垂直的判定與性質(zhì)講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

知識點一線面垂直的判定與性質(zhì)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.線線垂直的判定

（1）等腰三角形中線（2）勾股逆定理（3）菱形對角線（4）矩形鄰邊（5）正方形對角線與鄰邊

（6）圓直徑所對圓周角（7）線面垂直的性質(zhì)

※若提及空間中兩個角相等，應(yīng)證明全等，進而得到邊相等，利用等腰三角形的性質(zhì)

※若菱形有一內(nèi)角為60°,則120°角頂點與對邊中點的連線與對邊垂直

2.線面垂直的判定

判定性質(zhì)

圖形表示數(shù)學(xué)語言表示圖形表示數(shù)學(xué)語言表示

線

面

垂

直

【例題分析】

考向一利用特殊平行四邊形的性質(zhì)證垂直

1.（2022?上海閔行?二模?節(jié)選）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面為菱形，陽，平面/6切，ZBAD=6Q°,￡為棱

6c的中點.

考向二利用等腰三角形的性質(zhì)證垂直

例2.如圖，在三棱錐P—ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,AP=BP=AB,求證：PCLAB；

p

考向三利用勾股逆定理證垂直

3.（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測?節(jié)選）如圖，四棱臺A8CD-A46A的底面為菱形,

AB=4,DDX=3,ABAD=60°,點E為3C中點，RE工BC,RE=亞.

⑴證明：平面ABC。；

AB

考向四利用圓直徑所對圓周角是直角證垂直

4.(2022?吉林?模擬預(yù)測?節(jié)選)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB是外接圓的直徑，PC垂直于圓所在

的平面，D、E分別是棱A3、PC的中點.

(1)求證：平面PAC；

5.(2022?山東泰安?模擬預(yù)測?節(jié)選)如圖，圓臺下底面圓。的直徑為AB,C是圓。上異于A,8的點，且

ZBAC=3ff,MN為上底面圓O'的一條直徑，AVt4c是邊長為2石的等邊三角形，MB=4.

(1)證明：平面MAC；

考向五利用線面垂直的性質(zhì)證垂直

6.(2324高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試?改編)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABC。是菱形,

PALAC,BDLPC,PA=AB=4.

(1)證明：80,平面B4c.

(2)證明：R4,平面ABCD.

7.(2024?河北保定?二模?節(jié)選)如圖，在四棱錐P-ASCO中，底面ABCD是菱形，ND4B=60°,E,B分別為

ARAB的中點，且4C_LPE.

(1)證明：AC±PF.

AFB

知識點二面面垂直的判定

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

面文字語言圖形語言符號語言

面如果一個平面過另一個

垂

平面的垂線，那么這兩個

直

平面垂直.

的

判

定

【例題分析】

例1.(2023秋?內(nèi)蒙古包頭?高三開學(xué)考?節(jié)選)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，底面A3CD,

SA=y/2,AD=1,SC±BD.

(1)證明：平面S2Z5_L平面SAC；

S

例2.（2023秋?福建福州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在底面為菱形的四棱錐M-ABCD中,

AD=BD=MB=2，MA=MD=^2?

(1)求證：平面M4D_L平面/比〃

例3.已知四邊形A5CD是矩形，R4,平面A5CD,PA=AD=a,M，N分別是AS,PC的中點，求

證：平面ACVD，平面PCD.

M

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?安徽蕪湖?高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，在正方體ABCD-A4G。中.求

證：⑴直線AC7/平面；

⑵平面A8CJ平面期2,

2.（2022春?云南保山?高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，24,平面

ABCD,AD//BC,AD=2BC,^ABC是等邊三角形，PA^AB=\.

（1）求證：平面PCD_L平面PAC；

3.（2023春?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末?節(jié)選）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面5是邊長為2的正方形,

/C與劭相交于點。，￡為切的中點，PA=PB=y[i，NPAD=NPBC,

（1）證明：平面POE_L平面/及/；

4.（2022?廣州一模）如圖，在五面體/故應(yīng)中，4），平面/8GAD//BE,AD=2BE,AB=BC.

（1）求證：平面C￡>E_L平面4切；

知識點三面面垂直的性質(zhì)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

面文字語言圖形語言符號語言

面兩個平面垂直，如果一個

垂

平面內(nèi)有一直線垂直于

直

這兩個平面的交線，那么

的

性這條直線與另一個平面

質(zhì)垂直.

【例題分析】

例1.(2024?廣東廣州?二模?節(jié)選)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面ACC0是菱形，且與平面垂

直，BC±AC,AAi=AiC=4,BC=2.

(1)證明：3C1平面ACC0；

例2.（2024?廣東深圳?一模?節(jié)選）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，平面平面

PAD,點M在DP上，且DM=2MP,AD=AP,/PAD=120。.

⑴求證：平面ACM；

例3.（2023?廣西玉林?模擬預(yù)測?節(jié)選）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，側(cè)面AAB片是菱形，且

TT

ZBAAI=-,側(cè)面為5CG是邊長為2的正方形，側(cè)面?zhèn)让鍭AB4，。為的中點.

（1）求證：AB/平面3a＞；

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?集美區(qū)校級模擬)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A,3的點，平面平面ABC,APAC為

正三角形，E,尸分別是尸C,PB上的動點.

(1)求證：BCYAE-,

2.(2022?廣州二模)如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，NABC=60。，E