高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系講義

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義立體幾何與空間向量之

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

一'知識(shí)點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

1.平面的基本性質(zhì)

(1)三個(gè)基本事實(shí)

基本事實(shí)1過①不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面②有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有③一條

過該點(diǎn)的公共直線.

(2)三個(gè)推論

利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”可得到以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2經(jīng)過兩條④相交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3經(jīng)過兩條⑤平行直線,有且只有一個(gè)平面.

2.空間中直線間的位置關(guān)系

石市公(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?

|共面直線(

JI平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

(異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

(1)過平面外一點(diǎn)A和平面內(nèi)一點(diǎn)B的直線，與平面內(nèi)不過點(diǎn)8的直線是異面直線；

(2)異面直線既不平行，也不相交；(3)異面直線不具有傳遞性，即若直線a與6是異

面直線，6與c是異面直線，則。與c不一定是異面直線.

3.空間中直線、平面間的位置關(guān)系

圖形語言符號(hào)語言公共點(diǎn)

相交aAa=A1個(gè)

直線與平面

平行a//a0個(gè)

在平面內(nèi)aua⑥無數(shù)個(gè)

平行a〃P⑦0個(gè)

平面與平面

相交aOp=/無數(shù)個(gè)

說明分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

二'基礎(chǔ)題練習(xí)

1.如圖，anp=/,A,BGa,Cep,且C4/,直線過A,B,C三點(diǎn)的平面記

作Y，則丫與p的交線必通過（D）/

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)B；一7

C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M

2.［多選］以下說法正確的是（CD）

A.若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面距離相等，則這條直線與該平面平行

B.若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面距離相等，則這兩個(gè)平面平行

C.若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線/于A,B,C三點(diǎn)，則這四條直線共面

D.不共面的四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)都不共線

解析對(duì)于A,直線也可能在平面內(nèi)或與平面相交；對(duì)于B,兩平面也可能相交；易知

C,D正確.

3.［多選］如圖是一個(gè)正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列命題正確的是（CD）

A.A尸與CN平行B.BM與AN是異面直線

C.A尸與是異面直線D.8N與。E是異面直線

解析把正方體的平面展開圖還原，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AF

與CN是異面直線，故A錯(cuò)誤；

與AN平行，故B錯(cuò)誤；

8MU平面8CMF,FG平面BCMF,A6平面F年BM,故AF與BM

是異面直線，故C正確；

DEU平面ADNE,NW平面ADNE,B4平面NaDE,故BN與。E是異面直線，故

D正確.

三、知識(shí)點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

例1已知在正方體ABC。一A16GP中，E,尸分別為。Ci,GB1的中點(diǎn)，ACCBD=P,

AiCiHEF=Q.

求證：(1)。，B,F,E四點(diǎn)共面.

(2)若AC交平面。瓦石于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.

(3)DE,BF,CG三線交于一點(diǎn).

解析(1)如圖所示，連接BQi.由題意知跖是△D15G的中位線，所

以EF〃BiA.在正方體ABC。一A向GOi中，BD〃BD,際法EF//BD,

所以8。確定一個(gè)平面，即。，B,F,E四點(diǎn)共面.

(2)記4,C,G三點(diǎn)確定的平面為平面a,平面2。所為平面［3.因?yàn)?/p>

Q^AiCi,所以QGa.又QWEF,所以QG0,所以。是a與|3的公共點(diǎn).同理，尸是a與！3

的公共點(diǎn)，所以aCp=P。.又AiCCp=R,所以RGAiC,RGa,且Rep,則RGP0,故

P,Q,R三點(diǎn)共線.

(3)因?yàn)镋F〃BD且EFCBD,所以。E與3P相交，設(shè)交點(diǎn)為則由MGDE,DEU

平面。1DCG,得A/G平面。MCG,同理，A/G平面BiBCG.

又平面OiDCGC平面BiBCCi=CCi,所以MGCCi，

所以。E,BF,CG三線交于一點(diǎn).

方法技巧

1.證明點(diǎn)共線問題的常用方法

基本事先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本事實(shí)3

實(shí)法證明這些點(diǎn)都在交線上.

納入直

選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.

線法

2.證明線共點(diǎn)問題的常用方法

先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn).

3.證明點(diǎn)、直線共面問題的常用方法

納入平面法先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).

先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面。，最后證明

輔助平面法

平面a,P重合.

訓(xùn)練1如圖，已知正方體ABC。-4囪CQi中，E,尸分別是棱CG,A4i

的中點(diǎn).i心I

(1)畫出平面BEDbF與平面ABC。的交線，并說明理由.

(2)設(shè)以為直線2。與平面BE。聲的交點(diǎn)，求證：B,H,5三點(diǎn)共線.

解析(1)如圖1所示，直線尸2為平面8即1尸與平面ABC。的交

線，理由如下：)|..

在正方體ABCD-A^BiCiDi中，/']=二：4';

因?yàn)镈4U平面AAQiD,OFU平面A41O。，且D4與不平行，圖1

所以在平面A41Z)。內(nèi)分別延長(zhǎng)。1居DA,則。F與D4必相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)為點(diǎn)P,

所以PGA。，PWDiF.

因?yàn)镈4U平面ABCD,APU平面BEDiF,

所以pe平面ABC。，PG平面BEQiF,

即尸為平面ABCD和平面BEDxF的公共點(diǎn).

連接尸8,又8為平面A3CO和平面BE。尸的公共點(diǎn),

所以直線為平面BEObF與平面42a)的交線.

(2)如圖2所示，連接BA,BD,BiDi,在正方體ABCD—AliG。中，

因?yàn)?修〃。。1,且

所以四邊形8囪。1。為平行四邊形.

因?yàn)镠為直線田。與平面BEDiF的交點(diǎn)、,所以HGBiD,圖2

又8QU平面B81AD所以86平面

又HG平面BEDiF,平面BEPPC平面BBDD=BDi,

所以HGBDi,

所以B,H,。三點(diǎn)共線.

命題點(diǎn)2空間直線、平面間的位置關(guān)系

例2(1)[2023上海春季高考]如圖，在正方體中，尸是

4cl上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是(B)

A.DDiB.ACC.ADiD.BiC

解析對(duì)于A,如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸為4G的中點(diǎn)時(shí)，連接BQi,BD,則尸在

S5上，BPU平面BDDiBi,又。AU平面BD￡)|S,所以BP與?？诠裁妫蔄錯(cuò)誤;

圖1圖2

對(duì)于B,如圖2,連接AC,易知ACU平面ACG4,平面ACG4,且BPCI平面

ACQA^P,尸不在AC上，所以8尸與AC為異面直線，故B正確；當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)Ci重合

時(shí)，連接A。，BiC（圖略），由正方體的性質(zhì)，易知8尸〃ADi,B尸與SC相交，故C,

D錯(cuò)誤.故選B.

（2）[2023高三名校聯(lián)考（一）]設(shè)。是空間中的一個(gè)平面，/,加，"是三條不同的直線，

則下列說法正確的是（B）

A.若機(jī)u（x,nUa,/_Lw,貝!J/_La

B.若/〃m,mHn,/_La,則nJ_a

C.若I//m,m_La,〃J_a,貝!JlA^n

D.若〃zUa,w_l_a,貝!!/〃/"

解析A選項(xiàng)，若機(jī)Ua,〃Ua,ZJ_m,/J_n,則/與a相交、平行或/Ua,如圖1,

m//n,且滿足“zUa,“Ua,lA_m,/J_w,但此時(shí)/與a斜交，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

I//m,m//n,所以/〃”，因?yàn)?J_a,所以“J_a,故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椤↗_a,

所以m〃w,因?yàn)?〃m,所以/〃"，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若wiUa,“J_a,l-Ln,則/與相

相交、平行或異面，如圖2,滿足機(jī)Ua,Z±n,但此時(shí)/與〃z異面，故D錯(cuò)誤.故選

B.

圖1圖2

方法技巧

1.判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系時(shí)，注意對(duì)平面的基本性質(zhì)及有關(guān)定理的應(yīng)用.

2.判斷空間直線、平面間位置關(guān)系的命題的真假時(shí)，常借助幾何模型（長(zhǎng)方體、正方體）

或?qū)嵨铮▔恰⒆烂娴龋?

3.注意反證法在判斷空間兩直線位置關(guān)系時(shí)的應(yīng)用.

訓(xùn)練2若直線八和，2是異面直線，/i在平面a內(nèi)，在平面P內(nèi)，/是平面a與平面p的交

線，則下列命題正確的是（D）

A.I與h，，2都不相交

BJ與6，L都相交

C./至多與/1，/2中的一條直線相交

DJ至少與/1,/2中的一條直線相交

解析解法一（反證法）若/〃/l,l//h,則這與/2是異面直線矛盾.故/至少

與/l,/2中的一條直線相交.

解法二（模型法）如圖1,/1與，2是異面直線，/1與/平行，/2與/相交，故A,B不正

確；如圖2,/1與/2是異面直線，/l,L都與/相交，故C不正確.

四'命題點(diǎn)習(xí)題講解

I.［命題點(diǎn)1］到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為（C）

A.lB.4C.7D.8

解析當(dāng)空間四點(diǎn)A,B,C,。不共面時(shí)，則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐.當(dāng)平面一側(cè)有一個(gè)點(diǎn)，

另一側(cè)有三個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖1,當(dāng)平面過A。，BD,CZ）的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件.因?yàn)槿忮F有4

個(gè)面，則此時(shí)滿足條件的平面有4個(gè).

圖1圖2

當(dāng)平面一側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)，另一側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖2,當(dāng)平

面過AB,BD,CD,AC的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件.因?yàn)槿忮F的相對(duì)棱有3對(duì)，則此時(shí)滿足條

件的平面有3個(gè).所以滿足條件的平面共有7個(gè).故選C.

2.［命題點(diǎn)2/多選］已知G,N,M,X分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列表示

直線GH,是異面直線的圖形是（BD）

解析A中，直線GH〃朋N;B中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M在平面GHN,因此直線G”

與異面；C中，連接MG,GM//HN,因此GH與共面；D中，G,M,N三點(diǎn)共

面，但用平面GMN,因此G8與MN異面.

五'習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練

1.［2024廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)模擬］已知平面a,［3,丫兩兩垂直，直線a,b,c滿足

aUa,bup,cUy,則直線a,b,c不可能滿足以下哪種關(guān)系（B）

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D.兩兩異面

解析如圖1,可得〃，b,c可能兩兩垂直；如圖2,可得〃，b,c可能兩兩相交；如圖

3,可得。，b,c可能兩兩異面.故選B.

圖1圖2圖3

2.［2024河南焦作模擬］已知根，〃為異面直線，平面a,〃_L平面0.若直線/滿足

l-Lm,lA_n,/Ua,/C0,貝U(B)

A.a〃(3,I//a

B.a與0相交，且交線平行于/

C.a±p,Z±p

D.a與0相交，且交線垂直于/

解析若?！?,則由m_L平面a,幾_1平面0,可得加〃九，這與根，〃是異面直線矛盾，故

a與0相交.

設(shè)aCp=〃，過空間內(nèi)一點(diǎn)、P,作W〃機(jī)，n'//n,W與〃'相交，

設(shè)W與〃'確定的平面為y.

因?yàn)?J_m，Z_Ln,所以/_Lm',故/_Ly,

因?yàn)閙_La,n±p,所以“_La,nrJ_p,所以〃_LM,a_L〃'，所以〃_Ly,

又因?yàn)?Ca,/CB，所以/與〃不重合，所以/〃〃.故選B.

3.［多選/2024貴州省遵義市南白中學(xué)聯(lián)考］已知a,b是兩條不重合直線，a,P是兩個(gè)不重

合平面，則下列說法正確的是(BC)

A.若a〃0,〃Ua,hup,則〃與Z?是異面直線

B.若?！??,bua,則直線〃平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線

C.若a〃。，〃Ua,則〃〃p

D.若aGp=8,qUa,則〃與p一定相交

解析

選項(xiàng)正誤原因

AX若a〃0,〃Ua,Z?cp,則〃與/?平行或異面.

B<若〃〃/?,Z?Ca,則平面a內(nèi)所有與人平行的直線都與〃平行.

C7若a〃0,則平面a內(nèi)所有直線都與0平行，因?yàn)閍Ua,所以〃〃仇

DX若aGp=b,〃Ua,則當(dāng)〃〃Z?時(shí)，a//p.

4.［多選Z2023廣東省廣州市模擬］已知直線/與平面a相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是

(ABD)

A.a內(nèi)不存在直線與/平行

B.a內(nèi)有無數(shù)條直線與/垂直

C.a內(nèi)所有直線與/是異面直線

D.至少存在一個(gè)過/且與a垂直的平面

解析直線/與平面a相交于點(diǎn)P,故a內(nèi)不存在直線與/平行，A正確.若/_La,則a內(nèi)的

所有直線都與/垂直；若/與a不垂直，設(shè)與/在平面a內(nèi)的射影垂直的直線為“，則平面

a內(nèi)與〃平行的直線都與/垂直，有無數(shù)條，B正確.平面a內(nèi)過點(diǎn)尸的直線與/相交，C錯(cuò)

誤.若/La,則過/的任一平面都與a垂直；若/與a不垂直，取/上異于點(diǎn)尸的一點(diǎn)。，過

。作QM_L平面a于點(diǎn)M,則平面PQM_La,D正確.故選ABD.

5.［多選Z2023高三名校模擬］下列關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的命題中不正確的是

（ABC）

A.若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則它們一定重合

B.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)

C.兩條直線a,6分別和異面直線c,d都相交，則直線a,6是異面直線

D.正方體ABC。一A18CQ1中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，直線4C交平面ABQi于點(diǎn)則

A,M,。三點(diǎn)共線，且A,M,O,C四點(diǎn)共面

解析如圖，在正方體ABC。-4B1C1D1中，A,D,E三個(gè)點(diǎn)在一條直?1—-~71c

線上，平面A8CZ）與平面4。。的1相交，不重合，故A不正確；從點(diǎn)A

出發(fā)的三條棱AAi,AB,AD不在同一平面內(nèi)，故B不正確；若a〃b,則二，

a,方確定一個(gè)平面，且a,b分別與直線c,d的交點(diǎn)都在此平面內(nèi)，則,以二一匕

c,d共面，與c,d是異面直線矛盾，所以直線a,?？赡苁钱惷嬷本€，也可能是相交直線

（c,1中的一條直線過a,6的交點(diǎn)），故C不正確；如圖，平面AA1CA平面48101=

AO,因?yàn)橹本€4C交平面ASA于點(diǎn)所以MG4。，即A,M,。三點(diǎn)共線，因?yàn)橹本€

和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以A,O,C,M四點(diǎn)共面，故D正確.故選ABC.

6.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，AECD為正三角形，平面EC￡）_L平面ABC。，M是

線段ED的中點(diǎn)，則（B）

\.BM=EN,且直線BW,EN是相交直線

B.BMWEN,且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8M,EN是異面直線

D.BM^EN,且直線BAT,EN是異面直線

解析設(shè)C。的中點(diǎn)為。，連接ON,EO,因?yàn)椤鱁CZ）為正三角形，所以EO_LCD,又平

面ECO_L平面ABCD,平面ECZJC平面ABCD=CD,所以EO_L平面A8CD設(shè)正方形

A3。的邊長(zhǎng)為2,則石。=遍，ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.過點(diǎn)M作

CD的垂線，垂足為P,連接8P,則CP=|,所以即於二皿尸十^^二（。）2+

（|）2+22=7,得BM=由,所以BMWEN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，

所以N為8。的中點(diǎn)，即EN,MB均在平面5DE內(nèi)，所以直線EN是相交直線.故選

B.

7.［多選Z2024云南昆明高三?？迹萑鐖D，在正方體ABCO—AIiGA中，E,F,G,反分別

是棱CG，BC,CD,81cl的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（AC）

A.AF//平面ArDE,必

B.AG〃平面ADE

C.Ai，D,E,H四點(diǎn)共面^注?’

D.Ai，D,E,G四點(diǎn)共面

解析如圖1,取4。的中點(diǎn)跖連接AM,EF,ME,BCi,則EP〃BG,EF=［BCI,

AM//BQ,AM=^BCi,所以所〃AM,EF=A