2024-2025學(xué)年江蘇省某中學(xué)高三（上）暑期檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省揚州中學(xué)高三(上)暑期檢測數(shù)學(xué)試卷

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={%|%2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},則ACB=()

A.(—4,1)U(3,4)B.(-4,4)C.(-1,2)U(3,4)D.(1,3)

2.已知函數(shù)f(x)={蓑;若/(久)=8,貝卜的值為()

A.±73B.±姆或2C.-4或2D.8或一2

3.函數(shù)/(%)=；：：：吧在xG[—兀,0)C(0,捫的圖象大致為()

4.函數(shù)/㈤北愛京)m荒無＜2,若對任意打，犯6砍號犯)，都有笠”＜。成立，則實

數(shù)a的取值范圍為()

A.[-4,-1]B.[-4,-2]C.(-5,-1]D.[-5,-4]

5.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為[―1,4],則y=的定義域為()

A.[-5,5]B.(1,1]C.(1,5]D.[-5,|]

6.命題‘勺久6[1,2],%2+仇%—a40”為假命題，貝必的取值范圍為()

A.(—00,1)B.(—oo,0)C.(—oo,/n2+2]D.(—8,仇2+4)

7.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且滿足/(—%)=/(%),/(%)+/(4-%)=0,且當(dāng)％€[0,2]時,/(%)=%2-

4,則"101)=()

A.-3B.-4C.3D.4

8.已知函數(shù)/(%)=今+1—,號，若對任意i有/(/)＜/(1+m%)成立，則實數(shù)6的取值范圍是

()

A.(―8,0]B.[-2,0]C.D.[1+oo)

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二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下面命題正確的是()

A.是的充要條件

B.aa>l"是的充分不必要條件

C.aa^0"是“ab力0”的必要不充分條件

D.”刀22且y22”是“/+/24”的必要不充分條件

10.下列命題中正確的是()

尤2-4-S

A.方巖的最小值是2

1

B.當(dāng)％>1時，x+7T的最小值是3

C.當(dāng)0<x<10時，4x(10—X)的最大值是5

71

D.若正數(shù)久，y滿足；+q=3,貝!|2x+y的最小值為3

xy

11.已知函數(shù)/(久)的定義域為凡其圖象關(guān)于(1,2)中心對稱，若?二譬二雙=2—%,則()

A,"4—5x)：f(5久-2)=]B.f(2)+f(4)=4

4

C.y=f(x+1)-2為奇函數(shù)D.y=f(2+x)+2久為偶函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/'(久)=x(a+，；i)是偶函數(shù)，則實數(shù)a=.

13.已知集合4={x|(久+1)(久一a)WO},B={x|(x+3)(%+2)(%—1)=0},若ACB嗜0,則實數(shù)a的取值范

圍為?

14.記N,={1,2,3，…四}(m6N*),4c表示k個元素的有限集，S(E)表示非空數(shù)集E中所有元素的和，若集合

Mm_k=[S^AkcN^},則M4,3=,若5(時犯2)2817,則m的最小值為_____.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

設(shè)集合力={x\\x-5|<2].B={x|l<x<2m+1].

(1)若ACB=0,求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若“xea”是“久6B”的充分不必要條件，求實數(shù)小的取值范圍.

16.(本小題12分)

隨著4技術(shù)的不斷發(fā)展，人工智能科技在越來越多的領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用.某校在寒假里給學(xué)生推薦了一

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套智能輔導(dǎo)系統(tǒng)，學(xué)生可自愿選擇是否使用該系統(tǒng)完成假期的作業(yè).開學(xué)時進(jìn)行了入學(xué)測試，隨機抽取了100

名學(xué)生統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：

使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)未使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)合計

入學(xué)測試成績優(yōu)秀202040

入學(xué)測試成績不優(yōu)秀402060

合計6040100

(1)判斷是否有95%的把握認(rèn)為入學(xué)測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；

(2)若把這100名學(xué)生按照入學(xué)測試成績是否優(yōu)秀進(jìn)行分層隨機抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2

人,記抽取的2人中入學(xué)測試成績優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

附：%2=（a+b）（c+d）7+c）（b+d），其中n=a+b+c+d.

P（%2>h）0.100.050.0250.010

k02.7063.8415.0246.635

17.(本小題12分)

定義域為R的函數(shù)/0)=/若是奇函數(shù).

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)若存在te(—2,0),使得/(t+3k)+/?—卜2)<。成立，求實數(shù)k的取值范圍.

18.(本小題12分)

在四棱錐P—4BCD中，PA1平面力BCD,底面4BCD為正方形，PA=AB,E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC

上的動點，BF=ABC（O<A<1）.

(1)證明：AE1PC；

(2)求實數(shù)2的值，使得平面2EF與平面PDC所成角的余弦值最大.

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19.(本小題12分)

已知函數(shù)/(x)=(In久產(chǎn)—a(x—1)2,aGR.

(1)當(dāng)a=l時，求/'(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x=1.是/'(久)的極小值點，求a的取值范圍.

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參考答案

1.A

2.C

3.0

4.2

5.B

6.A

7.C

8.B

9.BC

1Q.BCD

11.ACD

12.-1

13.(—CO,—2]U[1,+00)

14.{6,7,8,9}；21

15.解:(1)4={x||x-5|<2]={x|-2<x-5<2}={x|3<x<7},

當(dāng)B=0時，122巾+1,解得rnWO

777>f)

<,解得

{2m+13

綜上，ni的范圍為W1}；

(2)由題得，力是B的真子集，

所以{髭鼠+1，且等號不同時成立,

解得771>3,

所以實數(shù)血的取值范圍為[3,+00).

16.解：(1)

..2_100x(20x20-20x40)2

?X~40x60X40x60

252.778<3.841'

???沒有95%的把握認(rèn)為入學(xué)測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；

(2)由題意可知，運用分層抽樣抽取5人，

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則成績優(yōu)秀的人數(shù)為5x而%=2,

成績不優(yōu)秀的人數(shù)為5*濡k3,

由題意可知，X所有可能取值為0,1,2,

P(x=o)=f}=條

P(X=1)=譬=看

P(X=2)=3=A

故X的分布列為:

X012

331

P

10510

3314

?■?^)=0x-+lx-+2x-=-

17.解：(1)方法一：?."(%)是奇函數(shù)，.?"(0)=啜/=0,解得6=1,

又由f(D=—1)知：展?=—二f"，解得。=2.

此時，/(%)=7一久)=江+1=(2-^+1+2)2^=2+2^+1=一/(")'且f(x)的定義域關(guān)于原點對

稱,

所以/'(X)是奇函數(shù).

故a=2,b=l.

方法二：???/'(x)是奇函數(shù),

—2，+J—2-*+b-2x+b-l+b-2x

???f(x)+/(-%)=2%+i+a2-%+1+a2%+1+a+2+a?2%

??.(_2%+6)(2+a?2久)+(—1+b?2X)(2.2x+a)=0,

即(26-d)-22x+2(ab-2)-2x+2b-a=0恒成立.

—a=0

—2=0'

???a=2,b=l^a=—2,b=—1,

當(dāng){/=_:時，f(x)=二;的定義域為{%|%H0},舍,

_2X+1_2T+1_(_2-。+1/__1+2尢

當(dāng)。=時,/(%)=2%+i+2〃―%)==一/

2,b=12-%+1+2-(2-*+1+2)2%-2+2%+10),

且/(X)的定義域關(guān)于原點對稱，/(%)是奇函數(shù).

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故a=2,b=1.

(2)由(1)知八久)=蕓瑪=-1+/，

則“久)在R上為減函數(shù)，

又/(%)是奇函數(shù)，由/?+3/0+/(>上2)<0得：

22

/(t+3/C)<-/(1-/c)=/(fc-1),

t+3k>/c2—pBPt+1>fc2—3k在tG(—2,0)上有解，

1?■te(—2,0),t+，=—(—t+^<—zj—t-=—2當(dāng)且僅當(dāng)—t=1p即1=-1時等號成立,

■-y=t+，在te(-2,0)上的最大值為—2,

-2>fc2-3k,即(k—l)(k—2)<0,

解得，l<k<2,

k范圍為伙|1<fc<2}.

18.(1)證明：因為P41平面4BCD,且BC,2Bu平面4BCD,

所以P41BC,PA1AB,

因為底面A8CD為正方形，所以BC1AB,

又pan力B=4P4u平面PAB,ABu平面P4B,

所以8cl平面PAB,

又4Eu平面P4B,所以BC1AE,

因為P2=2B,PALAB,且E為線段PB的中點，所以2E1PB,

又PBCBC=B,PBu平面PBC,BCu平面PBC,

所以4E1平面P8C,

因為PCu平面PBC,

所以2E1PC.

(2)解：如圖，分別以4B,AD,4P所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

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(7叱

不妨設(shè)24=AB=AD=1,

11

則B(1,O,O),C(1,1,O),0(0,1,0),P(0,0,l),E(1,0,-),4(0,0,0),

所以前=(0,1,0),荏=&0,1),DC=(1,0,0),PD=(0,l,-l),

設(shè)F(x,y,z),則麗=(x-l,y,z)，

因為麗=4品(0W4W1),

所以O(shè)—l,y,z)=2(0，l，0)，解得F。40)，

所以荏=(1,4,0),

n^-AE=i%1+%=0

設(shè)平面4EF的法向量為再=(刈,月/1),則一2,J

.71],fir—%]十Ayi=U

取yi=—1,則％i=2,zi=—九即可=(4一1,—A),

rt2?DC=々=0

設(shè)平面PC。的法向量為何=3,'2/2)，則

卮,PD=及一=0

取、2=1，則％2=。，Z2=L即卮=(0,1,1),

設(shè)平面4EF與平面尸DC所成角為a,

5舒

4t=2A+|e[1,|],則；1=#一[,

+

所以cosa=￥J1+

因為上+K一鼻2—齊1,當(dāng)且僅當(dāng)a=怖，即t=|時取等號,

所以當(dāng)t=|,即4時，(C0Sa)max=誓

故當(dāng)實數(shù)；I=，時，平面4EF與平面PDC所成角的余弦值取得最大值岑.

19.解：⑴

當(dāng)a=1時，/(%)=^^—2(x—1)=|(lnx-x2+x),

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設(shè)g(%)—In%—%2+%,貝！=5—2%+1=-您+；)?一°,

所以當(dāng)％E(0,1)時，g'Q)>0,g(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)?shù)?(1,+8)時，g'(x)<0應(yīng)(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)汽=1時，g(%)取得極大值g(l)=o,所以g(%)Wg(l)=0,

所以/'(%)<0/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),無增區(qū)間；

(2)

/'(%)=-2a(x—1)=|(lnx—ax2+ax),

設(shè)h(%)=Inx—ax2+ax,則“(%)=~~2ax+a=-;0”+1,

(i)當(dāng)a<0時，二次函數(shù)F(%)=—2ax2+ax+1開口向上，對稱軸為X=彳/=a2+8a,

4

當(dāng)一8Wa<0時，A=a2+8a<0,F(x)>0,h(久)單調(diào)遞增，

因為九⑴=0,所以當(dāng)久6(0,1)時，尸(x)<0J(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)％6(1,+8)時，尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,所以久=1是/'(久)的極小值點.

當(dāng)a<—8時，A=a2+8a>0,又F?)<0尸(1)=1-a>0,

所以存在XoeQ,l),使得尸(久0)=0,所以當(dāng)工€(久0，+