：設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后分析幾何性質(zhì)得到OA⊥OB即得到關(guān)于參數(shù)b方程求解即可．解該類問(wèn)題最容易出錯(cuò)的的地方是，忽視對(duì)參數(shù)范圍的考慮，即直線方程與圓的方程聯(lián)立求解后應(yīng)得到，即求出的b值必須滿足b的范圍，否則無(wú)解22、(1).(2)或【解析】（1）根據(jù)題意