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2025屆浙江省臺(tái)州市臺(tái)州中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.2.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.63.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.4.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.5.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.7.已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.8.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)9.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.已知,,則()A. B. C. D.12.已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則________.14.設(shè)為正實(shí)數(shù),若則的取值范圍是__________.15.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,再次燒制過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4,經(jīng)過第二次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75;則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為________;經(jīng)過前后兩次燒制后,合格工藝品的件數(shù)為,則隨機(jī)變量的期望為________.16.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則容器體積的最小值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖1,四邊形為直角梯形,,,,,,為線段上一點(diǎn),滿足,為的中點(diǎn),現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2),使平面平面.(1)求證:平面平面;(2)能否在線段上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)如圖,已知在三棱錐中,平面,分別為的中點(diǎn),且.(1)求證:;(2)設(shè)平面與交于點(diǎn),求證:為的中點(diǎn).19.(12分)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:.20.(12分)如圖,三棱錐中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.21.(12分)在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷,得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷價(jià)格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè),求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對(duì)的邊分別為,且,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時(shí),則,;當(dāng)時(shí),,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時(shí),,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時(shí),由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.2、A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,連接,,可知,,同時(shí)易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性,簡(jiǎn)單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點(diǎn)求出,化簡(jiǎn)即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn),所以,,即,解得,因?yàn)?,所以?故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點(diǎn)睛:橢圓的定義:到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡不存在.8、C【解析】
畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.9、D【解析】
先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,又,所以,所以,所以,因?yàn)榈倪f增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對(duì)稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進(jìn)行圖象的平移時(shí),注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.10、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】
分別解出集合然后求并集.【詳解】解:,故選:D【點(diǎn)睛】考查集合的并集運(yùn)算,基礎(chǔ)題.12、B【解析】
分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個(gè);最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理,分類討論,分別求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),代入已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,求得的值.【詳解】設(shè),由,得,所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù),考查復(fù)數(shù)相等的條件,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù),可得,進(jìn)而,有,而,令,得到,再用導(dǎo)數(shù)法求解,【詳解】因?yàn)椋?,所以,所以,所以,令,,所以,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得最大值,又,所以取值范圍是,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題,15、0.380.9【解析】
考慮恰有一件的三種情況直接計(jì)算得到概率,隨機(jī)變量的可能取值為,計(jì)算得到概率,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為:.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為:,,.故隨機(jī)變量的可能取值為,故;;;.故.故答案為:0.38;0.9.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】
一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng),長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為,所以容器體積的最小值為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】
(1)在直角梯形中,根據(jù),,得為等邊三角形,再由余弦定理求得,滿足,得到,再根據(jù)平面平面,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.(2)建立空間直角坐標(biāo)系:假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為,且,,求得平面的一個(gè)法向量,再利用線面角公式求解.【詳解】(1)證明:在直角梯形中,,,因此為等邊三角形,從而,又,由余弦定理得:,∴,即,且折疊后與位置關(guān)系不變,又∵平面平面,且平面平面.∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)∵為等邊三角形,為的中點(diǎn),∴,又∵平面平面,且平面平面,∴平面,取的中點(diǎn),連結(jié),則,從而,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:則,,則,假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為,且,,∵,∴,故,∴,又,該平面的法向量為,,令得,∴,解得或(舍),綜上可知,存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)要做證明,只需證明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥,從而獲得證明【詳解】證明:(1)因?yàn)槠矫?,平面,所?因?yàn)?,所?又因?yàn)椋矫妫矫?,所以平?又因?yàn)槠矫?,所?(2)因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn),所以平面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以∥.又因?yàn)槠矫?,平面,所以∥平?又因?yàn)槠矫?,平面平面,所以∥,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以為的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,是一道容易題.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點(diǎn)的情況,即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點(diǎn)定義可知,,代入不等式化簡(jiǎn)變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn),,所以有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè),所以.①當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.②當(dāng)時(shí),令得,0減極小值增所以,即.又因?yàn)?,,所以在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn),符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題意知,,所以,.要證明,只需證明,只需證明.因?yàn)?,,所?設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).因?yàn)?,不妨設(shè),設(shè),,則,當(dāng)時(shí),,,所以,所以在上是增函數(shù),所以,所以,即.因?yàn)?,所以,所?因?yàn)?,,且在上是減函數(shù),所以,即,所以原命題成立,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,極值點(diǎn)偏移證明不等式成立的應(yīng)用,是高考的??键c(diǎn)和熱點(diǎn),屬于難題.20、證明見解析;證明見解析.【解析】
利用線面平行的判定定理求證即可;為中點(diǎn),為中點(diǎn),可得,,,可知,故為直角三角形,,利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解:證明:為中點(diǎn),為中點(diǎn),,又平面,平面,平面;證明:為中點(diǎn),為中點(diǎn),,又,,則,故為直角三角形,,平面平面,平面平面,,平面,平面,又∵平面,平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)乙同學(xué)正確(2)分布列見解析,【解析】
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