人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)突破訓(xùn)練：圓（解析版）

第二十四章圓（能力提升）

考試時(shí)間：120分鐘

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.下列結(jié)論中，正確的是（）

A.長度相等的兩條弧是等弧B.相等的圓心角所對的弧相等

C.平分弦的直徑垂直于弦D.圓是中心對稱圖形

【答案】D

【分析】利用等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及垂徑定理的知識(shí)分別判斷后即可確定正確

的選項(xiàng).

【解析】A.在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等??；故A錯(cuò)誤；

B.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；故B錯(cuò)誤；

C.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；故C錯(cuò)誤；

D.圓是中心對稱圖形，圓心是圓的對稱中心，故D正確；故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理及其推論，中心對稱圖形等知識(shí)，熟練掌握有

關(guān)性質(zhì)是解答關(guān)鍵.

2、在聯(lián)歡會(huì)上，甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C上，他們在玩搶凳子的

游戲，要在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳，子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最恰當(dāng)?shù)奈恢?/p>

是4ABC的（）

A.三條高的交點(diǎn)B.重心C.內(nèi)心D.外心

【答案】D

【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩

端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上.

【解析】：三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到中間的凳子的距離相等，

凳子應(yīng)放在AABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng).故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是一種

能力，要注意培養(yǎng).想到要使凳子到三個(gè)人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵.

3、如圖，。。的半徑為2,AABC是。。的內(nèi)接三角形，連結(jié)08,0C,若NA4c與NB0C互補(bǔ),

則弦BC的長為（

A.6B.2V3C.2V2D.4

【答案】B

【分析】首先過點(diǎn)0作0DLBC于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理，可求得/B0C

的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得/0BC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案.

【解析】過點(diǎn)0作0DLBC于D,則BC=2BD,

:△ABC內(nèi)接于。0,NBAC與/BOC互補(bǔ)，

ZBOC=2ZA,ZBOC+ZA=180°,ZBOC=120°,

1

V0B=0C,ZOBC=ZOCB=y（180°-ZBOC）=30°,

?O的半徑為2,；.BD=OB-cosNOBC=2x,

2

.\BC=2V3.故答案為2G

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理，圓周角定理.熟練掌握定理是解答關(guān)鍵.

4.如圖，已知等腰AABC,A5=3。，以A3為直徑的圓交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的e。的切線交BC

于點(diǎn)E,若CD=5,CE=4,則e。的半徑是（）

r25

A.3B.4D.—

48

C

D

【答案】D.

【分析】如答圖，連接OD,過點(diǎn)3作于點(diǎn)尸，

?.?AB=5C,ZA=NC.

AO=DO,：.ZA=ZADO.：.ZC=ZADO.：.ODHBC.

；DE是e。的切線，DEJ_O￡>.DEJ_3C.

AZCED=90°,且四邊形DEM是矩形.

VCD=5,CE=4,...由勾股定理，得DE=3.

設(shè)e。的半徑是x,則O3=x,BF=3,OF=x-BE=x-（2x-4）=4-x.

由勾股定理，nOB2=OF2+BF2,即必=32+（4一尤丫，

2525

解得尤=上.’e。的半徑是上.故選D.

88

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；平行的判定和性質(zhì)；矩形的判定和性質(zhì)；勾股定理；方

程思想的應(yīng)用.

5.如圖，將半徑為4c7〃的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）

A.4>/3cmB.26cmC.百cmD.y/2cm

0

Al

【答案】A

【分析】連接AO,過。作ODLAB,交A3于點(diǎn)D,交弦AB與點(diǎn)E,根據(jù)折疊的性質(zhì)及垂徑定理

得到AE=BE,再根據(jù)勾股定理即可求解.

【解析】如圖所示，連接AO,過O作ODLAB,交A3于點(diǎn)D,交弦AB與點(diǎn)E,

折疊后恰好經(jīng)過圓心，?,?OEUDE,

:半徑為4,.-.OE=2,VOD±AB,.-.AE=—AB,

2

在Rt^AOE中，AE=,必2—OE。=2若，AB=2AE=46故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理的應(yīng)用.

6.圖中有兩張型號(hào)完全一樣的折疊式飯桌，將正方形桌面邊上的四個(gè)弓形翻折起來后，就能形成一

個(gè)圓形桌面(可以近似看作正方形的外接圓)，正方形桌面與翻折成圓形桌面的面積之比最接近

()

1

BcD.-

-f-72

【答案】c.

【分析】連接正方形的對角線；根據(jù)圓周角的推論可知是正方形的外接圓的直徑;

設(shè)正方形的邊長為。，則正方形的面積為a?；

根據(jù)正方形的性質(zhì)并利用勾股定理可求正方形的對角線長為yla2+a2=42a，

則圓的半徑為之a(chǎn),所以圓的面積為萬義—a」兀a2,

a'2

所以它們的面積之比為:一=3x0.6366,與C的近似值比較接近；故選C.

1?271

【考點(diǎn)】正方形和圓的有關(guān)性質(zhì)和面積計(jì)算.

7.如圖，正六邊形A8CDE/內(nèi)接于。0,連結(jié)AC,EB,CH=68,則EH的長為（）

A.1273C.6逝+6

【答案】B

【分析】直接利用等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)而得出CO,HO的長即可得出EH的長.

B

【解析】連接CO，:六邊形ABCDEF是正六邊形，.?./BOC=60。，OB=OC,

.?.△OBC是等邊三角形，止匕時(shí)AC_LBE,

VCH=6V3，/.ZOCH=30°,/.2HO=CO由勾股定理解得：CO=12,故OH=6,

貝UE0=0C=12,H0=6,故EH=EO+OH=12+6=18.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，熟練掌握正六邊形性質(zhì)是解答關(guān)鍵.

8、如圖，尸為0。的直徑8A延長線上的一點(diǎn)，PC與。。相切，切點(diǎn)為C,點(diǎn)。是。上一點(diǎn)，連接

PD.已知PC=PD=BC.下列結(jié)論：(1)與。。相切；(2)四邊形PCS。是菱形；(3)PO=AB；

(4)/PDB=12Q°.其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【分析】(1)利用切線的性質(zhì)得出NPCO=90。，進(jìn)而得出△P(%＞絲△P。。(SSS),即可得出/PCO=

ZPDO=90°,得出答案即可；

(2)利用(1)所求得出：ZCPB=ZBPD,進(jìn)而求出△CPBgZXDPB(SAS),即可得出答案；

(3)利用全等三角形的判定得出△PC。0△BCA(ASA),進(jìn)而得出CO=1PO=1AB；

22

(4)利用四邊形尸C8O是菱形，ZCPO=30°,貝！1。2=。8,則/Z)P8=ND8P=30。，求出即可.

【解析】(1)連接CO,DO,與。。相切，切點(diǎn)為C,；.NPCO=90。，

fCO=DO

在△PCO和△尸￡)0中，iPO=PO＞；?△2(%＞咨△尸。0(SSS),：.ZPC0=ZPD0=9Q°,

PC=PD

.??P。與。。相切，故此選項(xiàng)正確；

(2)由(1)得：ZCPB=ZBPD,

'PC=PD

在△CPB和△DPB中，，NCPB=/DPB，，ACPB”ADPB(SAS),

PB=PB

：.BC=BD,：.PC=PD=BC=BD,；.四邊形PC8。是菱形，故此選項(xiàng)正確；

(3)連接AC,-：PC=CB,：.ZCPB=ZCBP,是。。直徑，AZACB=90°,

'NCPO=NCBP

在△PC。和△BCA中，，PC=BC，.,.△PCO^ABCA(A5A),

ZPCO=ZBCA

：.AC=CO,：.AC=CO=AO,：.ZCOA=60°,：.ZCPO=30°,

；.CO=1PO=1AB,：.PO=AB,故止匕選項(xiàng)正確；

22

(4):四邊形PC2。是菱形，NCPO=30。，

：.DP=DB,則/DPB=/DBP=30°,ZPDB=120°,故此選項(xiàng)正確；故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)，熟練利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。尸的圓心坐標(biāo)是（3,a）（a>3）,半徑為3,函數(shù)y=x的圖象被

QP截得的弦AB的長為帆則a的值是（）

【解析】作尸C_Lx軸于C,交A2于￡>,作于E,連結(jié)如圖,

的圓心坐標(biāo)是（3,a）,：.OC=3,PC=a,

把戶3代入y=x得y=3,點(diǎn)坐標(biāo)為（3,3）,CD=3,

...△0C。為等腰直角三角形，二APED也為等腰直角三角形，

'：PE±AB,:.AE=BE=AB=x4，^2a,

在中，尸2=3,PE-J^2_（2^）2=1,

:.PD=?PE=?,：.a=3+42-故選民

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾

股定理和等腰直角三角形的性質(zhì).

10.如圖，。。的直徑A8=2,C是弧AB的中點(diǎn)，AE,BE分別平分和/ABC,以E為圓心,

AE為半徑作扇形E4B,兀取3,則陰影部分的面積為（）

4?后-4B.70-4

【答案】A

【解析】的直徑AB=2,；./C=90。，

；C是弧AB的中點(diǎn)，/.AC=BC'-,.AC=BC,AZCAB=ZCBA=45°,

VAE,BE分另ij平分NBAC和/ABC,AZEAB=ZEBA=22.5°,

.,.ZAEB=180°--(ZBAC+ZCBA)=135°,連接EO,VZEAB=ZEBA,；.EA=EB,

2

VOA=OB,AEO±AB,；.EO為Rt^ABC內(nèi)切圓半徑，

11廠

SAABC=-(AB+AC+BC)EO=-ACBC,EO=忘T,

22

AE2=AO2+EO2=l2+（y[2-1）2=4-272，

扇形EAB的面積=L（4-2回=一4,4ABE的面積=工AB.EO=0-1,

36042

弓形AB的面積=扇形EAB的面積-AABE的面積=22T3，Z,

4

陰影部分的面積=工。的面積-弓形AB的面積=3-（土二電2）=電1-4,故選：A.

2244

AB

O

【考點(diǎn)】扇形，三角形的面積計(jì)算.

11、如圖，在AABC中，NACB=90°,過B,C兩點(diǎn)的。。交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連接E0

并延長交。0于點(diǎn)F,連接BF,CF,若NEDC=135°,CF=2亞，則AE2+BE2的值為()

A.8B.12C.16D.20

【分析】由四邊形BCDE內(nèi)接于。。知/EFC=/ABC=45°,據(jù)此得AC=BC,由EF是00的直徑

知/EBF=NECF=NACB=90°及NBCF=NACE,再根據(jù)四邊形BECF是。O的內(nèi)接四邊形知/

AEC=NBFC,從而證4ACE絲△BFC得AE=BF,根據(jù)Rt^ECF是等腰直角三角形知EF2=16,繼

而可得答案.

【解析】：四邊形BCDE內(nèi)接于。O,且NEDC=135。,AZEFC=ZABC=180°-ZEDC=45°,

：NACB=90°,.t△ABC是等腰三角形，，AC=BC,

又；EF是。。的直徑，.-.ZEBF=ZECF=ZACB=90°,AZBCF=ZACE,

:四邊形BECF是。O的內(nèi)接四邊形，??./AEC=/BFC,

.,.△ACE^ABFC(ASA),；.AE=BF,

?；RSECF中，CF=2&、NEFC=45。，,-.EF2=16,

則AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16,故選：c.

【點(diǎn)評】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三

角形的判定與性質(zhì)及勾股定理.

12、如圖，C是以AB為直徑的半圓。上一點(diǎn)，連結(jié)AC,BC,分別以AC,BC為邊向外作正方形

ACDE,BCFG,DE,FG,我C,2C的中點(diǎn)分別是M,N,P,Q.若MP+NQ=14,AC+BC=18,

則AB的長是（）

「90

A.9V2B.—C.13D.16

7

【答案】C.

【分析】如答圖，連接OP、OQ,VDE,FG,我C,8c的中點(diǎn)分別是M,N,P,Q,

.?.點(diǎn)0、P、M三點(diǎn)共線，點(diǎn)0、Q、N三點(diǎn)共線.

VACDE,BCFG是正方形，.-.AE=CD=AC,BG=CF=BC.

設(shè)AB=2r,貝ON=NQ+r：；點(diǎn)、0、M分別是AB、ED的中點(diǎn)，

.,.0M是梯形ABDE的中位線OM=g（4E+3D）=：（A￡+a）+3C）=g（2AC+3C）,即

MP+r=g（2AC+3C）.同理，得NQ+r=g（23C+AC）.兩式相加，得拉尸+NQ+2r=|（AC+BC）

3

.VMP+NQ=14,AC+BC=18,14+2r=]X18n2r=13.故選C.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；垂徑定理；梯形的中位線定理；方程思想、轉(zhuǎn)換思想和整體思想的.應(yīng)用.

D

答圖

二、填空題（每小題3分，共18分）.

13.如圖，一塊直角三角板，8c的斜邊28與量角器的直徑恰好重合，點(diǎn)。對應(yīng)的刻度是58°,則

魚ZACD的度數(shù)為.

【答案】61°.

【分析】如答圖，設(shè)量角器的圓心為點(diǎn)0,

???直角三角板Z6C的斜邊23與量角器的直徑恰好重合，...點(diǎn)C在。0上.

；./BCD和/BOD是同圓中同弧所對的圓周角和圓心角.

?；NBOD=58°,ZBCD=-ZBOD=29°.ZACD=90°—ZBCD=61°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

14.如圖，正方形A8CD的邊長為1,分別以頂點(diǎn)A、B、C,。為圓心，1為半徑畫弧，四條弧交于

點(diǎn)、E、F、G、H,則圖中陰影部分的外圍周長為

【答案】一無

3

【分析】連接AF、DF,根據(jù)圓的性質(zhì)：同圓或等圓的半徑相等判斷出4ADF是等邊三角形，再根

據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)求出/BAF=30。，-同理可得弧DE的圓心角是30。，然后求出弧EF的

圓心角是30。，再根據(jù)弧長公式求出弧EF的長，然后根據(jù)對稱性，圖中陰影部分的外圍四條弧都相

等列式計(jì)算即可得解.

【解析】如圖，連接AF、DF,由圓的定義，AD=AF=DF,

所以，4ADF是等邊三角形，

,/ZBAD=90°ZFAD=60°,ZBAF=90°-60°=30°,

同理，弧DE的圓心角是30。，.?.弧EF的圓心角是90°-30°x2=30°,

30^^X]TT

...弧EF的長=------,由對稱性知，圖中陰影部分的外圍四條弧都相等，

1806

所以，圖中陰影部分的外圍周長=5X4=-71.

63

【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，熟記弧長計(jì)算公式是解答關(guān)鍵

15、如圖，AB,是。。的兩條直徑，經(jīng)過點(diǎn)C的。。的切線交的延長線于點(diǎn)E,連接AC、

BD.若8是OE中點(diǎn)，AC=12,則。O半徑為.

c

【答案】4G

【分析】連接C8,根據(jù)點(diǎn)8為0E的中點(diǎn)，EC是。。的切線，可以得到CB=O8,然后根據(jù)A8是

直徑，即可得到NC48的度數(shù)，從而可以得到。。的半徑.

【解析】連接BC,?.,點(diǎn)B為。E的中點(diǎn)，EC是。。的切線，.?.OBnBE,NOCE=90°,

11

：.CB=—OE=OB,：.BC=—AB,

22

是。。的直徑，/.ZACB=90°,'：BC=—AB,；.NBAC=3O°,

2

：AC=12,.?.由勾股定理得：BC=46，即：。8=46，故答案：4G.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，圓周角定理的推論以及解直角三角形,

熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=8,點(diǎn)E,尸分別在邊AD,8C上，且點(diǎn)8,尸關(guān)于過點(diǎn)E的

直線對稱，如果跖與以C。為直徑的圓恰好相切，那么AE=.

【答案】6—A/6；

【分析】由題意易知四邊形AEIB是矩形，設(shè)AE=BI=x,根據(jù)對稱的性質(zhì)得出IF=x,根據(jù)切線定理

得出EH和HF的長度，最后根據(jù)RtAEIF的勾股定理得出答案.

【解析】由題意易知四邊形AEIB是矩形，設(shè)A-E=BI=x,

由切線長定理可知，ED=EH,FC=FH,VB.F關(guān)于EI對稱，

.,.IF=BI=x,ED=EH=8—x,FC=FH=8-2x,EF=16-3x,

在R3EFI中，42+9=(16—3x)2,解得：x=6—逐或x=6+"(舍去)，

.\AE=6-76.

點(diǎn)睛：本題考查切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

17.AABC為半徑為5的。。的內(nèi)接三角形，若弦BC=8,AB=AC,則點(diǎn)A到BC的距離為.

【答案】8或2

【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)三角形ABC為銳角三角形時(shí)，過點(diǎn)A作AH垂直于BC,根據(jù)題意得

到-AH過圓心O,連接OB,在直角三角形OBH中，由OB與BH長，利用勾股定理求出OH的長，

進(jìn)而可求出AH的長；當(dāng)三角形ABC為鈍角三角形時(shí)，同理求出AH的長即可；

【解析】作AHLBC于H,連結(jié)OB,如圖，

VAB=AC,AH_LBC,.\BH=CH=-BC=4,AH必過圓心，即點(diǎn)O在AH上，

2

在RtZ\OBH中，OB=5,BH=4,.*.OH=-BH2=3，

當(dāng)點(diǎn)。在aABC內(nèi)部，如圖1,AH=AO+OH=5+3=8,

當(dāng)點(diǎn)O在AABC內(nèi)部，如圖2,AH=AO-OH=5-3=2,

綜上所述，點(diǎn)A到BC的距離為8或2,

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理及其推論，熟練掌握三角形的外接圓的性質(zhì)和

垂徑定理是解答關(guān)鍵，還要注意分類討論.

18.在直角坐標(biāo)系中，我們將圓心坐標(biāo)?和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖所示，直線l：y=kx+4y/j

與X軸、y軸分別交于A、B,/OA8=30°,點(diǎn)尸在無軸上，OP與/相切，當(dāng)尸在線段OA上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，使得。P成為“整圓”的點(diǎn)尸個(gè)數(shù)是_____個(gè).

K

【答案】6.

【分析】根據(jù)直線的解析式求得。8=46,進(jìn)而求得04==12,根據(jù)切線的性質(zhì)求得PM,AB,根

1

據(jù)NO48=30。，求得PM=—B4,然后根據(jù)“整圓”的定義,即可求得使得。P成為整圓的點(diǎn)尸的坐

2

標(biāo)，從而求得點(diǎn)尸個(gè)數(shù).

【解析】.直線/：y=kx+4y/3y軸分別交于A、B,/.B（0,4月），，。2=4若，

在RtzXAOB中，ZOAB=3Q°,；.0A=.3。8=,3義4J3=12,

?.?。尸與/相切，設(shè)切點(diǎn)為連接PM,則PAUAB,：.PM=-PA,

2

。1P）

設(shè)P（x,0）,：.PA=12-x,工。尸的半徑尸M=^B4=6-Lx,

22

為整數(shù)，PM為整數(shù)，...x可以取0,2,4,6,8,10,6個(gè)數(shù)，

使得。尸成為整圓的點(diǎn)尸個(gè)數(shù)是6.故答案是：6.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題，需要用到圓的切線，一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn),解題關(guān)鍵是得出PM=-PA

2

1

—6---X.

2

三、解答題（共46分）

19、（6分）【閱讀材料】己知，如圖1,在面積為S的AABC中，BC=a,AC=b,AB^c,內(nèi)切。。的

半徑為匚連接。A、OB、OC,△ABC被劃分為三個(gè)小三角形.

VS=SAOBC+SAOAC+SAOAB=—BC?r.+—AC?r+—AB?r=-a?r+—b?r+—c?r=—(a+b+c)r

2222222

.2s

..r=--------

a+b+c

(1)【類比推理】如圖2,若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)，各邊長分

別為AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四邊形的內(nèi)切圓半徑r的值；

(2)【理解應(yīng)用】如圖3,在RtAABC中，內(nèi)切圓。的半徑為r,QO與AABC分別相切于。、E

和尸,己知AZ>=3,BD=2,求r的值.

【答案】(1)r=-----------；(2)1.

a+b+c+d

【分析】(1)已知己給出示例，我們仿照例子，連接04OB,OC,OD,

則四邊形被分為四個(gè)小三角形,且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，

這與題目情形類似.仿照證明過程，廠易得.(2)連接OE、0D、按示例易求出八

【解析】⑴如圖2,連接OA、OB、OC、0D.

S=SAAOB+SABOC+SACOD+SAAOD=-a?r.+—b?r+—c?r+—d*r--—(a+6+c+d)r

22222

.2s

..r=--------

a+b+c

(2)連接OE、OR則四邊形OECb是正方形，OE=EC=CF=FO=r,在中，AC+BC^AB'

(3+r)2+(2+r)2=5；，+5廣6=0解得：尸1(負(fù)根舍去).

【考點(diǎn)】內(nèi)切圓的半徑綜合題

20、(8分)如圖，。是AABC的內(nèi)心，B0的延長線和aABC的外接圓相交于D,連接DC、DA、

OA、OC,四邊形OADC為平行四邊形。(1)求證：△BOC絲4CDA；(2)若AB=2,求陰影部

分的面積。

4兀一3也

【答案】(1)詳見解析；(2)S陰影=9』.

【分析】(1)如圖，利用AABC的內(nèi)心和同弧所對的圓周角相等可證得Nl=/3,利用平行線的性質(zhì)

可證/4=/6,再根據(jù)AAS即可判定ABOC絲ACDA；(2)先判定AABC是等邊三角形，即可得0是4

2

ABC的內(nèi)心也是外心，所以O(shè)A=OB=OC.在RtAOCE中，CE=1,Z0CE=30o,可求得OA=OB=OC=-V3,

3

根據(jù)q_c_c，求出扇形AOB和AAOB的面積即可得求得陰影部分的面積.

。陰影一。扇AOB°AAOB

【解析】(1)證明：是4ABC的內(nèi)心，.\N2=N3,N5=N6,

VZ1=Z2,；./1=/3,由AD〃CO,AD=CO,/.Z4=Z5,/.Z4=Z6,

.,.△BOC^ACDA(AAS)

(2)由(1)得，BC=AC,Z3=Z4=Z6,ZABC=ZACB.\AB=AC

.1△ABC是等邊三角形.,.O是AABC的內(nèi)心也是外心；.OA=OB=OC

設(shè)E為BD與AC的交點(diǎn)，BE垂直平分AC.

在RtZXOCE中，CE=-]AC=]-AB=1,Z0CE=30°,OA=OB=OC=-273.

223

八nc?120〃，2/-21cV34萬-36

\ZA0C=120,S陰影=5扇4。8-SMOB一5、2乂石=----------

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)外心的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；扇形的面積公式.

21、(8分)如圖，。。的直徑AB=26,P是AB上(不與點(diǎn)A、8重合)的任一點(diǎn)，點(diǎn)C、￡)為。。

上的兩點(diǎn)，若NAPD=NBPC,則稱NCP。為直徑A8的“回旋角

(1)若/BPC=/OPC=60。，則/CP。是直徑4B的“回旋角”嗎？并說明理由；

(2)若面的長為舁，求“回旋角”/CP。的度數(shù)；

(3)若直徑A3的“回旋角”為120。，且△PC。的周長為24+13?,直接寫出AP的長.

解：ZCPD是直徑AB的“回旋角”，

理由：?：ZCPD=ZBPC=60°,

：.ZAPD=180°-ZCPD-ZBPC=180°-60°-60°=60°,

NBPC=NAPD,：.ZCPD是直徑AB的“回旋角”；

(2)如圖1,'：AB=26,：.OC=OD=OA=13,

設(shè)NCO￡>="°,

;而的長為馬，1■兀,：.n=45,.?.NCO￡)=45°,

341804

作CELAB交。O于E,連接PE,：.ZBPC=ZOPE,

'：ZCPD為直徑AB的“回旋角”，；.NAPD=NBPC,：./OPE=ZAPD,

'：ZAPD+ZCPD+/BPC=180°,；.ZOPE+ZCPD+ZBPC=180°,

點(diǎn)。，P,E三點(diǎn)共線，AZCED=—ZCOD=22.5°,

2

ZOPE=90°-22.5°=67.5°,Z.ZAPD=ZBPC=67.5°,

：.ZCPD=45°,即：“回旋角”/CP￡>的度數(shù)為45。，

(3)①當(dāng)點(diǎn)P在半徑。4上時(shí)，如圖2,過點(diǎn)C作C交。。于R連接PR尸歹=PC,

同(2)的方法得，點(diǎn)O,P,尸在同一條直線上，

;直徑42的“回旋角''為120°,ZAPD=ZBPC=3Q°,：.ZCPF=60°,

...△PCF是等邊三角形，AZCFD=60°,

連接OC,OD,.-.ZCOD=120°,

過點(diǎn)。作OG_LCD于G,：.CD=2DG,ZDOG=—ZCOD=60°,

2

：.DG=ODsinZDOG=13xsin60°=丑退,

:.CD=mR,

2

：△PCD的周長為24+13?,：.PD+PC=24,

；PC=PF,:.PD+PF=DF=24,

過。作OHIDF于H,：.DH=—DF=12,

2

在RtZ\OH。中，OH=JOD2_DH2=5,

在RtZXOHP中，ZOPH=3Q°,：.OP=10,：.AP=OA-OP=3；

②當(dāng)點(diǎn)尸在半徑03上時(shí)，同①的方法得，BP=3,：.AP^AB-BP=23,

即：滿足條件的AP的長為3或23.

22、（8分）如圖，在RtaACB中，NACB=90。，以AC為直徑作。0,交于點(diǎn)D

（1）若AB=8,ZABC=30°,求。。的半徑；（2）若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)。E,求證：直

線。E是。。的切線；（3）在（1）的條件下，保持RtaACB不動(dòng)，將。。沿直線BC向右平移機(jī)

個(gè)單位長度后得到。。'，當(dāng)。O,與直線AB相切時(shí)，機(jī)=

【解析】：(1)在RtZXABC中，：AB=8,ZABC=30°,

/.AC=/lBsinZABC=8sin30°=4,：.QO的半徑為2；

(2)證明：連接OD,CD,

為。。的直徑，J.CDLAB,：.ZCDB^=90°,

:點(diǎn)E是邊8C的中點(diǎn)，：.DE=CE=—CB,：.ZDCE=ZCDE,

'：OC^OD,：.N0CD=NODC,：.ZACE=ZACD+ZDCE^90°,

/.ZODE=ZODC+ZCDE=90°,：.OD±DE,，直線。E是。。的切線;

(3)連接。0,交AB于憶設(shè)。。，與42相切于G,

連接O'G,則/O，Gb=90。，

:將。。沿直線BC向右平移m個(gè)單位長度后得到。。人

/.OO'//BC,AO=O'G,：.ZAOF=ZACB=90°,

■:NAFO=NO'FG,A(AAS),J.O'F^AF,

「在RtZXAOP中，ZA=60°,AO=2,：.AF=4,OF=2?,

0,F=AF=4,.?.0。'=4+2加，1"=4+2?.故答案為：4+2灰.

23、（8分）問題提出：（1）如圖①，在△A8C中，AB=AC=IO,BC=12,點(diǎn)。是△ABC的外接圓

的圓心，則0B的長為

問題探究：（2）如圖②，已知矩形ABC，A8=4,AZ）=6,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，以8C為直徑作半

圓。，點(diǎn)尸為半圓。上一動(dòng)點(diǎn)，求E、尸之間的最大距離；

問題解決：（3）某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABC。和弦C8與其所對的劣弧場

地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口。到前上的一點(diǎn)P修建一條筆直的小路OP.已知AO〃BC,ZADB

=45。，BD=120&米,8c=160米，過弦BC的中點(diǎn)E作EF1BC交標(biāo)于點(diǎn)F,又測得斯=40米.修

建小路平均每米需要40元（小路寬度不計(jì)），不考慮其他因素，請你根據(jù)以上信息，幫助果園主人

計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多少元?

:點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心，AB=AC,

：.AK±BC,BJ<=yBC=6>--AK=^AB2-AK2=V102-62=8,

在RtZXBOK中，0停=8e+0殍,設(shè)。8=x,.\x2=62+(8-x)2,

解得x="，.?.。3=尊；故答案為：空.

(2)如圖，連接E0,延長E。交半圓于點(diǎn)P,可求出此時(shí)￡、尸之間的距離最大,

:在前是任意取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的P，連接OP，P'E,

:.EP=EO+OP=EO+OP,>EP',即EP>EP',

"：AB=4,AD=6,：.EO=4,OP=OC=^C=3>

：.EP=OE+OP=1,:.E、P之間的最大距離為7.

(3)作射線總交BD于點(diǎn)M,

?:BE=CE,EFLBC,血是劣弧，...前所在圓的圓心在射線FE上，

假設(shè)圓心為。，半徑為，，連接。C,則OC=r,OE=r-40,BE=CE=yBC=80>

在RtZXOEC中，/=8。2+(r-40)2,解得：r=100,：.OE=OF-EF=60,

過點(diǎn)。作。GL8C,垂足為G,

?：AD//BC,ZAZ)B=