2024-2025學(xué)年高二年級上冊深圳某中學(xué)第一次月考數(shù)學(xué)試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年高二上深圳中學(xué)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

（本卷共19道題；總分：150分；考試時間：120分鐘）

姓名：成績:

單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知直線/1過4（2,2V3）,B（4,0）兩點，且人工/2,則直線/2的傾斜角為（）

71712TT5TT

A.-B.-C.—D.—

6336

?,—>~>—>t->—>~—>—>~

2.設(shè)x,y€R,向重a=（x,1,1）,b-（1,y,1）,c=（1,-1,1）,且a1c,b||c,貝i]|a+=（）

A.V5B.3C.2V2D.4

3.已知點/（2,3）,2（-2,-1）,若直線/：>=左（x-1）-2與線段有公共點，則左的取值范圍是（）

1

A.（一耳，5）B.(-8,

1

C.(5,+00)D.(-8,-^]U[5,+8)

4.已知單位向量a,b,若對任意實數(shù)x,|xa+b|2竽恒成立，則向量a,b的夾角的取值范圍為（）

A.生竽]B.[J,爭C.4，J]D./,J]

5.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若N/i4B=N/iAD=60°,且小/=3,

則/C的長為（）

A.V5B.2V2C.V14D.V17

6.已知直線：Zi：y=6/x+3與/2關(guān)于直線y=x對稱，b與b：x+2y-l=0平行，貝Ua=（）

11

A.-4B.-C.-2D.2

22

7.過定點/的直線（a+1）x-y+2=0與過定點3的直線x+（a+1）y-4a-2=0交于點尸（尸與/、3不重合），

則面積的最大值為（）

A.V2B.2V2C.2D.4

8.已知四面體中，4D=2,BD=V3,N2CD=120°,直線4D與8C所成的角為60°,且二面角CD

為銳二面角.當(dāng)四面體/BCD的體積最大時，其外接球的表面積為（）

327r167r

A.-----B.-----C.16TTD.8TT

33

第1頁（共16頁）

多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的

得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.已知直線/：而->+24=0和圓O：x2+f=16,則（）

A.直線/恒過定點（2,0）

B.存在后使得直線/與直線/o：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.若后=-1,直線/被圓。截得的弦長為4

（多選）10.已知圓M：^y23-4x+3=0,則下列說法正確的是（）

A.點（4,0）在圓M內(nèi)

B.圓M關(guān)于x+3y-2=0對稱

C.半徑為8

D.直線x—=0與圓M相切

（多選）11.如圖，棱長為2的正方體/BCD-//iCbOi的外接球的球心為O,E、F分別為棱AB、CG的中點，

A.對于任意點G,CM〃平面EFG

B.存在點G,使得平面040,平面EFG

C.直線￡尸被球。截得的弦長為VIU

71

D.過直線EF的平面截球。所得的截面圓面積的最小值為萬

三.填空題（共3小題）

12.已知直線x+@+2=0經(jīng)過兩直線3x+2y-9=0和x-1=0的交點，則k的值等于.

13.若某圓的圓心為點（2,-3）,其中一條直徑的兩個端點恰好落在兩個坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程

是.

14.已知，空間直角坐標(biāo)系xOy中，過點尸（xo,yo,zo）且一個法向量為71=（a,b,c）的平面a的方程為。（x-

xo）+b（y-70）+c（z-zo）=0.經(jīng)過點尸（xo,yo,zo）且方向向量為n=（4,B,C）的直線方程為

—=?=用以上知識解決下面問題：已知平面a的方程為x-2尹2z+l=0,直線/的方程為?=

ADC，

2=二，則直線I與平面a所成角的正弦值為_______________________.

3—1

第2頁（共16頁）

四.解答題(共5小題)

15.已知兩條直線/i：ax+y+a+\=0,I2：2x+(a-1)y+3=0.

(1)求證：直線/i過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；

(2)若0=0,直線/與/2垂直，且,求直線/的方程.

從以下三個條件中選擇一個補充在上面問題中，使?jié)M足條件的直線/有且僅有一條，并作答.

條件①：直線/過坐標(biāo)原點；

條件②：坐標(biāo)原點到直線I的距離為1：

條件③：直線/與/1交點的橫坐標(biāo)為2.

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知圓C：X2+/+2X-4y+F=0,且圓C被直線x-y+3+魚=0截得的弦長為2.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若圓C的切線/在x軸和y軸上的截距相等，求切線/的方程.

第3頁(共16頁)

17.如圖，三棱柱ABC-/b81cl的所有棱長都是2,441，平面A8C,D,E分別是/C,C。的中點.

(1)求證：平面平面NL&D；

(2)求44i和平面/由。所成角的正弦值.

第4頁(共16頁)

18.如圖，棱長為2的正方體4BCD-/iBiCbDi,〃是四邊形。1DCC1內(nèi)異于C,D的動點，平面4V0_L平面BMC.

(1)證明：CMLDM-,

(2)當(dāng)平面M43與平面MCD的夾角的余弦值最大時，求M點到平面NiBCbDi的距離.

第5頁(共16頁)

19.如圖，四棱錐P-/BCD的底面為菱形，^ABC=1,AB=AP=2,底面/BCD,E,尸分別是線段尸8,

產(chǎn)口的中點，G是線段PC上的一點.

(1)若G是線段PC的中點，試證明EG〃平面BID；

(2)已知直線NG與平面4￡尸所成角為45°.

①若△PEG和的面積分別記為Si,S2,試求號的值;

白2

②求三棱錐的P-EFG體積.

第6頁(共16頁)

2024-2025學(xué)年高二上深圳中學(xué)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知直線/1過力(2,2V3),B(4,0)兩點，且則直線/2的傾斜角為()

7Tn2TT5TT

A.B.-cD.

63-T6

解：因為直線/i過4(2,2V3),B(4,0)兩點，可得M=041f=-

又因為所以比1?kb=_四Xkb=_1，可得用2=第，

設(shè)直線/2的傾斜角為a,則加.=承因為蛙(0,n),所以a=*所以直線/2的傾斜角為彳故選：A.

\—>~'->—>—>~―>—>~

2.設(shè)x,jGR,向重a二(%,1,1),b=(1,y,1),c=(L-1,1),且a1c,b||c,則|a+=()

A.V5B.3C.2V2D.4

,->->.T11yl,TT

解：因為a_Lc,故％-1+1=0,故x=0,因為b||c,故］=--=了，故〉=-1,故Q=(0,1,1),b=(L—L1),

1—11

故a+b=(L0,2),故|a+=71?+22=故選：A.

3.已知點4(2,3),5(-2,-1),若直線/：>=左(X-1)-2與線段45有公共點，則左的取值范圍是()

11

A.(一可，5)B.(-8,——)

1

C.(5,+8)D.(-8,--]U[5,+8)

解：直線/：歹=無(x-1)-2恒過點。(1,-2),

點4(2,3),5(-2,-1),若直線/：y=k(x-1)-2與線段4g有公共點，

如圖所示：

所以々zc==S，kcB=_』.當(dāng)k25或k4―"I■時，直線/與線段45有公共點.故選：D.

_>TTT、反TT

4.已知單位向量a,b,若對任意實數(shù)X,|%a+b|2g恒成立，則向量a,b的夾角的取值范圍為()

A.臣苧]B.既，竽[C.序D.吟，

_>->Qf—TT?1

解：依題意，(xa+b)2>-r,所以％2a2+b+乂2即/+2%cos6+7之0恒成立,

第7頁(共16頁)

則A=4cos2。-1W0,解得―先cose4，故之，力的夾角的取值范圍是既，約.故選：B.

5.如圖，在平行六面體48CD-/iBiCbDi中，底面是邊長為1的正方形，若N/i4B=N/i4D=60°,且小/=3,

則/C的長為（）

A.V5B.2V2C.V14D.V17

22

解："：AB+AD-AA1；：.ArC^CAB+AD-AAr)；

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

即41。2=4B.AB+AD'AB-AA^AB+AD'AB+AD'AD-AD'AA1-(AB-AA1+AD-AA1-AA^AA^

=1+0-3X1Xcos60°+0+1-3X1Xcos60°-(3XlXcos600+3XlXcos60°-9)；

ODOD

=1-2+1—2—2—2+9=5,?*?A\C=V5.故選：A.

6.已知直線：/i：)=QX+3與，2關(guān)于直線y=X對稱，，2與，3：x+2)-l=0平行，貝！J4=()

11

A.-4B.-C.-2D.2

22

解：直線/i關(guān)于直線y=x對稱的直線，即是交換x,y位置所得，

即，2：x=ay+3,h，上相互平行，，3：x+2y-1=0的斜率為—4?,.一=—二，故Q=-2.故選：C.

za2

7.過定點4的直線(a+1)%-尹2=0與過定點B的直線x+(a+1)丁-4〃-2=0交于點尸(尸與/、5不重合)，

則△E45面積的最大值為()

A.V2B.2V2C.2D.4

解：過定點4的直線(q+1)x-y+2=0,整理可得ax+x-y+2=0,可得4(0,2),

過定點5的直線x+(Q+1)y-4a-2=0.整理可得：a(y-4)+x+y-2=0,可得5(-2,4),

又因為(〃+1)X1+(-1)(Q+1)=0,可得/i-L/2,可得為直角三角形，

由題意可得|B4/+|尸坪|=|4砰=(-2-0)2+(4-2)2=8,

因為承|2+『砰|三2.II必I，可得弘II尸5|W4,當(dāng)且僅當(dāng)以|=|尸時取等號，

所以S△序411PB區(qū)號x4=2,所以△出2面積的最大值為2,故選：C

8.已知四面體/BCD中，AD=2,BD=也,ZBCD=]20°,直線與8C所成的角為60°,且二面角/-CD

-3為銳二面角.當(dāng)四面體48co的體積最大時，其外接球的表面積為()

327r167r

A.-----B.-----C.16TID.8TT

33

解：如圖，

第8頁（共16頁）

因為BD2=BC2+DC2-22c?DC?cos120°=BC2+DC2+BC'DC=3,

所以38c?DCW3C2+DC2+BC?￡)C=3,即BUOCW1,當(dāng)且僅當(dāng)BC=DC=1時等號成立,

此時底面△BCD面積最大，S=±BC.DC-s譏120。=卓，

—>

將/。沿OC平移至HC,則點/與/'到底面BCD的距離相同，且CB=60°,

為使四面體NBCD高最大，則直線HC在底面BCD的射影為直線BC,此時8上面BCD,

設(shè)點/在底面BCD的投影為夕，可知四邊形3c為菱形，且△BCD的外心為女，

此時滿足二面角N-CA-8為銳二面角，故四面體N3CD的外接球的球心。在直線48'上，

因為力B'=AB=BCtcm60°=b，DB'=1,OA=OD=R,

所以在RtZXOB'。中，（g—R）2+￥=R2,解得R=41,

此時外接球的表面積為S=47rxg=i1叫故選：B.

多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的

得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.已知直線/：fcr-y+24=0和圓。：x2+y2=16,則（）

A.直線/恒過定點（2,0）B.存在左使得直線/與直線/o：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交D.若左=-1,直線/被圓。截得的弦長為4

解：對于/>C,由/：kx-y+2k=0,得左（x+2）-y=Q,令。解得｛；=02，

所以直線/恒過定點（-2,0）,故/錯誤；

因為直線/恒過定點（-2,0）,而（-2）2+02=4<16,即（-2,0）在圓。：/+y=16內(nèi)，

所以直線/與圓。相交，故C正確；

1

對于8,直線/o：x-2y+2=0的斜率為5,則當(dāng)人=-2時，滿足直線/與直線/o：x-2y+2=0垂直，故B

正確；

對于。，4=-1時，直線/：x+y+2=0,圓心到直線的距離為4=粵景=&,

所以直線I被圓O截得的弦長為2尸二*=2心—（偽2=2714,故D錯誤.

故選：BC.

第9頁（共16頁）

（多選）10.已知圓M：丁+產(chǎn)-4x+3=0,則下列說法正確的是（）

A.點（4,0）在圓“內(nèi)B.圓M關(guān)于x+3y-2=0對稱

C.半徑為百D.直線%-百）7=0與圓M相切

解：x2+j?-4x+3=0整理得：（x-2）2+）^=1,

?；x=4,y=0時-4X+3=3>0,.?.點（4,0）在圓M外，/錯；

?.?圓心M（2,0）在直線x+3廠2=0上，，圓M關(guān)于x+3廠2=0對稱，2對；

?.?圓M半徑為1,故C錯；\?圓心M（2,0）到直線x—By=0的距離為d=J餐=1,與半徑相等，.?.直

線尤—By=0與圓M相切，。對.故選：BD.

（多選）11.如圖，棱長為2的正方體NBCD-NiBCbDi的外接球的球心為O,￡、尸分別為棱AS、CCi的中點，

G在棱3c上，貝!）（）

A.EB

A.對于任意點G,CM〃平面EFGB.存在點G,使得平面。4D_L平面EFG

.__71

c.直線所被球o截得的弦長為VTUD.過直線所的平面截球。所得的截面圓面積的最小值為5

解：對于/,當(dāng)G與8重合時，/€平面￡7吆，平面昉G,此時直線CM與平面EFG相交，故/錯誤;

對于瓦：四邊形/BCD為正方形，貝：臺小，平面/BCD,EGu平面Z8CO,貝UEG_L38I,

■:BDCBB\=B,則EG,平面BBiDbD,,.?2。<=平面3囪。1。，：.EGLB\D,

同理尸G_LSD,,:EGCFG=G,，囪。，平面EFG,即。。J_平面EFG,

：ODu平面OD4,；.平面。4D_L平面所G,故3正確；

對于C,取跖的中點M,'：OA=OB=V3,E為的中點，：.OELAB,

：.OE=y/OA2-AE2=42,同理。尸=企，則。M_L即，

*.?CCi±平面ABCD,CEu平面ABCD,貝I]CFLCE,

：.EM=^EF=|VEC2+FC2=則OM=/OE2一EM2=穿,球O的半徑為R=百，

直線EF被球O截得的弦長為2，R2—0M2=213—（孚尸-V10,故C正確；

設(shè)截面圓半徑為r,球心O到截面的距離為d,則戶+/=產(chǎn)=3,

■:dWOM=^,則/=3-/滸，.?.截面圓面積5=/2苧，故。錯誤.故選：BC.

三.填空題（共3小題）

12.已知直線x+@+2=0經(jīng)過兩直線3x+2y-9=0和x-1=0的交點，則k的值等于-1.

第10頁（共16頁）

解：聯(lián)立方程組[U2]9=°,解得x=l,y=3,即兩直線的交點為(1,3),

將點(1,3)代入直線x+0+2=0,可得1+34+2=0,解得后=-1,

即實數(shù)左的值為-L故答案為：-L

13.若某圓的圓心為點(2,-3),其中一條直徑的兩個端點恰好落在兩個坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程是/+v2-

4x+6”=0.

解：圓的圓心為點(2,-3),其中一條直徑的兩個端點恰好落在兩個坐標(biāo)軸上，

設(shè)直徑的兩個端點分別4(Q,0)B(0,b),由中點坐標(biāo)公式得，。=4,b=-6,

.*.r=^AB\=i-V42+62=V13,則此圓的方程是(x-2)2+(y+3)2=13,即/+爐一4x+6y=0,

故答案為：/+產(chǎn)-4x+6y=0.

14.已知，空間直角坐標(biāo)系xOy中，過點尸(xo,yo,zo)且一個法向量為ri=(a,b,c)的平面a的方程為。(x-

xo)+b(y-/)+c(z-zo)=0.經(jīng)過點尸(xo,yo,zo)且方向向量為n=(4B,C)的直線方程為

—=?=用以上知識解決下面問題：已知平面a的方程為x-2尹2z+l=0,直線/的方程為?=

ADC2

yz—2-V14

7=—，則直線I與平面a所成角的正弦值為_.

解：由題意知：平面a的一個法向量蔡=(L-2,2),直線/的一個方向向量荒=(2,3,-1),

設(shè)直線/與平面a所成角為0,所以sinB=|cos而，曲=叵迎=島=孚，

|m|.|n|3V147

即直線/與平面a所成角的正弦值為孚，故答案為：當(dāng).

77

四.解答題(共5小題)

15.已知兩條直線/i：ax+y+a+1—0,Z2：2x+(a-1)y+3=0.

(1)求證：直線/i過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；

(2)若a=0,直線/與及垂直，且______，求直線/的方程.

從以下三個條件中選擇一個補充在上面問題中，使?jié)M足條件的直線/有且僅有一條，并作答.

條件①：直線/過坐標(biāo)原點；條件②：坐標(biāo)原點到直線/的距離為1;條件③：直線/與交點的橫坐標(biāo)為2.

證明：(1)直線/i：ax+y+a+1=0轉(zhuǎn)化為：a(x+1)+y+l=0,

當(dāng)x+l=0時，不論。為何值，y+l=0,可得定點(-1,-1),

即證直線人過定點，且該定點的坐標(biāo)(-1,-1)；

(2)解:當(dāng)a=0時，直線及的方程為：2x-y+3=0.

若直線/與直線/2垂直時，設(shè)直線I的方程為x+2y+m=0,

若滿足條件①，則加=0,這時直線/的方程為x+2y=0；

滿足條件②，則原點到直線/的距離為4=予署=噂，

VV5

第11頁(共16頁)

由題意可得1=噂，解得％=±6,

V5

這時直線/的方程為：x+2y土花=0；

滿足條件③時，直線/1的方程為：＞=-1,代入直線/的方程：x+2(-1)+加=0,

可得x=2-m,

由題意2=2-加，解得機=0,這時直線/的方程為：x+2y=0

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知圓C：x2+/+2x-4y+F=0,且圓C被直線x-y+3+魚=0截得的弦長為2.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若圓C的切線/在x軸和y軸上的截距相等，求切線/的方程.

解：(1)由題意得C：X2+J?+2X-4y+F=0,即(x+1)2+(廠2)2=5-^＞0,

：,F＜5,

：.C(-1,2),a=5-F,

?.,圓心C(-1,2)到直線x-y+3+V2=0的距離d=―33+乙=1,

???弦長為2,

.*.t/2+l2=r2=5-F,

.?.尸=3,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x+1)2+(廠2)2=2.

(2)因為直線/在x軸和y軸上的截距相等，

①若直線/過原點，則假設(shè)直線/的方程為＞=依即依-y=0,因為直線/與圓C相切，

?d——Il-V2

：.le-402=0,

.".k—2+V6,

.?.直線/的方程為y=(2+遙)工或歹=(2-V6)x；

②若直線I不過原點，切線/在x軸和y軸上的截距相等，

XV

則假設(shè)直線I的方程為一+-=1,即x+y-a=0

aa

因為直線/與圓C相切，

."=小=近，

V2

|1-a\=2,

?\Q=3或a=-1

二?直線/的方程為x+y-3=0或x+y+1=0

綜上可得，直線/的方程為＞=(2+6)x或歹=(2-遙)x或l+y-3=0或x+y+l=0

17.如圖，三棱柱向G的所有棱長都是2,44i_L平面/BC,D,E分別是4C,CG的中點.

第12頁(共16頁)

(1)求證：平面R4E_L平面NiBD；

(2)求44i和平面所成角的正弦值.

(1)證明：取4cl的中點。，連接囪。，OD,

則?！?1c1,OD/ZAAi,

又因為44i_L平面4BC,所以O(shè)Z)_L平面4BC,

則。/,OD,。2兩兩垂直，

如圖，

以。為原點，OA,OD,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

—>—>

貝！］N(l,2,0),8(0,2,3),ZX0,2,0),/(l,0,0),￡(-1,1,0),可得(一1,2,0),ArB=(-1,2,V3),

B4=(l,0,-V3),BE=(-1,一1,-V3),

設(shè)元=(久1，y1,Zi),n2-(x2,y2,z2)分別為平面N8D和平面的法向量,

'TT

由”.7—1+2乃=0,令『］,

A±B-九］=—%1+2y1+Wz［=0

可得3=(2，L0)是平面45。的一個法向量，

——r~

BA-n=x-V3Z=0人_1

，T一222，令Z2—1,

、BE-n2=—x2—72~V3Z2=0

可得R二(百，一21)是平面R4E的一個法向量,

因為幾2?九1=2xB—2國+0=0,即九1_L九2，

所以平面平面ABD；

TT

(2)解：由(1)可得力遇=(0,2,0),如=(2,1,0)是平面48。的一個法向量,

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設(shè)441和平面ABD所成角為①

TTL

|n1-^1/l|_2_V5

則sin。=\cos{nlfArA)\=

向卜房川正乂25

V5

所以直線區(qū)41和平面N2D所成角的正弦值為

18.如圖，棱長為2的正方體48(力-4囪。。1,河是四邊形。。。。內(nèi)異于。，。的動點，平面平面BMC.

(1)證明：CMLDM；

(2)當(dāng)平面M43與平面MCD的夾角的余弦值最大時，求M點到平面451C1D1的距離.

(1)證明：由題意，平面平面3A/C,可設(shè)平面NVOC平面8MC=/,

在正方體/BCD-//Ci。中，AD//BC,

因4DC平面BA/C,BCu平面故4D〃平面3A/C,

又平面平面BMC=/,4Du平面/M),故4D〃/,

又4D_L平面。CA/u平面。CCLDI，

則4D_LCA/,故CM_U,

因CA/u平面BMC,平面平面BMC,平面AMDA平面BMC=l,

故CM_L平面/M),因DMu平面/M),故CM_LDW；

(2)如圖，分別以ZX4,DC,所在直線為x,y,z軸，

則。(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

因M是四邊形DLDCCI內(nèi)異于C,。的動點，可設(shè)M(0,a,b),

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由(1)可得：CM-DM=(0,a-2,6)?(0,a,b)=0,

得。2-2。+廬=0,即b2—-(r+2a--(a-1)2+l,

因0WaW2,故0W6W1,

又薪=(-2,a,6),BM=(-2,a-2,6),

設(shè)平面NAffi的一個法向量為蔡=(x,y,z),

'TT

n-AM=-2x+ay+bz=0,八八

則有,故可取n=(6,0,2),

.n-BM=—2x