2024年中考數學專項復習：圖形的折疊

中考真題—折疊

選擇題（共6小題）

1.（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作:

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形防，然后把紙片展平；

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕如圖②.

根據以上的操作，若AB=8,AD=\2,則線段3M的長是（）

A.3B.y/5C.2D.1

2.（2023?無錫）如圖，正方形ABCD的邊長為2,Af是AD的中點，將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊

形EFCM,連接DF,貝!Jsin/D尸E的值等于（）

,屈口3麗「出n26

101055

3.（2023?黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCD.先對折矩形使仞與重合，得到折痕防，把

紙片展平.再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點3,得到折痕?，同時得到線段3N,

MN.觀察所得的線段，若AE=1,則MN=（）

A.—B.1C.空D.2

23

4.（2023?浙江）如圖，已知矩形紙片ABCD,其中AB=3,BC=4,現將紙片進行如下操作:

第一步，如圖①將紙片對折，使鉆與DC重合，折痕為EF,展開后如圖②;

第二步，再將圖②中的紙片沿對角線BD折疊，展開后如圖③;

第三步，將圖③中的紙片沿過點E的直線折疊，使點C落在對角線上的點H處，如圖④.則的長

為（）

5.（2022?湖州）如圖，已知80是矩形ABCD的對角線，AB=6,3c=8,點E,廠分別在邊AD,3c上,

連結BE,DF.將A/WE沿跳翻折，將ADCF沿小翻折，若翻折后，點A,C分別落在對角線班）上的

點、G,H處,連結GF.則下列結論不正確的是（）

6.（2021?麗水）如圖，在RtAABC紙片中，NACB=90。，AC=4,BC=3,點、D,E分別在AB,AC上，

連結DE,將AADE沿DE翻折，使點A的對應點P落在6C的延長線上，若FD平分ZEFB,則AD的長為

（）

A.史B."C.絲D.亞

9877

7.（2023?徐州）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,C4=CB=3,點。在邊3C上.將AACD沿AD折疊,

使點C落在點C處，連接則8c的最小值為

8.（2023?襄陽）如圖，在A40c中，AB=AC,點。是AC的中點，將ASCD沿瓦）折疊得到ABED,連

接AE.若DE_LAB于點P,BC=1O,則AF的長為

9.（2023?成都）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交回于點。，過。作DE/ABC交AC

AG7

于點E,將ADEC沿DE折疊得到AD￡F,OF交AC于點G.若一=—,則tanA=

GE3

10.（2023?濟南）如圖，將菱形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點。落在射線C4上的點E處，折痕CP

11.（2023?吉林）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC<AC.點。，E分別在邊AB,BC±,連接DE,

將ABDE沿DE折疊，點3的對應點為點8,若點笈剛好落在邊AC上，NCB'E=30。，CE=3,則的

長為__________

12.（2023?邵陽）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=^,動點尸在矩形的邊上沿5-CfOfA運

動.當點尸不與點A、3重合時，將AAB尸沿針對折，得到△A笈尸，連接CB,則在點尸的運動過程中，

線段CB，的最小值為.

B1

P

13.（2023?朝陽）在矩形ABCD中，AB=5,3C=6,點〃是邊4）上一點（點A/不與點A,。重合）,

連接CM，將ACDM沿CM翻折得到ACNM,連接AN,DN.當AAM）為等腰三角形時，DM的長為.

第13題

14.（2023?南京）如圖，在菱形紙片ABCO中，點E在邊四上，將紙片沿CE折疊，點3落在玄處，CBVAD,

垂足為尸.若CF=4cm,FB'=1cm,則5E=cm.

15.（2023?齊齊哈爾）矩形紙片ABCD中，AB=3,BC=5,點M在AD邊所在的直線上，且DM=1,

將矩形紙片ABCD折疊，使點3與點M重合，折痕與4）,3c分別交于點E,F,則線段所的長度

為.

16.（2023?涼山州）如圖，在RtAABC紙片中，ZACB=90°,CD是AB邊上的中線，將AACD沿CD折疊,

當點A落在點A處時，恰好若3c=2,貝|GV=

第16題第17題

17.（2023?婁底）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將AADE沿/石折疊，點。恰好落在邊3c上的點廠

4

處，若3C=10,sinZAFB=-,則DE=

5

3

18.（2023?深圳）如圖，在AABC中，AB^AC,tanB=—,

4

點。為3c上一動點，連接兌）,將AAfiD沿4）翻折得到

AADE,DE交AC于點、G,GE<DG,且AG:CG=3:1,則

S三角形4GE_

'三角形ADG

19.（2023?黑龍江）矩形ABCD中，AB=3,AD=9,將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點3落在點

E處,若AADE是直角三角形，則點E到直線3c的距離是.

20.（2023?隨州）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,M是邊A5上一動點（不含端點），將AA9W

沿直線對折，得到A7VDM.當射線&V交線段于點尸時，連接DP,則ACD尸的面積為；DP

的最大值為—.

21.（2023?南充）如圖，在等邊A4BC中，過點C作射線CD_LBC,點V,N分別在邊3c上，將AABC

沿折疊，使點3落在射線CD上的點8處，連接ABL已知AB=2.給出下列四個結論：①CN+NB1

為定值；②當BN=2NC時，四邊形為菱形；③當點N與C重合時，N/0M=18。；④當AB，最短

時，MN=U.其中正確的結論是______.（填寫序號）

20

22.（2022?嘉興）如圖，在扇形AQB中，點C,。在AB上，將CD沿弦CD折疊后恰好與。4,08相切

于點E,F.已知NAQ8=120。，04=6,則EF的度數為____,折痕CD的長為____.

Fn

0FBBMC

第22題第23題

23.（2022?臺州）如圖,在菱形ABCD中,N4=60。，AB=6.折疊該菱形，使點A落在邊3C上的點M

處，折痕分別與邊AB,AD交于點E,F.當點M與點3重合時，EF的長為____;當點”的位置變化

時，DF長的最大值為

24.（2021?杭州）如圖是一張矩形紙片ABCD,點M是對角線AC的中點，點E在3c邊上，把ADCE沿

直線DE折疊，使點C落在對角線AC上的點尸處，連接OF,EF.若MF=AB,則NZMF=度.

25.（2020?杭州）如圖是一張矩形紙片，點E在AS邊上，把ABCE沿直線CE對折，使點3落在對角線AC

上的點尸處，連接止.若點E,F,。在同一條直線上，AE=2,則/m=,BE=.

26.（2019?杭州）如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF,G//折疊（點E,H在AD邊上，點F,G在3C邊

上），使點3和點C落在4）邊上同一點尸處，A點的對稱點為A，點，D點的對稱點為〃點，若NFPG=90。，

△川￥的面積為4,△DTH的面積為1,則矩形ABCD的面積等于

三.解答題（共4小題）

28.（2023?無錫）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，/4=60。，點。為CD的中點，尸為線段AB上

的動點，現將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB'C'Q.

（1）當NQPB=45。時，求四邊形BMC'C的面積；

（2）當點尸在線段上移動時，設=四邊形33'C'C的面積為S,求S關于x的函數表達式.

27.（2023?泰州）如圖，矩形ABCD是一張A4紙，其中=,小天用該A4紙玩折紙游戲.

游戲1折出對角線BD,將點3翻折到ND上的點E處，折痕AF交33于點G.展開后得到圖①，發(fā)現點

F恰為3C的中點.

游戲2在游戲1的基礎上，將點C翻折到上，折痕為成；展開后將點3沿過點尸的直線翻折到族上

的點”處；再展開并連接G8后得到圖②，發(fā)現NAGH是一個特定的角.

（1）請你證明游戲1中發(fā)現的結論；

（2）請你猜想游戲2中ZAGH的度數，并說明理由.

29.（2023?通遼）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動，有一位同學

操作過程如下：

操作一：對折正方形紙片ABCD,使AD與重合，得到折痕把紙片展平；

操作二：在AD上選一點P,沿3P折疊，使點A落在正方形內部點M處，把紙片展平，連接PM,BM,

延長尸M交CD于點Q,連接BQ.

（1）如圖1,當點在EF上時，ZEMB=度；

（2）改變點P在AZ）上的位置（點P不與點A,。重合）如圖2,判斷與NCBQ的數量關系，并說

明理由.

30.（2023?湖北）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線折疊，使點3的對應點M落在邊相＞上（點

M不與點A,D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點尸，折痕分別與邊CD交于點E,F,

連接3M.

Cl）求證：ZAMB=ZBMP-,

（2）若DP=1,求MD的長.

F

BC

2023年中考真題—折疊

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

1.（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作:

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形腦跖，然后把紙片展平;

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點尸處，得到折痕如圖②.

根據以上的操作，若AB=8,AD=12,則線段3M的長是（）

D.1

【分析】由矩形的性質得DC=AB=8,BC=AD=n,NBAD=NB=90°,由折疊得47年=NB=90。,

AF=AB=8,所以四邊形是正方形，則鹿=EF=AB=8,ZBEF=90°,所以￡M=8—

FM=CM=12—BM,由勾股定理得(8-BM)2+82=(12-BAO：求得BM=2,于是得到問題的答案.

【解答】解：如圖①，?.,四邊形ABCD是矩形，AB=8,AD=\2,

：.DC=AB=8,BC=AD=12,ZBAD=ZB=90°,

由折疊得NA；石==90。，

四邊形ABEF是矩形，

???AF=AB=8,

，四邊形ABEF是正方形，

:.BE=EF=AB=8,ZBEF=90。,

如圖②，由折疊得=

?1-EM2+EF2=FM~,S.EM=8-BM,FM=CM=12-BM,

(8-BM)2+82=(12-BM)2,

解得BM=2,

故選：C.

【點評】此題重點考查正方形的判定與性質、矩形的性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，推導出

EM=8-BM,FM=CM=12—BM,是解題的關鍵.

2.（2023?無錫）如圖，正方形ABCD的邊長為2,A/是AD的中點，將四邊形ABOW沿CM翻折得到四邊

形EFCM,連接AF,貝UsinNZ陽E的值等于（）

【分析】延長CF，AD交于G,過。作。H_LCG于"，由正方形ABCD的邊長為2,又是AD的中點，

將四邊形ABCA/沿CM翻折得到四邊形EFCM,可得NBCN=NGCM,CF=BC=2,從而

ZDMC=ZGCM,GM=GC,15DG=x,iSRtADCG中有f+2?=（x+lp,解得￡）G=L5,GC=x+l=2.5,

求出FG=GC—CF=0.5,用面積法可得￡歸="0cp=1.2,即得GH=《DG”-DH?=0.9,

GC

FH=GH-FG=OA,用勾股定理得DF=4FH°+DH2=2叵；可得sinNFDH=%=叵,而

5DF10

ZFDH=ZDFE,fesinZDFE^—.

10

【解答】解：延長CF,交于G,過。作。H_LCG于〃，如圖：

?.?正方形ABCD的邊長為2,"是4）的中點,

:.AD//BC,DM=-AD=l,

2

:.ZDMC=ZBCM,

?.?將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM,

:.ZBCM=ZGCM,ZEFC=ZB=90°,CF=BC=2,

.\ZDMC=ZGCM,

:.GM=GC,

設。G=x,則GA/=x+l=GC,

在RtADCG中，DG2+CD1=GC2,

X2+22=(X+1)2,

解得x=1.5,

.\DG=1.5,GC=%+1=1.5+1=2.5,

:.FG=GC-CF=2.5-2=0.5,

\2SACDG=DGCD=CGDH,

Qi

GH=^DG2-DH2=Vl-52-l-22=0.9,

:.FH=GH-FG=0.9-0.5=0A,

:.DF=-jFH2+DH2=7O-42+1-22

:.sinNFDH=里="=叵,

DF2回10

5

???/EFC=ZDHC=90。，

:.DH//EF,

.\ZFDH=ZDFE,

?/n”回

sinNDFE=-----；

10

故選：A.

【點評】本題考查正方形中的翻折問題，涉及勾股定理及應用，解題的關鍵是掌握正方形性質和翻折的性

質.

3.(2023?黃石)如圖，有一張矩形紙片ABCD.先對折矩形ABCD,使AD與3c重合，得到折痕￡F,把

紙片展平.再一次折疊紙片，使點A落在所上，并使折痕經過點8,得到折痕同時得到線段3N,

MN.觀察所得的線段，若AE=1,則MN=()

A.—B.1C.—D.2

23

【分析】根據折疊的性質得到==1,AB=2AE=2,ZAEF=ZBEN,BN=AB=2,

ZABM=ZNBM,ZBNM=ZA=90°,求得BE=^BN,根據直角三角形的性質得到N3NE=30。，求得

2

NEBN=60。，于是得到結論.

【解答】解：?對折矩形A3CD,使AD與BC重合，得到折痕￡F,

：.AE=BE=1,AB=2AE=2,ZAEF=ZBEN=9Q°,

?.,折疊紙片，使點A落在跖上，并使折痕經過點3,

:.BN=AB=2,ZABM=ZNBM,ZBNM=ZA=90°,

:.BE=-BN,

2

:.ABNE=30。,

：.ZEBN=60°,

ZABM=ZMBN=30°,

:.MN=—BN=^,

33

故選：C.

【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握折疊的性質是解題

的關鍵.

4.（2023?浙江）如圖，已知矩形紙片ABCD,其中43=3,BC=4,現將紙片進行如下操作：

第一步，如圖①將紙片對折，使9與ZX7重合，折痕為EF,展開后如圖②；

第二步，再將圖②中的紙片沿對角線班＞折疊，展開后如圖③；

第三步，將圖③中的紙片沿過點E的直線折疊，使點C落在對角線上的點H處，如圖④.則的長

為（）

【分析】過點M作MGJ.BD于點G,根據勾股定理求得3D=5,由折疊可知BE=CE=E"=1BC=2,

2

ZC^ZEHM=90°,CM=HM,進而得出5E=EH,ZEBH=ZEHB,利用等角的余角相等可得

13

ZHDM=ZDHM,貝=于是可得DM=HM=CM=—CD=—,由等腰三角形的性質可得

22

DH=2DG,易證明AMGE^A^CD,利用相似三角形的性質即可求解.

【解答】解：如圖，過點M作MG_LBD于點G,

???四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=4,

.?.AB=CD=3,ZC=90°,

在RtABCD中，BD=ylBC2+CD2=742+32=5,

根據折疊的性質可得，BE=CE=-BC=2,ZC=ZEHM=90°,CE=EH=2,CM=HM,

2

:.BE=EH=2,

「.ABEH為等腰三角形，ZEBH=ZEHB,

???ZEBH+ZHDM=90°,

NEHB+ZDHM=90。,

:.ZHDM=ZDHM,

.?.ADHM為等腰三角形，DM=HM,

13

:.DM=HM=CM=-CD=~,

22

\-MG±BD,

:.DH=2DG,ZMGD=/BCD=9伊,

\ZMDG=ZBDC,

..AMGD^ABCD,

3

DGDMHnDG2

CDBD35

:.DG=—,

10

9

:.DH=2DG=—,

5

故選：D.

【點評】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判

定與性質，根據矩形和折疊的性質推理論證出DM=碗，以此得出點M為8的中點是解題關鍵.

5.（2022?湖州）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB=6,BC=8,點、E,尸分別在邊AO,BC±,

連結5E,DF.將AABE沿BE翻折，將ADCF沿DF翻折，若翻折后，點A,。分別落在對角線上的

點G,H處,連結G尸.則下列結論不正確的是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GFIBC

【分析】由矩形的性質及勾股定理可求出庭）=10；由折疊的性質可得出AB=bG=6,CD=DH=6,則

可求出GH=2；證出NA=NHGE=NC=NDHF=90。，由平行線的判定可得出結論；由勾股定理求出CF=3,

根據平行線分線段成比例定理可判斷結論.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形,

,\ZA=90°,BC=AD,

,/AB—6,BC=8,

BD=^AB2+AD~=762+82=10,

故A選項不符合題意；

,將AABE沿BE翻折，將ADCF沿DF翻折，點A,C分別落在對角線BD上的點G,H處,

..AB=BG=6,CD=DH=6,

:.GH=BG+DH—BD=6+6—10=2,

故B選項不符合題意；

??,四邊形ABCD是矩形，

.-.ZA=ZC=90°,

???將沿5石翻折，將ADCF沿DF翻折，點A,。分別落在對角線BD上的點G,H處,

:.ZA=ZBGE=Z.C=ZDHF=90°,

:.EG//FH.

故。選項不符合題意；

?.?GH=2,

:.BH=DG=BG-GH=6-2=4,

設FC=HF=x,貝|6尸=8—九，

/.X2+42=(8-X)2,

.'.x=3,

,\CF=3,

BF_5

..----=—，

CF3

pBG63

乂:---=—二一，

DG42

BFBG

??—w---，

CFDG

若G〃_L5C,則Gb//CD,

BF_BG

~CF~~DG'

故。選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，平行線的判定，熟練掌握折疊的性質是解題的

關鍵.

6.(2021?麗水)如圖，在RtAABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點D,E分別在AB,AC上，

連結DE,將AAZ組沿DE翻折，使點A的對應點尸落在3c的延長線上，若FD平分NEFB,則AD的長為

B

G

A."B.絲C.絲D.里

9877

【分析】由翻折得出=ZA=ZDFE,再根據ED平分NETB,得出NDFH=NA,然后借助相似

列出方程即可.

【解答】解：作DHLBC于H,

在RtAABC紙片中，ZACB=9Q°,

由勾股定理得：AB=舊+4。=5,

將AADE沿DE翻折得ADEF，

:.AD=DF,ZA=ZDFE,

?.?㈤平分NEFB,

:.ZDFE=ZDFH,

:.ZDFH=ZA,

設。/=3x,

3

在RtADHF中，sinZDFH=smZA=-,

5

:.DF=5x,

.'.BD=5—5x,

?ZDHs/^BAC,

.BD_DH

"AB-AC?

5-5x_3x

一5

4

x=一,

7

:.AD=5x=—

7

故選：D.

【點評】本題考查了以直角三角形為背景的翻折問題，緊扣翻折前后對應線段相等、對應角相等來解決問

題，通過相似表示線段和列方程是解題本題的關鍵.

二.填空題（共20小題）

7.（2023?徐州）如圖，在RIAABC中，ZC=90°,C4=CB=3,點。在邊上.將AACD沿AD折疊,

使點C落在點C處，連接3C,則3C的最小值為_3忘-3_.

【分析】由折疊性質可知AC=AC'=3,然后根據三角形的三邊不等關系可進行求解.

【解答】解：?.?NC=90。，CA=CB=3,

AB=VAC2+BC-=372,

由折疊的性質可知AC=AC=3,

-.BC..AB-AC',

.,.當A、C13三點在同一條直線時，3C'取最小值，最小值即為BC=AB-AC=3&-3,

故答案為3應-3.

【點評】本題主要考查勾股定理、折疊的性質及三角形的三邊不等關系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質

及三角形的三邊不等關系是解題的關鍵.

8.（2023?襄陽）如圖，在AABC中，鉆=AC,點。是AC的中點，將ABCD沿瓦）折疊得到AB即，連

接AE1.若于點/，3c=10,則/IF的長為2M.

A

【分析】取BC中點H,連接AH,作DG_LBC,QMJ_3E,設EF=a,由折疊的性質得到AD=CD=DE=x,

得到cosNABC=cosNB￡D,從而推導出a=生，由三角形中位線定理得到2G="，從而推導出

x2

AEMD=ACGD(AAS),得到四邊形AffiGD是正方形，DG=y,AH=15,最后利用勾股定理解答即可.

【解答】解：取3C中點〃，連接過點。作￡)G_L3c于點G,DMLBE于點M.

設EF=a,AD=CD=DE=x,貝!I。b=x—a.

:AB=AC,

:.AB^2x,ZABC=ZACB,BH=HC=5.

又由折疊得NACB=N3ED,BE=BC=10,

:.ZABC=ZBED,

RHFF

cosZABC=cosZBED,即——=——，

ABEB

.5_a

"2^-io?

解得：a=—

x

/.D八b廠=x—a=x---2-5-,

x

?:D是AC中點，DG上BC,

/.DG是AAHC的中位線，

:.CG=-CH=-,

22

由折疊知NDE"=NDCG,ED=CD,

在AEWD和ACGD中，

/DEM=ZDCG

</DME=ZDGC,

ED=CD

\EMD=ACGD(AAS),

,\DG=MD.

.\ZEFB=90°,

..NDEB+NEBF=90。.

又???NC4H+NACB=90。，且NACB=ND￡B,

:.ZEBF=/CAH,

:.ZEBF+ZABC=9G0,

/.ZDMB=ZMBG=ZBGD=90°

四邊形MHGD是正方形，

DG=BG=—,

2

..AH=2DG=15.

在RtAAHC中，AH2+HC2=AC2,

/.152+52=(2X)2,

解得：x=%何，

2

,_3?日ns_5而“_3廂

..Q=，10,x—ci-----,即AD—--------,DF=--------,

222

在RtAAFD中，AF=\/AD2-DF2=2A/10.

【點評】本題考查了折疊的性質，垂直平分線的性質，勾股定理等，解答本題的關鍵是設邊長，根據勾股

定理列方程求解.

9.(2023?成都)如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交至于點￡),過。作DE//BC交AC

于點E,將ADEC沿DE折疊得到ADEF,DF交AC于點G.若史=工，則tanA=迎.

GE3一7一

A

F

【分析】過點G作601._0石于M,證明ADGESACGD,得出DG2=GEXGC,根據AD//GM,得

—=^=-,設GE=3左，AG=lk,EM=3n,DM=1n,貝UEC=OE=10〃，在RtADGM中，

EGEM3

GM2=DG2-DM2,RtAGME+GM2=GE2-EM2,貝！JDG?—DM?"GE^_,角軍方程求得心左，

4

Q

則上"=-3GE=3k,用勾股定理求得GM,根據正切的定義，即可求解.

4

【解答】解：過點G作石于M,如圖，

???CD平分NAC6交于點O,DE//BC,

.-.Z1=Z2,N2=N3,

/.Z1=Z3,

/.ED=EC,

???將ADEC沿DE折疊得到AD￡F,

.?.Z3=N4,

「.N1=N4,

又?：ADGE=/CGD,

..ADGE^ACGD,

.DGGE

一~CG~~DG"

:.DG?=GExGC,

?/ZABC=90°,DEIIBC,

.\AD±DE,

,\AD//GM,

AGDM

ZMGE=AA,

~GE~~EM

AG_7

GE-3,

DMJI

設GE=3左，EM=3n,則AG=7左，DM=Qn,

EC-DE=10〃，

DG2=GExGC=3kx(3左+10〃)=9k2+30foz,

在RtADGM中，GM2=DG1-DM2,

在RtAGME中，GM2=GE2-EM2,

DG2-DM2=GE2-EM2,

即9k2+30kn-(Tn)2=(3k)2-(3?z)2,

3

角畢得：n=—k,

4

9

:.EM=-k,

4

?：GE=3k,

4EM43近

tanA=tan/EGM=-----

GM

4

故答案為:浮.

【點評】本題考查了求正切，折疊的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定,

熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

10.（2023?濟南）如圖，將菱形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點。落在射線C4上的點E處，折痕CP

交4）于點P.若NABC=3O。，AP=2,則PE的長等于—行+病

【分析】由四邊形ABCD是菱形和折疊可求NE=30。，過點A作AFLPE于點P,從而把AAPE轉化為兩

個直角三角形，進而解決問題.

【解答】解：過點A作AFLPE于點

?.,四邊形ABCD是菱形，

:.ZD=ZABC=30°,AD=CD,

ADAC=180°—/"=75o,

2

由折疊可知：ZE=ZD=30°,

:.ZAPE=ZDAC-ZAEP=45°,

在RtAAPF中，PF=AP-cosNAPE,

PF=AF=2XCOS45°=A/2,

Ap

在RtAAEF中，tan/AEP=——

EF

taAnF3^+6

EF=

3

:.PE=PF+EF=y/2+y/6,

故答案為：A/2+A/6.

【點評】本題考查了菱形的性質，圖形的折疊，解直角三角形等內容，解題的關鍵添加適當的輔助線構造

直角三角形解決問題.

11.（2023?吉林）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC<AC.點。，E分別在邊AB,BC±.,連接DE,

將ASDE沿QE折疊，點5的對應點為點8,若點8剛好落在邊AC上，NCB'E=30。，CE=3,則的

長為9.

【分析】根據折疊的性質以及含30。角的直角三角形的性質得出B'E=3E=2CE=6即可求解.

【解答】解：?將ABDE沿DE折疊，點3的對應點為點夕，若點夕剛好落在邊AC上，

在RtAABC中，ZC=90%BC<AC,ZCB'E=3Q°,CE=3,

:.B'E=BE=2CE=6,

:.BC=CE+BE=3+6=9.

故答案為：9.

【點評】本題考查了折疊的性質，含30。角的直角三角形的性質熟練掌握以上性質是解題關鍵.

12.（2023?邵陽）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=布,動點尸在矩形的邊上沿5-CfOfA運

動.當點尸不與點A、3重合時，將AAB尸沿AP對折，得到△A笈尸，連接CB,則在點尸的運動過程中，

線段CB，的最小值為—而-2_.

【分析】根據折疊的性質得出夕在A為圓心，2為半徑的弧上運動，進而分類討論當點P在BC上時，當點

P在DC上時，當P在AD上時，即可求解.

【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2,AD=幣，

BC=AD=y/l,AC=dBC2+AB2=，7+4=而,

如圖所示，當點尸在BC上時，

■.■AB'^AB=2,

.二3'在A為圓心，2為半徑的弧上運動,

當A,B',C三點共線時，CE最短，

此時C8'=AC—AB'=VH—2,

當點尸在OC上時，如圖所示,

當p在"）上時，如圖所示，此時CQ>JTT-2,

綜上所述，的最小值為而-2,

故答案為：A/1T-2.

【點評】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質是解題的

關鍵.

13.（2023?朝陽）在矩形A3CO中，AB=5,3c=6,點M是邊4）上一點（點M不與點A,。重合）,

連接CM,將ACDM沿CM翻折得到ACNM,連接4V,DN.當AA7VD為等腰三角形時，的長為

【分析】由矩形的性質得CD=AB=5,AD=BC=6,ZADC=90°,設LW與CM交于點T,由翻折的性

質得DT=NT,DM=NM,CM±DN,ZCNM=CDM=90°,分兩種情況討論如下:

①當4V=￡W時，過點N作于X,貝I]AH=OH=3,設MD=x,貝UM/=3-x,MN=X,由

勾股定理得：HN=y]6x-9,證AA歸DsAMDC,得NH:DM=HD:CD,即&x-9:x=3:5,由此解出x

即可；

②當DN=AD時，貝IZ)N=6,貝1IOT=77V=3,由勾股定理求出CT=4,證AD7MsAC7M,得

MD:CD=DT:CT,即MD:5=3:4,由此求出MD即可.

【解答】解：?四邊形ABCD為矩形，AB=5,BC=6,

.-.CD^AB=5,AD^BC=6,ZADC=90°,

設DN與CM交于點、T,

由翻折的性質得：DT=NT,DM=NM,CMLDN,NCNM=CDM=90°,

?.?A/WD為等腰三角形，

有以下兩種情況：

①當4V=ZW時，過點N作而_LAD于〃，貝l」AH=DH=3,如圖：

^MD=x,貝ijMW=3—x,MN=x,

在RtAMNH中，由勾股定理得：HN=^MN2-MH2=>j6x-9,

■：ZADC=9Q°,CM1DN,

ZDCM+ZNDC=90°,ZADN+ZNDC^90°,

:.ZDCM=ZADN,

又ZADC=NNHD=90°,

ANHD^AMDC,

,\NH:DM=HD:CD,

即J6x-9:x=3:5,

整理得：3X2-50X+75=0,

解得：x2=15（不合題意，舍去）;

②當ZW=AD時，則ZW=6,如圖：

;.DT=TN=3,

在RtACDT中，CD=5,DT=3,

由勾股定理得：CT=ylCD2-DT2=4,

,:CMLDN,ZADC=90°,

ZDCT+ZZCDN=90°,ZADN+ZCDN=90°,

;.ZDCT=ZADN,

又Z.DTM=ZCTD,

^DTMsXCTD,

:.MD:CD^DT:CT,

即MD:5=3:4,

4

綜上所述：DM的長為°或”.

34

【點評】此題主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，圖形的翻折及性質，勾股定理等，熟練掌握矩

形的性質，圖形的翻折及性質是解答此題的關鍵，靈活運用勾股定理及三角形的面積構造方程，及分類討

論是解答此題的難點，漏解是易錯點.

14.（2023?南京）如圖，在菱形紙片ABCD中，點E在邊鉆上，將紙片沿CE折疊，點3落在8處，CB'±AD,

,」2s

垂足為b.若CF=4cm,FB'=lcm,貝1」5￡二——cm.

一7一

【分析】作團于點"，由CF=4c〃z,FB'=lcm,求得BC=5cm,由折疊得BC=BC=5a",由菱

形的性質得3C//AD,DC=BC=5cm,ZB=ZD,因為C8_LAD于點P,所以NBCB，=NCFD=90。,

則NBCE=NBCE=45。,DF=JDC?一CF=30n,所以ZHEC=ZBCE=45。,則CH=EH,由

FH4RH34343

一=sinB=sinD=-,—=cosB=cosD=—，得CH=EH=—BE,BH=—BE,于是得一BE+—BE=5,

BE5BE55555

75

則BE=—cm.

7

【解答】解：作EH上BC于點、H,則NBHE=NCHE=90。,

?/CF=4cm,FB'=1cm，

B,C=CF+FB,=4+l=5(cm),

由折疊得6C=笈C=5s,ZBCE^ZBrCE,

?.?四邊形ABCD是菱形，

:.BCI/AD,DC=BC=5cm,ZB=ZD,

???CE_LAT＞于點尸，

:.NBCB=/CFD=9。。,

/BCE=/B'CE=-ZBCBf=-x90°=45°,DF=^DC2-CF2=A/52-42=3(cm),

22

,\ZHEC=ZBCE=45°,

:.CH=EH,

.?里=sin-inD=式)，嘰

BEDC5BEDC5

43

:.CH=EH=—BE,BH=—BE,

55

43

/.—BE+—BE=5,

55

25

/.BE=—cm，

7

故答案為：—.

7

【點評】此題重點考查菱形的性質、軸對稱的性質、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，正

確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

15.(2023?齊齊哈爾)矩形紙片ABCD中，AB=3,BC=5,點M在4)邊所在的直線上，且00=1,

將矩形紙片ABCD折疊，使點3與點以重合，折痕與AD,3c分別交于點E,F,則線段EF的長度為

3石-15

——或一■

2—4―

【分析】分點M在。點右邊與左邊兩種情況，分別畫出圖形，根據勾股定理，銳角三角函數即可求解.

【解答】解：設EF交于點O,

?.?將矩形紙片ABCD折疊，使點3與點〃重合，折痕與4),3c分別交于點E,F,

:.OM=OB,EF±BM,

,四邊形ABCD是矩形，

:.AD//BC,

ZM=Z.OBF,ZMEO=ABFO,

又OM=OB，

AOEM=AOFB(AAS),

:.OE=OF,

①當M點在。點的右側時，如圖所示，

AED

BFC

■.■BC=5,DM=1,

AM=AD+DM=BC+DM=6,

RtAABM中，

BM=7AM2+AB2=A/62+32=3石,

:.OM=-BM=—

22

?"二空AB

OM~AM

EO3

375-6

F

“。=孚

:.EF=2EO=—

2

當M點在D點的左側時，如圖所示,

AB=3fBC=5,DM=1,

:.BM=^AM2+AB1=7（5-l）2+32=5,

:.OM=-BM=-,

22

/廠“EOAB

tan/EMO=-----=

OMAM