2024-2025學(xué)年天津某中學(xué)高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年天津一中高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.集合4={x|-l<x<3},B=[-2,-1,0,2,4},則3）CB=（）

A.{-2,-1,4}B.{-1,2}C.{-2,4}D.0

2.設(shè)xeR,則“l(fā)og2%<1”是“必+x-6<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)y=（2久-sinx）,2一團(tuán)的圖象可能是（）

4.某校1000名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方

圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.004

B.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為75

C.估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為80

D.估計(jì)總體中成績(jī)落在[60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150

5.已知根，為兩條不同的直線，a,0為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）

第1頁(yè)，共8頁(yè)

A.THua,7iua,m“B，幾〃S=>a〃￡

B.n//m,n1a=>m1a

C.m1a,m1n=>n//a

D.a/",mca,nc^^>m//n

6.已知。。=仞2,b=lg(/n2),c=ln1,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

7.將函數(shù)f（x）=s譏2久圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的右縱坐標(biāo)不變，再將所得的圖象向右平移告?zhèn)€

單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)久久）的圖象，則（）

A.歷（初的最小正周期為今B.g（x）的圖象關(guān)于直線x=藉對(duì)稱

C.9。）在（-合堤）上單調(diào)遞增D.g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)段,0）對(duì)稱

8.拋物線%2=2py（p〉0）的焦點(diǎn)為尸，其準(zhǔn)線與雙曲線9=1的漸近線相交于4、8兩點(diǎn)，若△回尸的

周長(zhǎng)為4渥，貝葉=（）

A.2B.2衣C.8D.4

9.如圖，過(guò)圓。外一點(diǎn)P'作圓的切線P'4P'B,切點(diǎn)分別為4B,現(xiàn)將△P'AB沿48折起到△P4B,使點(diǎn)

P在圓。所在平面上的射影為圓心。，若三棱錐P-40B的體積是圓錐P。體積的聲.則器；=（）

47rop、）

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)4裝的結(jié)果為.

11.二項(xiàng)式（好一|）5的展開(kāi)式中含久的系數(shù)為_(kāi).

12.已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,a+b=1,則2。+2b的最小值為

第2頁(yè)，共8頁(yè)

13.袋子中裝有幾個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，已知若從袋中每次取出1球,

取出后不放回，在第一次取到黑球的條件下，第二次也取到黑球的概率為

貝M的值為—，若從中任取3個(gè)球，用X表示取出3球中黑球的個(gè)數(shù)，則

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=—.

14.如圖，在邊長(zhǎng)1為正方形力BCD中，M,N分別是BC,CD的中點(diǎn)，則前?

AC=，若力C=XAM+fiBN,貝!U+“=.

15.已知函數(shù)/(久)=以52￡1/°，則晨/(1))=；若/(X)在Xe(a,|)既有最大值又有最小值，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

三、解答題：本題共4小題，共48分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題12分)

△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且避(a?+?2-抉)=2》cs譏A.

①求角B的大??；

(II)若cosZ=1,求sin(24-B)的值.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面2BCD為矩形，PD1平面4BCD,AB=4,PD=AD=2,點(diǎn)E在線段

AB上，S.AE=^AB.

(I)求證：CE1平面PBD；

(II)求直線PA與平面PCE所成角的正弦值；

(IH)求平面BCE與平面PCE的夾角的余弦值.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=ex+ax(a6R),g(x)=ln(x+1).

第3頁(yè)，共8頁(yè)

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線；

(2)若f(x)對(duì)任意的xe[0,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(本小題12分)

已知橢圓C：g+l(a>b>0)的離心率為東右焦點(diǎn)為尸(2,0).

(1)求橢圓方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線1與橢圓交于4B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與直線x=3交于點(diǎn)C,△48C為等邊三角

形，求直線/的方程.

第4頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案

l.A

2.2

3.C

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.D

10.1+5i

11.-270

12.2"

13.2y

14二.且

*2'，5

15.-1；；[-3,-1]

16.解：(I)由余弦定理接=a2+c2-2accosB,則小+c2—b2=2accosB,

又小(層+02—爐)=2bcsi7i4所以2斕accosB=2bcsinAf即斕acosB=bsinA,

由正弦定理可得依sizh4cosB=sinBsinA,因?yàn)閟izM>0,

所以避cosB=sinB,則tanB=4，又0<8<TT,所以8=p

(II)因?yàn)閏osA=1,0<i4<-y,所以sin/=y/l-cos2A

所以sin2A=2sinAcosA=2xx=^^,cos2A=2cos2A—l=—

所以sin(2A-8)=sin2AcosB-cos2AsinB=x[+(x史=+7圾

9218

第5頁(yè)，共8頁(yè)

17.(/)證明：PD1平面/BCD,CEu平面

3

ABCD,???PD1CE,???AB=4,AE=4

4

AB,

,D

??A?EAE=3,DzBrE=11,ABB—C=2,

ADBE

Rt△CBEsRtABAD,

BD1CE,PD_LCE,PDABD=D,

???CE1平面PBD,

(II)W：???PD1,平面ABC。，ADU平面

ABCD,CDu平面/BCD,

???PD1AD,PD1CD,???ABCO為矩形，AD1CD,

??.AD,CD,PD兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系yz,

貝lJC(0,4,0),尸(0,0,2),￡*(2,3,0),4(2,0,0),

???~PC=(0,4-2),~CE=(2-1,0),

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為五=

,(n-CE=2x—y=0人?.

則n6.瓦=4y-2z=0,令x=L則V=2,z=4,

平面PCE的一個(gè)法向量為元=(1,2,4),

又詞=(2,0,—2),

設(shè)直線P力與平面PCE所成角為仇

.qI,石"7一|P/?九||2-8|J42

smd=\C0S<PA,?>1=^^=721x272=^

(III)VPD1平面ABC。，取平面BCE的法向量為訪=(0,0,1),

則cos<n,m>=J2=~八：4+/,

\n\?\m\lxJI+4+1621

所以二平面BCE與平面PCE的夾角的余弦值為筆1

18.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=ex+%,/'(%)=/+1,

所以尸(0)=e°+l=2,故f(%)在點(diǎn)(0,1)處的切線為=-1=2x,即2%—y+1=0.

(2)/(%)>即e"+ax+In(%+1)-1>0在久G[0,+8)上恒成立,

設(shè)八(%)=ex+ax+ln(x+1)—1,注意到h(0)=0,

h'(x)=ex+a+久：],令W(%)=h'(x)=ex+a+久：

第6頁(yè)，共8頁(yè)

則S'Q)=e'_(久；])2在xG[0,+8)為增函數(shù)，且尹'(。)=。，

1

所以租'(%)20恒成立，即0(%)="(%)=ex+a+OY單調(diào)遞增，

其中9(0)=〃(0)=a+2,

若a>-2,則0(%)=H(x)NO恒成立，此時(shí)僅乃單調(diào)遞增,又以0)=0,所以九(%)之0恒成立，

即e*+ax+In(%+1)-1>0在％G[0,+8)上恒成立，即結(jié)論成立；

若a<-2,則0(0)<0,

又。(ln(—a))=h'(ln(—a))=elnC-a)+a+皿二)+i=in(一：)+1>。)

故由零點(diǎn)存在性定理可知，在(0,ln(-砌)內(nèi)存在右，使得9(%o)=O,

當(dāng)工￡(0,汽)時(shí)，<p(x)=無(wú)'(久)<0,所以h(x)單調(diào)遞減，又%(0)=0,

所以當(dāng)x6(0,孫)時(shí)，h(x)<0,即/(x)<l-g(x),不合題意，舍去；

綜上：實(shí)數(shù)a取值范圍是[-2,+8).

19.解：(1)由題意可得e=(=曰，c=2,解得a=通，

由抉=Q2_C2,...抉=2,則橢圓C的方程為"+"=1.

62

(2)當(dāng)直線4B為x軸時(shí)，易得線段48的垂直平分線與直線尤=3沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；

當(dāng)所在直線的斜率存在且不為x軸時(shí)，設(shè)該直線方程為了=做久-2)(卜H0),4(巧,％),B(x2,y2),

'y=/c(x—2)

聯(lián)立巨+乃=1,消去y可得(3/+1)%2—12k2久+12k2-6=0,

A=144k4—4(3/+l)(12fc2-6)=24(fc2+1)>0,