中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角形的初步知識(shí)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

專題1.1三角形的初步知識(shí)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)11三角形的基本概念

三角形：不在同一條直線上的三條線段首尾相接所組成的圖形。

【知識(shí)點(diǎn)2】三角形的分類

1.按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形（定義，區(qū)別）。

2.按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。

【知識(shí)點(diǎn)3】三角形的基本性質(zhì)

1.三角形的內(nèi)角和：三角形內(nèi)角和是180。；

2.三角形三邊關(guān)系：三角形的任何兩邊的和大于第三邊（由兩點(diǎn)之間線段最短得到）；三角

形的任何兩邊的差小于第三邊；

3.三角形的外角：由三角形一條邊的延長(zhǎng)線和另一條相鄰的邊組成的角；

三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

【知識(shí)點(diǎn)4】幾條重要的線

1.三角形角平分線：一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和對(duì)邊交點(diǎn)的線段;

2.三角形的中線：連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段；

3.三角形的高；從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所在的直線作垂線段。

4.線段的垂直平分線（中垂線）：垂直并平分一條線段的直線。

線段垂線平分線性質(zhì)：線段的中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

線段垂線平分線逆定理：到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

5.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

角平分線的性質(zhì)定理逆定理：角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

【知識(shí)點(diǎn)5】全等三角形

1.全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形。形狀相同、大小相等的圖形；

2.全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形；

（1）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：能夠相互重合的頂點(diǎn)；

（2）對(duì)應(yīng)邊：相互重合的邊；有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；

（3）對(duì)應(yīng)角：相互重合的角。有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角；有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是

對(duì)應(yīng)角;

3.性質(zhì)定理：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。注意“對(duì)應(yīng)”二字。

4.全等三角形的判定條件

(1).SSS——三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(2).SAS----個(gè)角和夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(3).ASA——兩個(gè)角和這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(4).AAS--兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

問(wèn)題：為什么SSA不可以判定？

(5)HL.——直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

用符號(hào)g表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

(二)靈活運(yùn)用全等判定定理

1、判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，因此在

尋找全等的條件時(shí)，總是先尋找邊相等的可能性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。

3、要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等。

(1)已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等(ASA)②任一組等角的對(duì)邊相等(AAS)

(2)已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)

(3)已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

【知識(shí)點(diǎn)6】尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖：在幾何作圖中，我們把用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，簡(jiǎn)稱尺規(guī)作圖。

1.基本作圖作等量線段、作等量角、作線段的和差倍、作角的和差倍、

2.作線段的中垂線、作角的平分線、中垂線角平分線在一起作、

3.作三角形知三邊、知兩邊夾角、知兩角夾邊、知一邊及該邊上的高

作法：有規(guī)定名稱時(shí)需格外注意字母的標(biāo)注

注意務(wù)必考慮三角形的各要素(類比于三角形全等的判定條件)。

【知識(shí)點(diǎn)7】定義、命題與證明

1.定義：能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語(yǔ)的定義。

2.命題：定義：判斷某一件事情的句子

結(jié)構(gòu)：由條件和結(jié)論兩部分組成。

句式改寫：如果……那么……

分類：真命題通過(guò)推理的方式來(lái)判斷、人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐公認(rèn)為正確的

假命題通過(guò)舉反例（具備命題的條件但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例）

3.互逆命題原命題、逆命題互逆定理原定理、逆定理

每個(gè)命題都有它的逆命題，但每個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題。

4.證明：從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實(shí)、定理（包括推論）、一步一步推

得結(jié)論成立的推理過(guò)程。

證明幾何命題的格式：（1）按題意畫出圖形⑵分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在已

知中寫出條件，在求證中寫出結(jié)論（3）在證明中寫出推理過(guò)程。

在解決幾何問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要添加輔助線。添輔助線的過(guò)程要寫入證明中，輔助線通常

畫成虛線。

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】構(gòu)成三角形的條件與確定三角形第三邊取值范圍

【例1】（23-24八年級(jí)上廣西梧州?期中）如圖,NMON=90。,點(diǎn)A,3分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，跖平分

ZNBA,BE的反向延長(zhǎng)線與NBA。的平分線交于點(diǎn)C,若VABC三邊長(zhǎng)分別為a,6,c.

（1）化簡(jiǎn)I。一人+。|_|。_b一同；

（2）求ZC的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)三角形構(gòu)成條件可以將人+dT〃-b-d化簡(jiǎn)，繼而得出答案;

（2）利用角平分線性質(zhì)及外角和定理，先利用角平分線性質(zhì)得出角度相等的結(jié)論,再利用外角進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換,

繼而得到本題答案.

解：(1)解:回兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

^b-c<a<b-\-c,

回a_Z?+c|—-h—c|—-(h-c)|一\ct-(Z?+c)|f

回〃一(Z?—c)〉0,a—(Z?+c)v0,

^\\a—(b—c)\=a—b+c/\a—(b+c')\=—a+b-i-cf

團(tuán)—Z?+c|一—b—c|=a—b+c—(—a+Z?+c)=2a—2Z7,

故答案為：2a-2b.

(2)解:根據(jù)題意知:Z4BN=NAO5+NR4O,

0BE平分ZNBA,AC平分/BAO,

0NABE=-ZABN,ABAC=-ZBAO,

22

0ZC=NABE-ABAC=1(ZAOB+NBAO)-1ZBAO=|ZAOB,

^\ZMON=90°,

0ZC=45°.

故答案為：45。.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形構(gòu)成條件，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，角平分線性質(zhì)及外角和定理.

【變式1】(23-24七年級(jí)下?江蘇蘇州?開學(xué)考試)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和7,另一邊長(zhǎng)。為偶數(shù).且

2<a<8,這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是()

A.13B.15C.15或17D.17

【答案】B

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系.此題屬于易錯(cuò)題，解題時(shí)，往往根據(jù)2<。<8取〃的值為4或6,而

忽略了三角形的三邊關(guān)系，致使解答錯(cuò)誤.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，第三邊的長(zhǎng)一定大于已知的兩邊的差，

而小于兩邊的和.求得相應(yīng)范圍后，根據(jù)另一邊長(zhǎng)是偶數(shù)舍去不合題意的值即可.

解：7-2=5,7+2=9,

.\5<a<9.

又,2vav8,

「.5va<8.

。為偶數(shù),

：.a=6.

，周長(zhǎng)為9+6=15.

故選：B

【變式2】（24-25八年級(jí)上?吉林?開學(xué)考試）若某三角形的兩條邊分別是3,4,那么它第三邊的取值范

圍是?

【答案】1〈第三邊<7

【分析】此題考查三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據(jù)三角形

三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解，掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.

解：設(shè)三角形的第三邊長(zhǎng)為。，

團(tuán)4—3Va<4+3,

解得：l<a<7,

回它第三邊的取值范圍是l<a<7,

故答案為：1（第三邊<7.

【題型2】與三角形三條重要線段有關(guān)的求值與證明

【例2】（22-23七年級(jí)下?湖南衡陽(yáng)?期末）如圖，在VABC中，AD±BC,AE為VABC的角平分線，點(diǎn)

尸是邊的中點(diǎn)，已知“AFC的面積為12,AD=3,ZZME=10°,ZC=30°.

（1）求3c的長(zhǎng)度;

（2）求的度數(shù).

【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線、高、三角形的面積等.（1）求出SA.C=S=FB=12,根據(jù)

三角形的面積求出=8,再求出結(jié)果即可；

（2）求出/4￡0=180。一90?！?0。=80。，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求/C4E=NA￡D—/C=50。，根據(jù)角平

分線求出？2?CAE100?,再求出即可.

解：（1）解：回點(diǎn)歹是2C邊的中點(diǎn)，

⑦BC=2BF=2CF,BF=CF,

團(tuán),^AAFC==12,

團(tuán)AD-3,

I?]—xBFx3=12,

2

團(tuán)BF=8,

BBC=2BF=16；

（2）解：^AD±BC,

團(tuán)/ADC=90。,

^\ZDAE=10°,

團(tuán)ZAED=180°-90°-10°=80°,

又回NC=30。，

^\ZCAE=ZAED-ZC=50°,

團(tuán)A￡為VABC的角平分線，

團(tuán)？B4C2?CAE100?,

BZB=1800-ZC-ZBAC=50°.

【變式1】（22-23八年級(jí)上?湖北荊門?單元測(cè)試）如圖，在VA3C中，已知點(diǎn)。、E、尸分別是5C、AD.CE

的中點(diǎn)，且SABC=2,SBEF=（）

11

A.2B.1C.-D.-

24

【答案】C

【分析】本題考查了利用三角形的中線求三角形的面積，根據(jù)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)得出sBOE=；SA皿，

$△3=；打心，進(jìn)而得至"BCE=1，再根據(jù)尸為CE的中點(diǎn)，得到S耐=；SBCE，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案，

熟練掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解此題的關(guān)鍵.

解：、點(diǎn)E是的中點(diǎn),

-SABDE=5,^AABD，S&CDE="^AkCD，

'''S.BDE+S.CDE=/SABD+,ACD=,ABD+,ACD)=,ABC=

S.BCE=1，

,尸為CE的中點(diǎn)，

.<_1」

一》BEF-2?BCE-oX1—2，

故選：C.

【變式2】（23-24八年級(jí)上?河南許昌?期中）如圖，在VA3C中，AD,AE分別是邊BC上的中線與高,

AE=2,VA5C的面積是6,則8。的長(zhǎng)是.

【分析】本題主要考查了三角形面積計(jì)算，三角形中線的性質(zhì)，先根據(jù)三角形中線平分三角形面積得到

5AABD=1^C=3,再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可.

解：回VABC的面積是6,AD是VABC的中線，

回^AABD=^AABC=3，

團(tuán)AE是VABC的fWj,且AE=2,

國(guó)LAEBD=3,

2

也BD=3,

故答案為：3.

【題型3】與三角形內(nèi)角和有關(guān)的求值與證明

【例3】（23-24七年級(jí)下?四川內(nèi)江?開學(xué)考試）已知PM〃4V,且Z4=40。，點(diǎn)C是射線4V上一動(dòng)點(diǎn)

（不與點(diǎn)A重合），PB,PD分別平分NAPC和/MPC,交射線AN于點(diǎn)3,D.如圖：

⑴求ZBPD的度數(shù)；

⑵當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到使NP54=NAPD時(shí)，求的度數(shù)；

⑶在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NPC4與/PD4之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由；若不存在，請(qǐng)舉出反例.

【答案】(1)N5尸。=70。(2)ZAPB=35°⑶存在，且NPC4=2NPZM；理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，三角

形外角的性質(zhì)，角平分線的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)計(jì)算出再運(yùn)用角的平分線的定義計(jì)算即可；

(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運(yùn)用角的平分線的定義計(jì)算即可；

(3)根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運(yùn)用角的平分線的定義，平行線的性質(zhì)證明即可.

解：(1)解：^\PM//AN,且24=40。，

SZAPA/+ZA=180°,

=140°,

PD分別平分/APC和NMPC,

團(tuán)/BPC=-ZAPC,ZDPC=-ZMPC,

22

團(tuán)ZBPD=ZBPC+ZDPC=-ZAPC+-ZMPC=-ZAPM,

222

0ZAPM=140°,

@NBPD=70。.

(2)解：⑦NPBA=NBPD+/PDB,ZAPD=ABPD+ZAPB,ZPBA=ZAPD,

田NPDB=ZAPB,

^\PM//ANf

國(guó)NMPD=NPDB=NCPD,

田NPDB=NAPB=/BPC=NCPD=/DPM,

回4NAP5=ZAPM=140°,

0ZAPB=35°.

(3)解：存在，且NPC4=2NPZM.理由如下：

^\PM//AN,PD平分ZMPC,

國(guó)/MPD=NPDB=NCPD,

團(tuán)ZPCA=ACPD+APDB,

0ZPC4=2ZPZM.

【變式l】（2024?陜西西安?三模）如圖，在VABC中，C。是NACB的角平分線，點(diǎn)E在AC上，DE//BC,

A.37°B.32°C.22°D.44°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出

ZACB=44°,進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義，以及平行線的性質(zhì)，即可求解.

解：EZA=62°,ZB=74°,

0ZACB=18O°-ZA-ZB=18O°-62°-74°=44°,

回cr＞是/Ace的角平分線，

0ZACD=ZBCD=22°

0DE〃BC,

0ZEDC=Z.BCD=22°,

故選：C.

【變式2】（22-23七年級(jí)下廣東深圳?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，AD平分NBAC,EFJ.AD于F,

NB=40°,ZACE=76°,則/E的度數(shù)為.

A

【答案】32°

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

由三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，由角平分線定義求出-BAD的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)求

出一ADC的度數(shù)，即可求出NE的度數(shù).

解：ZACE=ZB+ZBAC,

ABAC=ZACE—NB=76°-40°=36°,

AD平分254C,

ZDAB=-ZBAC=18°,

2

ZADC=AB+ADAB=40°+18°=58°,

￡F_LAD于尸，

:.ZEFD=90°,

:.NE=90°-ZADC=90°-58°=32°.

故答案為:32°.

【題型4】全等的性質(zhì)與SSS綜合證明三角形全等

【例41（23-24八年級(jí)上?河南許昌?期中）證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等,

那么這兩個(gè)三角形全等.

請(qǐng)結(jié)合所學(xué)將如下證明過(guò)程補(bǔ)充完整：

已知：如圖，VABC與AB'C',AB=AB',AC=AC,CO是VASC的中線，CD'是AB'C'的中線，

①一

求證：△ABC四△A'3'C'

證明：團(tuán)CO是VABC的中線，C'。'是，AB'C'的中線,

BAD=-ABA'D'=-A'B',

22

又回=

回②.

在△ADC和△ADC中

AC=A'C

<CD=CD'

AD=A'D'

fflADC^A'D'C(SSS)

EIZA=(3)_

在VABC和中

AC=A'C

<④.

回⑤_(SAS)

【答案】①CD=C'D';@AD^AD-③/A';④ZA=ZA';⑤△ABC之△A3'C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)題意可得①處的條件為CD=C'D,再根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)與判定定理結(jié)合已給推理過(guò)程證明即可.

解：由題意得，①處的條件為CD=C'D'

證明：團(tuán)C。是VABC的中線，C力是的中線，

^AD^-ABA'D'=-A'B',

22

又回A3=A'B'，

^AD=AD'

在△ADC和△AD'C'中

AC=A'C

<CD=CD'

AD=A'D'

0ADC^AD'C'(SSS)

EINA=NA'_

在丫45。和_中

ACA'C

<ZA=/A

AB=A'B'

0ABCWA3'C'(SAS)

【變式1】(23-24八年級(jí)上?浙江湖州?期末)已知，如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的，圖

中的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則Nl-N2-N3的度數(shù)為()

【答案】C

【分析】本題考查網(wǎng)格中的全等三角形，會(huì)利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和是解答的關(guān)鍵.根據(jù)網(wǎng)

格特點(diǎn)，可得出4=90。,N2+N3=45。，進(jìn)而可求解.

由圖可知：AB=CD,BE=DE,AE=CEf

回△ABE之

團(tuán)N2=NOCE,

0BECD,

國(guó)NDCE=NBEC,

國(guó)NBEC=N2,

0Z1=ZBEC+ZA￡B=Z2+ZA￡B=9O°,

團(tuán)N2+N3=ZDCE+N3=45。，

0Z1-Z2-Z3=45O.

故選C.

【變式2】（2024八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在VABC和VADE中，AD^AB,AE^AC,DE=BC,

若/ZMC=5。，NE4c=30。，ID90?,則NC的度數(shù)是.

A

【答案】55。/55度

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABC2AW石(SSS).證明

△ABC^AADE(SSS),可得NHAC=NZME,ZB=ZD=90°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題.

解：在VABC和VAT?中,

AB=AD

<AC=AEf

BC=DE

ABC^,.ADE(SSS),

:.NBAC=/DAE,ZB=ZD=90°,

ZDAC=5°,N￡4C=30。，

ZBAC=35°,

.-.zc=90°-35°=55°.

故答案為：55°.

【題型5】全等的性質(zhì)與SAS綜合證明三角形全等

【例5】(2024八年級(jí)上?浙江?專題練習(xí))已知VABC和CDE均為等邊三角形，A、C、E在一條直線上.求

證：

(1)AD=BE；

⑵DPC^EQC.

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE,求出/AC。=/BCE,再根據(jù)全

等三角形的判定定理推出△ACD/ABCE即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NPOC=NQ￡C,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NACB=NOCE=60。，求

出NOCP=ZEC。，再根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可.

解：(1)證明：即ABC和，CDE是等邊三角形，

AC=CB,

CD=CE,

ZACB=/DCE,

:.ZACD+/BCD=ZECD+ZBCD,

即ZACD=/BCE,

在.ACD和5C￡中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

:./\ACD^/\BCE(SAS),

AD=BE；

(2)解：,ACD學(xué)匕BCE,

NPDC=NQEC,

ABC和二CC史均為等邊三角形，

,\ZACB=ZECQ=60°9

/.ZDCP=180?！猌ACB-ZQCE

=60。，

即ZDCP=ZECQ,

在△DR?和.石。C中，

ZPDC=ZQEC

<DC=CE,

ZDCP=ZECQ

:.DPCMEQC(ASA).

【變式1】(23-24七年級(jí)下?四川成都?期中)如圖，已知VA5C的面積為32,平分NABC,且

于點(diǎn)尸，則3PC的面積是()

A

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，

作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)AP交3C于E,根據(jù)已知條件證得根據(jù)全

等三角形性質(zhì)得到=得出SABP=SEBP，SAcp-SE（Jp,推出SpBC=1s

解：延長(zhǎng)"交BC于區(qū)

團(tuán)3尸平分/ABC,

@ZABP=NEBP,

OAP_LBP,

ZAPB=ZEPB=90°,

在&ABP和AEBP中，

/ABP=NEBP

<BP=BP,

/APB=ZEPB

國(guó)一ABP^EBP,

@AP=PE,

團(tuán)S/\ABP~SAEBP，^△ACP=%ECP，

團(tuán)SPBC=；S.c=；x32=16,

故選B.

【變式2】（22-23八年級(jí)上?遼寧大連?期末）如圖，VABC的角平分線50,CE交于點(diǎn)。，ZA=60°,用

等式表示線段跖，CD,的數(shù)量關(guān)系為.

A

【答案】BE+CD=BC

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，及角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，在上找到下

使得BF=BE,連接。/，由NA=60。，BD、CE是VABC的角平分線，

得/8OC=120。，然后證明&BOE咨BOF(SAS),OCFqOCD(ASA)即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解

題的關(guān)鍵.

解：證明：如圖，在2C上找到F使得砥=BE,連接。尸，

0ZA=6O°,BD、CE是VABC的角平分線，

0ZBOC=180。-；(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=120°,

51ZBOE=ZCOD=60°,

回VABC的角平分線CE交于點(diǎn)。，

0/1=/2,N3=/4,

在他。石和50斤中，

BE=BF

<Z1=Z2,

BO=BO

0BOE^.BOF(SAS),

@ZBOF=ZBOE=60。，

團(tuán)ZCOF=ZBOC-ZBOF=60°,

在△OC廠和eOCD中，

ZCOF=ZCOD

<oc=oc

N4=N3

回OCFgOCD(ASA),

0OF=CD,

0BC=BF+CF,

0BE+CD=BC,

故答案為：BE+CD=BC.

【題型6】全等的性質(zhì)與ASA(AAS)綜合證明三角形全等

【例6】(23-24八年級(jí)上?重慶九龍坡?期中)如圖，在.AfiC中，AB^AC,/ABC的角平分線交AC于

點(diǎn)、D,過(guò)點(diǎn)A作AE〃3C交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)若NB4C=40。，求NE的度數(shù).

⑵若尸是DE上的一點(diǎn)，且AD=”，求證：BD=EF.

【分析】本題考查了平行線及角平分線的性質(zhì)和圖形的全等，解題時(shí)注意結(jié)合圖形分析已知條件與問(wèn)題之

間的位置關(guān)系，把條件與問(wèn)題的聯(lián)系作為主要的思考方向.

(1)由AB=AC可求的大小，因班是其角平分線，即=由AE〃BC,可得

NE=NCBE=L/ABC

2

(2)仞=斯可得//4￡)尸=//司＞,進(jìn)而得出NADB=NAFE,又有/E=/CBE=/ASE可推出

ABD^,AEF(AAS),即可得出答案.

解：(1)解：SAB=AC,

SZABC^ZACB,

SZBAC=40°,

0NABC=1(180°-ZBAC)=70°

⑦BD平分NABC,

ZCBD=-ZABC=35°

2f

團(tuán)AE〃5C,

回NE=NCBD=35。.

(2)證明：團(tuán)BD平分/ABC,

回NABD=NCBD,

^AE//BCf

國(guó)NAEF=NCBD,

^ZABD=ZAEF,

團(tuán)AD=AF,

⑦ZADF=ZAFD,

ZADB=1800-ZADF,ZAFE=1SO°-ZAFEf

BZADB=ZAFE,

在△ABD和△?!￡尸中，

ZADB=ZAFE

</ABD=/E

AD=AF

回一ABD空AE-AAS),

田BD=ED.

【變式l】（23-24七年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期末）新定義：已知三條平行直線，相鄰兩條平行線間的距離相等，

我們把三個(gè)頂點(diǎn)分別在這樣的三條平行線上的三角形稱為''格線三角形〃.如圖，a//b//c,相鄰兩條平行

線間的距離為機(jī)，等腰RtAABC為〃格線三角形〃，且NR4C=90。，則VABC的面積為（）

b

A.—iv1B.2m2C.5m2D.4m2

2

【答案】A

【分析】本題主要考查平行線間的距離，全等三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)B作班，直線。于點(diǎn)￡,延長(zhǎng)旗

交直線c于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CD_L直線〃于點(diǎn)￡),證明-Cm空AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m,

CF=DE=AD+AE=m+2m=3m,再根據(jù)=S四邊形桃在一S數(shù)。x2-S叱/求解即可

解：過(guò)點(diǎn)B作班，直線。于點(diǎn)￡；,延長(zhǎng)交直線c于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作C￡)_L直線〃于點(diǎn)￡),則

ZCDA=ZAEB=90°,如圖，

0a〃b//c,相鄰兩條平行線間的距離為處

團(tuán)BF上直線c,CD=2m,BE=BF=m,

團(tuán)ZCAB=90°,ZCDA=90°

SZDG4+ZZMC=90°,

國(guó)/DCA=/EAB,

在/CQ4和一AEB中，

ZDCA=ZEAB

<ZCDA=ZAEB,

AC=AB

團(tuán)-CD4WB(AAS),

團(tuán)AE=CD=2m,AD=BE=m,

團(tuán)CF=DE=AD+AE=m+2m=3m

2

回VABC的面積=S四邊形QEbE-SACDx2-5BCF=3mx2m-^-x2mxmx2--x3mxm=^m

故選：A

【變式2】(23-24八年級(jí)上?重慶沙坪壩?期中)如圖，VA3C中，NA4C=90。，AB=3,AC=4,BD平

分NASC,且AD_L8D,則△45。與△ADC的面積和是.

【答案】3

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等

三角形是解題關(guān)鍵.延長(zhǎng)AD交3。于點(diǎn)E,證明.海名￡BD（ASA）,由全等三角形的性質(zhì)可得AD=￡D,

SABD=SEBD，進(jìn)而可知SCAD=SCED,即可獲得答案.

解：如下圖，延長(zhǎng)AD交于點(diǎn)￡,

國(guó)NBAC=90。,AB=3fAC=4f

05AABC=|ABAC=1X3X4=6,

國(guó)BD平分NABC,

⑦ZABD=ZEBD,

國(guó)ADLBD,

^ZBDA=ZBDE=90°,

在△儂）和△EBD中,

NABD=/EBD

<BD=BD,

ABDA=ZBDE

團(tuán)ABD咨EBD（ASA）,

國(guó)AD=ED，SABD=SEBD，

團(tuán)SCAD~SCED，

回S.D+Sme=^SABC=3X6=3.

故答案為：3.

【題型7】線段垂直平分線性質(zhì)與判定進(jìn)行求值與證明

【例7】（22-23七年級(jí)下?四川達(dá)州?期末）如圖，已知：AB//CD,ZBAE=ZDCF,AC,所相交于

點(diǎn)、M,有=

⑴試說(shuō)明：AE//CF；

⑵若AM平分NE4E,試說(shuō)明：FE■垂直平分AC.

AB

E

\/M\\

DC

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直平分線的判定.熟知平行線的性質(zhì)、垂直平分線的判定是解答此

題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)AB〃C￡＞得出=再由N54E=NOCF可知/EW=/也0,故可得出結(jié)論；

(2)先由AM平分44E得出NE4M=NEW,再根據(jù)=可知NE4M=NFCM,得AF=FC,

再由AM=CM,即可得出結(jié)論.

解：(1)解：S1AB//CD,

B1ZBAC=ZDCA.

又回Z.BAE=NDCF,則ABAC-ZBAE=ZDC4-ZDCF

SZEAM=ZFCM,

0AECF；

(2)回AM平分44E,

ElNEW=NEW.

XEZEW=ZFCM,

S\ZFAM=ZFCM,

0AF=FC.

^AM=CM,

El￡F垂直平分AC.

【變式1】(2024八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí))如圖，在VABC中，A3的垂直平分線DM交BC于點(diǎn)。，邊

AC的垂直平分線EN交BC于點(diǎn)E.已知VADE的周長(zhǎng)為8cm,則BC的長(zhǎng)為()

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【答案】D

【分析】本題考查垂直平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，DM是A3的垂

直平分線，EN是AC的垂直平分線，則80=4),AE=EC；根據(jù)VADE的周長(zhǎng)為8cm,即可.

解：回。欣是的垂直平分線，EN是AC的垂直平分線，

^BD=AD,AE=EC,

回VADE的周長(zhǎng)為8cm,

國(guó)AD+AE+DE=8cm,

團(tuán)BC=BD+DE+EC,

0BC=AD+DE+AE=8cm.

故選：D.

【變式2】(2023?吉林松原?一模)如圖，在VABC中，ZACB=90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于;AC

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于N兩點(diǎn)，作直線MN,直線MN與A3相交于點(diǎn)。，連接C。，若AB=3,

【答案】1.5

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì).根據(jù)題意可知：是線段AC

的垂直平分線，所以AD=CD,再判斷出3r)=CD,于是AD=BD.

解：由已知可得，是線段AC的垂直平分線，

設(shè)AC與的交點(diǎn)為E,

AD=CD,

.\ZA=ZACDf

ZA+ZB=90°,ZACD+NDCB=90。，

.?.NB=NDCB,

/.AD=BD,

：.CD=AD=-AB=1.5,

2

故答案為：1.5.

【題型8】角平分線性質(zhì)與判定進(jìn)行求值與證明

【例8】(23-24八年級(jí)上?山東聊城?階段練習(xí))如圖所示，ZA=ZB=90°,P是A3的中點(diǎn)，且。P平分

ZADC,連接PC.

⑴試說(shuō)明CP平分/BCD；

(2)線段尸。與PC有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

An-AD

8a---------

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)PDSC,理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理.根據(jù)題意正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

(1)由題意過(guò)點(diǎn)P作尸E_LC￡),垂足為E,先求出PE=R4,再求出PE=PB,從而證明CP平分/BCD；

(2)根據(jù)題意利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得NPDC+NPCD=90。，從而求證兩直線垂直.

解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)尸作PELCD,垂足為E,如圖所示：

EIDP平分NADC,

^ZADP=ZEDP,

SPA1.AD,PELCD,

^PE=PA(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等),

又回產(chǎn)是A3中點(diǎn),

SPA^PB,

SPE=PB,

^PBLBC,PELCD,

回CP平分/BCD；（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.

（2）解：PDLPC,理由如下：

0ZA=ZB=9O°,

HAD^AB,AB±BC,

^AD//BC（垂直于同一條直線的兩條直線平行），

0ZADC+ZBCD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

X0ZPDC=|ZCDA,NPCD=g/DCB（角平分線定義），

02NPDC+2ZPCD=180°,

azpr>c+zpcr>=90°,

SZCPD=90°,即尸D_LPC.

【變式1】（23-24八年級(jí)上?山東聊城?期末）如圖，已知點(diǎn)尸在射線上，PA±AB,PC±BC,垂足

分別為A,C,且以=PC,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AD^CPB.點(diǎn)。在—ABC的平分線上

C.Z\ABD^Z\CBDD.ZADB=ZCDB

【答案】A

【分析】該題主要考查了角平分線判定和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等.

根據(jù)上4=PC得出點(diǎn)。在—ABC的平分線上，再證明.一PCB和△ABZ汪△CBD即可證明.

解：B\PA±AB,PCVBC,PA=PC,

^\ZPAB=ZPCB=90°,3尸是/ABC的角平分線，

回點(diǎn)。在/ABC的平分線上，故B正確，

在MPA3和RfPCS中，PA=PC,PB=PB,

SRtPAB^RtPCB（HL）,

SZABP=ZCBP,AB=BC,

在△ABD和△CBZ）中，BD=BD,ZABD=Z.CBD,AB=BC,

0ABD=.CBD^SAS^,故C正確，

^\ZADB=ZBDC,故D正確.

故選：A.

【變式2】（2024八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD=3,BC=S,對(duì)角

線3。平分/'ABC,則△BCD的面積為一.

【答案】12

【分析】本題主要考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，過(guò)。作。EL3C于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得

出OE=AD=3,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

解：過(guò)。作DELBC于E,

0ZA=9O°,對(duì)角線3。平分/ABC,

0DE=AD=3,

0BC=8,

EISRrn=^-BC.￡>E=-x8x3=12.

BCD22

故答案為：12.

【題型9】尺規(guī)作圖中的求值與證明

【例9】（23-24八年級(jí)上?重慶渝北?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,ADJ.BC,垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)E

在AD的延長(zhǎng)線上.

A

⑴尺規(guī)作圖：作-ACB的平分線交AD于點(diǎn)尸（按要求完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）填空：在（1）的條件下，若2ZEBD=ZABC,試說(shuō)明=

證明：0AB=AC,ADJ.BC,

0BD=,ZABC=,

S2ZEBD=ZABC,

02NEBD=,

又回CF平分/ACB,

02_=ZACB,

回NEBD=,

在dBED和△CFD中，

ZEBD=ZFCD

<BD=CD,

NBDE=NCDF

團(tuán)BED=,.CFD（ASA）,

回DE=DF.

【答案】⑴作圖見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，以小于8C為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為

圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線CP,交AO于點(diǎn)尸；

（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得9=CD,ZABC^ZACB,結(jié)合已知條件得2/幽？=4/，再根據(jù)

角平分線定義可得/￡比》=/。。5,然后根據(jù)"ASA"證明—血）回△CTO,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

答案.

解：（1）解：如圖所示.

A

（2）^\AB=ACfAD.LBC,

⑦BD=CD,ZABC=ZACB.

⑦2ZEBD=ZABC,

02/EBD=AACB.

團(tuán)C廠平分/AC6,

團(tuán)24/F=AACB,

⑦/EBD=/DCF.

在二鹿）和△CTO中，

ZEBD=ZDCF

<BD=CD,

ZBDE=ZCDF

團(tuán)_痛）團(tuán)△CFD（ASA）,

⑦DE=DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的定

義等，證明線段相等的常用方法是證明兩個(gè)三角形全等.

【變式1】（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，AM是VA3C的角平分線，以M為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

畫弧交直線AB于。，E兩點(diǎn)，分別以Q,E為圓心以大于goE為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N位于

直線的兩側(cè)），作直線交于點(diǎn)F若AC=5,M/=2,則AMC的面積為（）

D

A.3B.7C.5D.10

【答案】C

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì).根據(jù)尺規(guī)作圖可得叱垂直平分AB，再由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)

M到AB的距離等于點(diǎn)M到AC的距離等于MF=2,

解：由作法得叱垂直平分AB，

國(guó)A〃是VABC的角平分線，

回點(diǎn)M到AB的距離等于點(diǎn)M到AC的距離等于MF=2,

0AMC的面積工倉(cāng)也5=5.

2

故選：C.

【變式2】（23-24九年級(jí)下?山東聊城期中）如圖所示是作圖后的痕跡.在中，NACB=90。，

以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交C4,C3于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)到點(diǎn)。的長(zhǎng)為半

徑作弧，交于一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)和點(diǎn)。作直線交A3于點(diǎn)D以點(diǎn)。為圓心畫弧交8C于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)分

別為圓心，以大于這兩點(diǎn)長(zhǎng)的;為半徑畫弧交于一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)和點(diǎn)。作直線交3c于點(diǎn)E.若AC=2,3C=3,

則DE的長(zhǎng)為.

【分析】本題考查對(duì)作角平分線和作垂線的理解，以及角平分線性質(zhì)，作。尸1AC于點(diǎn)尸，由題干作圖

過(guò)程可知，CD平分1ACB,DELCB,利用角平分線性質(zhì)得到DE=小，再利用等面積法求解，即可解

題.

解：作上/AC于點(diǎn)廠，

由題干作圖過(guò)程可知，CO平分/ACS,DELCB,

DE=DF,

在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=3,

:.S.=-BCAC=-BCDE+-ACDF,

.ABRCr222

2x3=3DE+2DE,

解得

故答案為：j.

【題型10］全等三角形綜合問(wèn)題

【例10】(22-23八年級(jí)上?江西贛州?階段練習(xí))如圖，在VABC中，，3=60。，AO平分，BAC,CE平

分NBCA,AD.CE交于點(diǎn)/，CD=CG,連接PG.

⑴求證：FD=FG；

⑵線段BG與小之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若48力60。，其他條件不變，則(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出判斷結(jié)果，不必說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析⑵FG=FE,證明見(jiàn)解析(3)(2)中結(jié)論不成立

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌

握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)證明。CED也‘CFG,由全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；

(2)結(jié)合題意證明/AFG=/AEE=60。，結(jié)合AF=AF,NE4G=/E4E即可證明，AFG瑪AFE,由全等

三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；

(3)(2)中結(jié)論不成立.因?yàn)闊o(wú)法證明/AFG=/AEE,故不能判斷，AFG也.常，所以(2)中結(jié)論不

成立.

解：(1)證明：I3EC平分NACB,

0NFCD=NFCG,

0CG=CD,CF=CF,

0CFD^.CFG(SAS),

SFD=FG.

(2)結(jié)論：FG=FE.

理由：0/3=60°,

0ZBAC+ZBC4=12O°,

E1AD平分/BAC,CE平分N3C4,

0ZACF+ZFAC=；(NBCA+ZBAC)=120°,

0ZAFC=120°,ZCFD=ZAFE=60°,

0CFD均CFG,

EINCED=NCFG=60°,

^ZAFG=ZAFE=60°,

SAF=AF,ZFAG^ZFAE,

0AFG與AEE(ASA),

SFG=FE.

(3)結(jié)論：(2)中結(jié)論不成立.

理由：圉/3工60°,

回?zé)o法證明ZAFG=ZAFE,

團(tuán)不能判斷.AFGgAFE,

0(2)中結(jié)論不成立.

【變式1】(23-24七年級(jí)下?重慶?期末)如圖，點(diǎn)。是VABC外一點(diǎn)，DB=DC,DA,ZBDC=ABAC,

過(guò)點(diǎn)。作DEIAB于E,AB=10,AC=4,則AE=.

D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)。作上LC4,證明，￡>￡?絲DFC,得至l|3E=CF,

DE=DF,再證明右凡^陵.AED,推出2AE=AB-AC=6,即可得出結(jié)果.

解：過(guò)點(diǎn)。作DBJLCA于點(diǎn)f，則NCED=90。，

0NDBE=NDCF,

⑦DEJ.AB,

⑦NDEB=ZAED=90。=NDFC,

又國(guó)DB=DC,

團(tuán)DEB緣DFC,

國(guó)BE=CF,DE=DF,

回AD=A￡）,ZAED=90°=ZDFC.

國(guó)一AFD冬二AED,

團(tuán)AF=AE,

^AC+AF=AB-AE,

團(tuán)2AE=AB—AC=6,

團(tuán)AE=3；

故答案為：3.

【變式2】（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，AD和CE是VABC的高，交于點(diǎn)F,且BD=FD=4,

CD=1,則"的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊角.

先證明NAZXB=Na>=NCES=90。，則N54。=ZFCD=90。—,即可根據(jù)全等三角形的判定定理

"AAS"證明ABD^,CFD,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明AD=CD=7,則AF=AD-ED=3.

解：AD,3c于點(diǎn)D,CE_LAB于點(diǎn)、E,

ZADB=ZCDF=Z.CEB=90°,

ZBAD=Z.FCD=90°-ZB,

在和△CTO中，

ZADB=ZCDF

<ZBAD=ZFCD,

BD=FD

ABD^.CFD(AAS).

AD=CDf

AD=1,

r

,\AF=AD-FD=7-4=3f

的長(zhǎng)是3.

故選：A.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024?廣東深圳?中考真題）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分

NBAC的是（）

A.①②B.①③C.②③D.只有①

【答案】B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分線的

定義.利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可.在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分—A4C；

在圖③中，利用作法得AE=AF,AM=AN,可證明，ARWgAE7V,有=可得ME=NF,

進(jìn)一步證明△MD比△AKF,得DM=DN,繼而可證明八4。加■9/XADN,得ZMAD=/NAD,得到AD是

N54C的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到。點(diǎn)為8c的中點(diǎn)，則AD為8c邊上的中線.

解：在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分N54C；

在圖③中，利用作法得AE=AF,AM=AN,

B

工M/

在ZWM和ZVlfiV中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

W.AFM—A￡N（SAS）,

團(tuán)NAMD=NAA?,

AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

在二MD￡和二ND廠中

"AMD=/AND

<ZMDE=ZNDF,

ME=NF

回MDE-NDF（AAS）,

⑦DM=DN,

回AD=AD,AM=AN,

0AOM0-ADN（SSS）,

^\ZMAD=ZNAD,

團(tuán)A￡）是/班。的平分線；

在圖②中，利用基本作圖得到。點(diǎn)為5C的中點(diǎn)，則AD為5C邊上的中線.

則①③可得出射線AD平分1R4C.

故選：B.

【例2】（2021?江蘇連云港?中考真題）如圖，破是VA5C的中線，點(diǎn)廠在班上，延長(zhǎng)AF交于點(diǎn)D若

BD

BF=3FE,則——二

DC

A

BDC

【答案】|3

【分析】連接ED由BE是NABC的中線，得至US△諛=SABCE,S血=SEDC,由3F=3EE,得到

5s